数列公式汇总

1、人教版数学必修五第二章数列 重难点解析第二章课文目录2 .1数列的概念与简单表示法2 .2等差数列2 .3等差数列的前n项和2 .4等比数列2 .5等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理 解与应用。4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。6、 等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和 公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、2、理解递推公式与通项公式的关系。3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。4、灵活应用等差数列前 n项公式解决一些简单的有关问题。5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。一、数列的概念与简单表示法1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做 数列.注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复岀现2. 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这

3、个数列的第 1项（或首项），第2项，, 第n项，.3数列的一般形式：ai,a2,a3，an，或简记为 d '，其中是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列，an冷勺第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式 .注意：并不是所有数列都能写岀其通项公式，如上述数列；1 +（i）n_1一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0,它的通项公式可以是 an =-，2 n +1也可以是an cos|.2数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第呛项，又是这个数列中所

4、有各项的一般表示通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求岀数列 的每一项.5. 数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N* (或它的有限子集1，2，3,，n)为定义域的函数a. = f(n)，当自变量从小至U大依次取值时对应的一列函数值。反过来，对于函数 y=f(x),如果f(i) (i=1、2、3、4)有意义，那么我们可 以得到一个数列 f(1)、f(2)、f(3)、f(4)，f(n)，6. 数列的分类：1) 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列例如数列1，2，3, 4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1

5、，2，3, 4, 5，6是无穷数列2) 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列7. 数列的表示方法(1)通项公式法如果数列 :的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。如数列的通项公式为-厂；'的通项公式为 一 1(用艺"“ $ 9 ；1丄丄丄，叫=-(«e矿)的通项公式为；(2) 图象法启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是

6、以项数和为横坐标，相应的项心为纵坐标，即以 广”为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到1111-的数列 - - 为例，做出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点， 因为横坐标为正整数，所以这些点都在丁轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.(3)递推公式法如果已知数列an?的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项and (或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列的一种方法。如下数字排列的一个数列：3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89递推公

7、式为：a3,a2 =5,an =an1 an2(3 - n _8)4、列表法.简记为.典型例题：例1:根据下面数列的前几项的值，写岀数列的一个通项公式:(1) 3, 5, 9, 17, 33,1031535 0, 1, 0, 1,0, 1,; 1,3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9,(5) 2,- 6, 12,- 20, 30,- 42,6399解：(1) an = 2n+ 1 ； an2n(2n _ 1)(2n 1)，an1 (-1广；21+ 0, 2 + 1,3 + 0, 4 + 1,5 + 0, 6 + 1,7 + 0, 8 + 1,an =(5)将数列变形为1 X 2,- 2

8、X 3, 3 X 4,- 4X 5, 5 X 6,(4)将数列变形为 an =a1 二1例2：设数列a 满足1写出这个数列的前五项an =1 十(n >1).!an 4解：二、等差数列1 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示)。.公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；.对于数列an,若an - an4=d (与n无关的数或字母)，n2, n N，则 此数列是等差数列，d为公差。2 等差数列的通项公式：an = a1 (n- 1)d【或an = am '

9、; (n- m)d等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列"an'的首项是a1，公差是d,则据其定义可得：a2 -ad 即：a2 = a1 da3 - a2=d 即：a3=a2d = a12da _a3=d 即：a4= a3d = a1' 3d由此归纳等差数列的通项公式可得：aa1 - (n -1)d已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项an o由上述关系还可得：a a1 ( -1)d即：aam -(m -1)d则：an = a1 (n - 1)d = am -(m -1)d (n - 1)d 二 am (nm)d即等差数列的

10、第二通项公式an =am (n - m)d.d=注直3.有几种方法可以计算公差d d=an - an. d= d=amn -1n m4 .结论：(性质)在等差数列中，若 m+n=p+q,则，am a ap aq即 m+n=p+q = am aap - aq (m, n, p, q N ) 但通常 由am - aap - aq推不岀m+n=p+q，am a am.n典型例题：例1:求等差数列8, 5, 2的第20项-401是不是等差数列-5 , -9 , -13的项？如果是，是第几项？解：例3 :求等差数列3, 7 , 11 ,的第4项与第10项.例5 : 100是不是等差数列 2, 9, 16

