直线与方程知识点与例题

1、直线与方程知识点与经典例题一、知识点(1) 直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°<a< 180°性质：直线的倾斜角 a =90。时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当a =0°时，斜率k=0; 当090时，斜率k 0，随着a的增大，斜率k也增大；当90180时，斜率k 0，随着a的增大，斜率k也增大.(2) 直线的斜率 定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k ta

2、n 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当 0,90时，k 0 ； 当 90,180 时，k 0 ； 当 90时，k不存在。 过两点的直线的斜率公式：k 上一 (x1x2)x2 x1注意下面四点：(1)当X1 X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°(2) k与R、B的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。(3) 直线方程点斜式：y y1k(x x1)直线斜率k，且过点 x|, %注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y“当直线的斜率为 90°时，直线的

3、斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因I上每一点的横坐标都等于X1，所以它的方程是X=X1o斜截式：ykx b，直线斜率为 k，直线在y轴上的截距为 b两点式：yy1xx,/(x1x2, y1y2)直线两点X1, y1，X2,y2y2y1X2儿截矩式：X1 1ab其中直线I与:x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即I与X轴、y轴的截距分别为a,b一般式：AxBy C 0 (A B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：y b (b为常数)；平行于y轴的直线：x a (a为常数)；(5) 直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一) 平行直线系平行于已知直线 A&

4、#176;x B°y C。 0 ( A°,B°是不全为0的常数)的直线系：A0x B0y C 0 (C为常数)(二) 垂直直线系垂直于已知直线 Aqx B°y C。 0 ( A0,B。是不全为0的常数)的直线系：B0x A0y C 0 (C为常数)(三) 过定点的直线系(i) 斜率为k的直线系：y yo k X Xo，直线过定点 x°,y0 ；(ii) 过两条直线h : Ax B1y G 0，I2：A2x B2y C2 0的交点的直线系方程为 Ax By C1A2X B?y C2 0 (为参数)，其中直线12不在直线系中。(6) 两直线平行与垂

5、直当 li : ykixbi,I2 ： yk?xb?时，11 /12kik?, bi b? ；1112 ki k?1注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否(7)两条直线的交点i : Aix Bi y Ci0 I?:A2xB?yC?0相交交点坐标即方程组AixBiyCi0的一组解。A2xB?yC?0方程组无解I i/I?；方程组有无数解Ii与I?重合(8)两点间距离公式：设A(xi,yi)，( x?, y?)是平面直角坐标系中的两个点,则 |AB| .(x? xi) (y? yi)(9)点到直线距离公式：一点P x°, y°到直线Ii : AxByC0的距

6、离dAx。 By。 C(i0)两平行直线距离公式A2 B2在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解o填空或选择可以用：Ii : Ax By Ci 0I2 ： AxByC20 dCiC?J a2B2二、经典例题【例i】(i)已知A(3, 2),B(-4, i),C(0, -i),求直线ABBCCA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角(2)已知三点A(a，2)，&3，7)，C(-2，-9 a)在一条直线上，求实数a的值.【例2】已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0), 过点P (-i, 2) 的直线I与线段AB始终有公共点， 求直线I的斜率k的取值范围.35【例

7、 3】(i)已知直线 li 经过点 M(-3，0)，N (-i5，-6 )，I?经过点 R(-2，- )，S(0,-)，22试判断li与I?是否平行？(2) li的倾斜角为45 °，I?经过点P (-2，-i )，Q( 3，-6 )，问h与I?是否垂直？【例4】已知直线I经过点P( 5, 4)，且I与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线I的方程.【例5】经过点A(i,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求岀这些直线的方程【例6】写岀过两点A(5,0) ，B(0,-3)的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程.【例7】已知直线I的方程为3x+4y i

8、2=0,求与直线I平行且过点(i，3)的直线的方程.【例8】已知a为实数，两直线Ii : ax y i 0， I2: x y a 0相交于一点，求证：交点不可能在第一象限及x轴上【例9】若直线I : y= kx 3与直线2x+ 3y 6= 0的交点位于第一象限，求直线I的斜率的取值范围【例i0】直线2xy 4=0上有一点P,求它与两定点A(4， i)，B(3，4)的距离之差的最大值.【例ii】已知点A 2,3至U直线y ax i的距离为2，求a的值；【例i2】求与直线Ii : 2x 3y i 0及I?： 4x 6y 5 0都平行且到它们的距离都相等的直线方程经典例题【例U (i)已知A(3,

