详解数列求和的方法+典型例题

1、精品详解数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1 1、等差数列的前n项和公式n(a-ian)n(n 1)dnai2 22 2、等比数列的前n项和公式nai(q1)Snai(1qn) aiaq(q 1)1 q1 q3 3、常用几个数列的求和公式n1 /1)(1(1)、Snk123n-n(nk 12(2(2)、Snnk21222322n丄n(n1)(2n1)k 16(3(3)、Snnk31323333nG n(n1)2k 12第二类：乘公比错项相减(

2、等差 等比)这种方法是在推导等比数列的前n n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前 n n 项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列。例 1 1 ：求数列nqnJ J ( (q为常数) )的前n项和。I、若q=0=0,则Sn=0=0n、若q=1=1，则Sn12 3n(n1)若q丰丰0 0 且q丰丰1 1,Sn精品则Sn1 2q 3q2n 1nq精品（课本中的的等比数列前 n n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）

3、分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最 终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1 1、乘积形式，如：(1(1)、an1丄n(n 1) n(2(2)、an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 1(2n 1(3(3)、ann(n 1)( n 2)(n 1)(n 2)n ann(n 1)12(n1) n2nn(n 1)1(n 1)2nqSnq 2q23q3nnq式一式:(1 q)Snn 1nq nqSn1(1qn nq )Snn nq )Sn1 qn(1 q)2nqn1 q综上所述：Sn0(q 0)1n(n 1)(q 21 qn(1 q)21)nnq(q1 q0且q 1)解析：数列nqn 1是由数

4、列n与qn对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减,精品2 2、根式形式，如:anSn1111 22 33 4=111) nn 11 111 112 233n)1n 11111 32 43 511 11、=(-)n(n 2)2 nn 2111(1 -)(-)324(111(12n 1n 2)11一n例 2 2:求数列1例 3 3:求数列解：由于:12Sn2n 4123(-nn 1Sn1Sn1则：Sn宀)1，的前n项和Snn(n 1)1，的前n项和Snn(n 2)1解： 一-n(n4 2n 2解析： 要先观察通项类型， 在裂项求和时候, 两项，还是像例 3 3 一样剩下四项。尤其要注意：究竟是像

5、例2 2 一样剩下首尾第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an)。例 4 4:若函数f(x)对任意x R都有f(x) f (1 x) 2。(1)anf(0) f)f(-)n n证明你的结论；f(n$f(1)，数列an是等差数列吗？是n(2(2)求数列anan-的的前n项和Tn。1精品精品解: (1 1)、anf(0)f(-)f(-)f(n1-)f(1)(倒序相加)nnnanf(1)f(n 1)f(n-2)f)f(0)nnn1 01 n 12 n21nnnn则， 由条件 :对任意xR都有f(x)f

6、(1x)2。2an22222(n 1)ann 1 an1n 2an 1an1解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序 相加的。此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。 在数列问题中，要学会灵活应用不同的方法加以求解。第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例 5 5:求数列1+ +n 2n 1的前n项和Snn(n 1)解：令an1bnn 2n 1n(n1)Sn(a1bj(a2b2)(a3b3)(anbn)Sn(a1a2a3an) (b1b2b3

7、bn)从而：数列an是a12,d1的等差数列。(2(2)、1anan 11(n 1)(n 2)TT1(n 1) (n 2)Tn n =_=_n2n 4故：Tn= =n2n 4精品111111Sn(1)(1 2 2 3 22n 2n 1)2233n n1Sn(11-)(122 3 22n 2n 1)n1令Tn1 22322n 2n 12Tn2 2 22323n 2n式一式：(12)Tn12 22232n 1n 2nTn(12 22232n 1n2n)12nnTn(-n 2)1 2Tn(n1)2n11 1故：Sn(1) (n 1) 2n1 2(n 1) 2nn 1n 11例 6 6:求数列(xn)

8、2的前n项和Snx分析：将an(xn4T)2用完全平方和公式展开，再将其分为几个数列的和进行求解。x解：an(xnSnX221 2 n 2n)=(X)2X(A)X2 2n= =X12n-=-=X XX2 (丄)2nXX42Sn(X2X4X2n) (2 2X2n2 (-)2nX2)()2(丄)4(丄fXXX(首项x2,公比2X等比数列)(常数列)I、令TnX24X2nXX 1时，Tn2X4X2nX= =11X 1时，Tn2X4X2nX(首项(-)2，公比(丄)2等比数列)XX2 2n 2XXX= =1 X2X2精品n、令Mn222 2n川、令Gn()2xx(-)2nxx1时，Gn(-)2xPtx

9、)2n1 11 nxx1时，Gn(丄)2x(I)4x(l)2nxx()2nx(丄)x2n 22211Xx22n 222n 2=xx=x x1(-)x22 2x 1x 12 2xx22nx (x 1)2n= =x 1 x (x 1)综上所述：x 1时，SnTnMnGnn 2n n 4n这个题，除了注意分组求和外，还要注意分类讨论思想的应用。第六类：拆项求和法在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式， 再代入公式求和。例 7 7:求数列 9 9, 9999, 999999,的前 n n 项和Sn分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式an10n1可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。解：由于：an10n1贝U：Sn9 99 99Sn(101 21) (1021) (1031)(10n1)2n2. 22n 22xx2x22n 2xx2xx 1时，SnTnMnGnx2n2x22n2nx 1x (x 1)精品Sn(10110210310n) (1 1 11)x x (x 1)精品解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。这篇文章中，有 6 6 类重要方法，8 8 个典型例题，大部分常见数列的前 n n 项和都可以求出来了, 由于知识的不完备，在该类知识