11、,的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由1例6 : 20是不是等差数列 0， 3丄，一7,的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由2例8:在等差数列 an中，若a1 + ae =9, a4 =7,求a3 , ag .三、等差数列的前 n项和1 等差数列的前 n项和公式1: Sn =喧却2证明：Sn = 3 a2 a3 上- and an Sn 二 a* ' and，a*/ 亠匕亠 a2 a1(anan)+：2Sn = (a1 an)(a2an4)(a3an)上T a1' an = a2' an 4 = a3' an _2 =-二 2Sn 二 n(a1 an

12、)由此得：Sn 二也2从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性等差数列的前n项和公式2： Sn二na也 辺2用上述公式要求 Sn必须具备三个条件：n,a1,an但a a1(n -1)d 代入公式1即得： Sn =n(n -1)d2此公式要求Sn必须已知三个条件：n,a1,d (有时比较有用) 对等差数列的前 n项和公式2： Sn = na,加可化成式子：2Sn話n2 (ad)n，当d 0,是一个常数项为零的二次式 2 2由Sn的定义可知，当 n=1时，S1=a1 ；当n2时，an = Sn-Sn/ ,即anS1( n =0、Sn - & 4(n X 2)对等差数列前项和的最值问题

13、有两种方法：(1 )利用an :当an>0, d<0，前n项和有最大值"可由an >0，且an 1 < 0，求得n的值*当an<0, d>0，前n项和有最小值"可由an < 0，且an 1 >0，求得n的值*(2)利用Sn :由Sn =d n2-d)n利用二次函数配方法求得最值时n的值2 2典型例题： 例2 :等差数列一10，- 6, 2，2，前9项的和多少？解： 例3 :等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项.解例6 :已知等差数列an中，S3=21，S6=64，求数列 |a n| 2的

14、前n项和Tn.例7 : 在等差数列an中，已知ae+ag+ a5= 34，求前20项之和.S20的例8:已知等差数列a n的公差是正数，且 a3 a7= 12，a4+ a6= 4,求它的前20项的和 值.例9 :等差数列a n、b n的前n项和分别为Sn和Tn,若2n3n 1则色匹等于【b100例10:解答下列各题：(1)已知：等差数列an中a2 = 3, a6= 17,求ag;1350,(2) 在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为求这几个数；(3) 已知：等差数列 心门中，a4 + a§ + a5 + a7= 50,求S20;(4) 已知：

15、等差数列an中，an=33 3n,求Sn的最大值.四、等比数列1 等比数列：q表示(q工0),即:an=q (0)an .1一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母1 “从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) an 成等比数列Jq ( n Nan2隐含：任一项an =0且q = 0“ an工0”是数列 an 2成等比数列的必要非充分条件.3 q= 1时，an为常数。n _12.等比数列的通项公式 1： an二a1 q(a1 q 0)由等比数列的定义，有：a? pq ；2a3 二 a?q =(a

16、e)q yq ；2、3a4 二 asq =(ae )q =；3. 等比数列的通项公式2： a* = am qm*(a1 q 0)4. 既是等差又是等比数列的数列：非零常数列5. 等比数列与指数函数的关系：等比数列 an的通项公式aa1 qnJ(a1 q 0),它的图象是分布在曲线yqXq(q>0)上的一些孤立的点。q >1时，等比数列0 : q ： 1 ,等比数列0 : q ：1时，等比数列q >1时，等比数列当 当 当 当：0：0q当q <0时，等比数列等比中项：anan是递增数列；an是递增数列；an 是递减数列;an是递减数列；是摆动数列；当q=1时，等比数列 a