9、2),B(-4, i),C(0, -i),求直线AB BC CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角(2)已知三点A(a，2)，&3，7)，C(-2，-9 a)在一条直线上，求实数a的值.i 2 i解：直线AB的斜率ki - 2 丄0,所以它的倾斜角 a是锐角；4 37直线BC的斜率k21 1l<0,所以它的倾斜角0 421 2121 >0,所以它的倾斜角0 37 ( 9a)直线CA的斜率k3kAB725 ?3 a 3 a A B C三点在一条直线上,3 ( 2)kAB kBC解得a 2或【例2】已知两点即旦3 a29 '(-2,- 3),7 9a ?B (3,

10、 0),a是钝角;a是锐角.7 9a过点 P (-1,2)的直线I与线段AB始终有公共点,求直线I的斜率k的取值范围.解：如图所示,直线PA的斜率是ki直线PB的斜率是k2当直线由PA变化到3 ( 1)y轴平行位置12PC它的倾斜角由锐角是5,由PC变化到PB位置，它的倾斜角由 90°(tan5)增至90°,斜率的变化范围1-)，斜率的变化范增至 (tan围是(【例3】(1 )已知直线h经过点M(-3，0)，N (-15-6 )，3I2 经过点 R (-2，- )，S ( 0，5 )，22试判断h与I2是否平行？(2)h的倾斜角为45 °，I2经过点P (-2，-

11、1 )Q( 3，-6 )，问11与I2是否垂直？53解：(1) T kMN =0(6) 1kRs2213(15)20 (2)2所以斜率的变化范围是(,1U5,).h l2 k1 tan451 k?6 11 h L I P( 5, 4) I I I I P( 5, 4) I3 ( 2)4y ( 4) kx ( 5) y 4 k(x 5)则直线I在x轴上的截距为一 5，在y轴上的截距为5k 4. k1 4根据题意得一 一 5 5k 45，即(5k 4)210|k|.2 Ik当k0时，原方程可化为(5k4)210k，解得k1-,k2855当k0时，原方程可化为(5k4)210k，此方程无实数解故直线

12、I的方程为y 42(x5)，或 y 48(x5).55即2x5y 10 0 或 8x5y200.【例5】经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求岀这些直线的方解：当截距为0时，设y kx，过点A(1,2)，则得k 2，即y 2x ；当截距不为0时，设xy“ x1,或y1,过点 A(1,2),aaaa则得a 3,或a1,即xy 30,或x y1 0这样的直线有3条：y2x ,x y30 ,或xy 10【例6】写岀过两点A（5,0）的直线方程的两点式、B(0,-3)点斜式、斜截式、截距式和一般式方程.解：两点式方程:y ( 3)点斜式方程:(3)5行0），即 y(3

13、)-(x 0)；5斜截式方程:3)0x 3，即截距式方程:x53xy35y0.3x+4y 12=0，求与直线 I3解：直线I: 3x+4y 12=0的斜率为 一4，一般式方程：【例7】已知直线I15的方程为平行且过点（1,3）的直线的方程.所求直线与已知直线平行,所求直线的斜率为又由于所求直线过点 （1,3），所以，所求直线的方程为：y1),即 3x 4y 90.【例8】 已知a为实数，两直线|1 : ax y10，I2 : x0相交于一点，求证:交点不可能在第一象限及解：解方程组ax y10,得交点a 0,若> 0,则a > 1.当a > 1时,v 0，此时交点在第二象限内

14、.又因为a为任意实a 1数时，都有a2工0.因为a丰1 （否则两直线平行，无交点），所以，交点不可能在x轴上-【例9】若直线I : y= kx 3与直线2x+ 3y 6= 0的交点位于第一象限，求直线I的斜率的取值范围.解：如图，直线 2x+3y 6=0 过点 A（ 3, 0） , B（ 0, 2），直线 I : y= kx - 3 必过点（0, 3 ）.当直线I过A点时，两直线的交点在 x轴；当直线I绕C点逆时针（由位置 AC到位置BQ旋转 时，交点在第一象限.根据kAC3 0 乜，得到直线I的斜率k.0 333倾斜角范围为 乜 .3，【例10】直线2x y 4=0上有一点P,求它与两定点 A（4 , 1） , &3 , 4）的距离之差的最大值 解：找A关于I的对称点A', A B与直线I的交点即为所求的 P点.设A'（a,b）,贝91-244 a2，解得0a 0【例11】已知点A 2,3到直线ax1的距离为 2 , 求a的值;解：Q yax1,