17、n 是常数列G,使a,G, b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G =如果在a与b中间插入一个数,ab (a,b 同号)如果在a与b中间插入一个数G,使a,G，b成等比数列，则b-GG =ab= G=. ab ,2 G b反之，右G =ab厕a G2a,G,b 成等比数列：=G =ab (a b工0) 等比数列的性质：若 m+n=p+k，则 aman 二 apak在等比数列中， m+n=p+q , am,an ,ap,ak有什么关系呢? 由定义得：am = a1q m 4，即a,G,b成等比数列amanan - a1q2m:：；n _2-a1q, apP-1 ap pqP2 p*

18、_2F qkJak = a1 q贝U aman =apak判断等比数列的方法： 等比数列的增减性：定义法，中项法，通项公式法 当 q>1, a1 >0 或 0<q<1, a1 <0 时, an是递增数列；当 q>1, a1<0,或 0<q<1, a1 >0 时, an是递减数列；当q=1时, an是常数列；当q<0时, an是摆动数列；10 证明数列为等比数列的方法：(1)定义法:若 也 =q( n N “)=数列 玄 为等比数列an等比中项法:若 a； *二a.色2 =0,(n，N ”)二 数列 玄为等比数列通项法:若 an

19、=cqn(c,q均是不为0的常数，n N ”)：二 数列、an为等比数列 前n项和法:若 Sn =Aqn -A(A,q为常数，且q =0,q =1)：二 数列为等比数列。典型例题：例1:求下列各等比数列的通项公式：a十(1 ) ai=2,a3 =8 ；( 2) ai=5,且 2 an 1 =3 an ；( 3) ai =5,且an解：例2 :求下面等比数列的第4项与第5项:(1) 5，- 15, 45，;(2) 1.2，2.4, 4.8,;/ c、213人,八匚人(3) ，一.，一 ；(4) = 2,1,，3 2 82解:例3 : 一个等比数列的第9项是4，公比是一1，求它的第1项.93解：项

20、与第4项.a4a6 = 25,求 a3 a5例4 : 一个等比数列的第 2项是10，第3项是20，求它的第1 解：例7: (1)已知 an是等比数列，且 an0, a2 a4 - 2a3a5解：例9:在等比数列 £n 中，b4 =3，求该数列前七项之积解：例10:在等比数列 gn *中，a2 = -2， a5 = 54，求a8，解：五、等比数列的前n项和1、等比数列的前项和公式：a,1 -qn)当q =1时，Sn1-q二 nar时用公式；当已知a 一 an q或Sn 121 -q当q=1时，Sn当已知a1, q, n公式的推导方法一：一般地，设等比数列ai, q, an时，用公式.a

21、n印卫2 - a3an上=a1a2 a3 上 a.n Apq2.n _2=a1 a1q a1q a1q2 i 3S得彳qSn = a1q a1q2 a"上 a1q当 q=1 时，Sna1（1 一q ）i -q它的前n项和是nagn -1n或Sn二旦加1 -q当q=1时，Sn公式的推导方法二：=na1有等比数列的定义,a2ai根据等比的性质，有a2启7a2 a3上an=qan 4 anSn - a1qa1 ' a?亠 I 亠a. 4 Sn - a.即 Sn a1 =q = Sn - an围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式. 公式的推导方法三：Sn =

22、a1 a2 aan = a1 ' q(a1 a2 aan4)=a1 qSn4 = a1 q(Sn -an)= (1 -q)Sn y -a.q (结论同上)2、重要结论an成等比数列，公比为 q（1 -q）Sn =a1 - anq （结论同上）I 1 1（1）也为等比数列，且公比为an（2）:a2/f也成等比数列，且公比为SnSiai仁qn阳2（仁q）（3）、an 成等比，且 an>0,则 lgai,lga 2,|ga 3成等差注（1）an成等比-lg an成等差（2） an成等差二aan成等比典型例题:例1：求和:解:等差数列等比数列疋义一般地，如果一个数列从第 2项起，每一 项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这 个数列就叫做等差数列.这个常数叫公差.一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就 叫等比数列