微积分下册知识点

1、微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数(一) 向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设a = (ax，ay,az)，b = (bx,by,bz)， 则 a - b =(a*- bx, ay -by,az- bz),a = (a*,ay,az)；5、向量的模、方向角、投影：- / 2 2 21) 向量的模：r = Jx+ y+ z ；2) 两点间的距离公式： AB | = J(X2 xj2 + (y2 yj2 + (z? 乙)23) 方

2、向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 :/:,方向余弦:COS：h, COsP =ry, cos7 = r5)投影：PrjTacos，其中为向量a与U的夹角(二) 数量积，向量积1、数量积：a|a |b |cos0. 21) a a = a2) a - b = a b = 02、向量积：c = a b大小:la l|b sin日，方向：a,b, c符合右手规则221) a a = 0 2) a/b= a b = 0运算律：反交换律 b a二- a b(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S : f(x,y,z)二02、旋转曲面：yoz 面上曲线 C : f (y, z 0，绕 y 轴旋转一周

3、：f (y,- 'x2 z2 p 0/ 2 2绕z轴旋转一周：f(-x y , zp 03、柱面:F(x,F (x, y)二0表示母线平行于z轴，准线为z = 0y)二 0的柱面4、 二次曲面(不考)2 x 椭圆锥面：y2 y b2z22 y b22z2c旋转椭球面：a2x22y2a2z2c2 X2y2 z=13)单叶双曲面：2 ab22 c222xyz=14)双叶双曲面：2b22ac椭圆抛物面：a2双曲抛物面椭圆柱面:双曲柱面:抛物柱面:(马鞍面)2x2a2x2ax2b2b2b2ay2x2ab2(四) 空间曲线及其方程F(X, y,z)般方程：G(x,y,z)a cos参数方程：y二

4、y(t)，如螺旋线:a sinH (x, y)二 0z = 0二 0bt3、空间曲线在坐标面上的投影F (x, y, z) = 0，消去z，得到曲线在面xoy上的投影G(x, y, z) = 0(五) 平面及其方程1、点法式方程：A(x - X。) B(y - y。) C(z - z。)法向量：n 二(A, B,C)，过点(x°, y°, z°)'般式方程：Ax By Cz0截距式方程:3、两平面的夹角：n厂(AEC) , n (A2,B2,C2),4、点 Po(Xo,y°,z°)到平面 Ax By Cz0 的距离:(六) 空间直线及其

5、方程般式方程:A1xB y Cz = 0A2xB2 y C2z D2 = 02、对称式(点向式)方程:X- X。y- yo z - Zom np方向向量：s = (m,n,p)，过点(x0, y0,z0)x 二 x0 mt3、参数式方程：m ntz 二 Zo pt4、两直线的夹角：S1 = (m1,m, pj，S2 = (mH, P2)，5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,第二章多元函数微分法及其应用(一) 基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域, 有界集，无界集。2、多元函数：z二f (x,y)，图形：3、极限：爲啾加区八人4、连续

6、：(x,y!呢 0,y0)f(X'y)= f(X0'y0)5、偏导数：6、方向导数：f : f： fxco Tc。,其中*为1的方向角。梯度：z 二 f (x, y)，则 gradf (x°,y°) = fx(x°,y°)ify(x°,y°)j。cz已Z全微分：设 z 二 f（x,y），则 dz 二二dx， dy（二）性质函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:1、极值偏导数连续闭区域上连续函数的性质（有界性定理，最大最小值定理，介值定理）微分法定义: 复合函数求导：链式法则若 z f (u,v),u

7、二 u(x,y),v = v(x, y)，则z ：z：u ： z ：v ：z ：z：u ： z ：v”， ，” !T，” 斗' ，” !T ”，" t" * "x :u x :v x，:y :u :y :v :y3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1）无条件极值：求函数 Z f （x, y）的极值解方程组fx = 0f = 0求出所有驻点，对于每一个驻点 匕00），令A=fxx(x°,y°)， B = fxy(xo, yo)，C=fyy(x°,y°)，若AC - B2 0，A 0，函数有极小值,若A

8、C - B2 0 , A 0，函数有极大值;若AC - B2 ” 0，函数没有极值;若AC _ B2 = 0，不定。2）条件极值：求函数z=f（x, y）在条件（x, y 0下的极值令：L(x, y)二 f (x, y) (x, y)Lagra nge 函数L=0解方程组Ly = 0(x, y = 02、几何应用1）曲线的切线与法平面二 x(t)y（t），则】上一点M（X0,y°,z。）（对应参数为t°）处的二 z（t）x X0y - y° _ z- z切线方程为：x (t0) y (t0)z(t°)法平面方程为：x (t°)(x - x

9、76;) y (t°)( y - y°) z (t°)( z - z°) = 02）曲面的切平面与法线曲面匕：F （x, y,z） = 0，则匕上一点M（X0,y0,z。）处的切平面方程为:y- y。法线方程为：Fx(X0,y°,z°) Fy(Xo,y°,z。) Fz(x°,y0,z°)x X。2） 柱面坐标第三章重积分）二重积分（一般换元法不考）1、定义：f（x,y）dD2、性质：（6条）EOLf( k, k),k几何意义：曲顶柱体的体积。4、计算：1）直角坐标D 二r=(x,y)鋼(x)1aD 二r二

10、 <(x,y)先(y)Ic2）极坐标（二J 三重积分1、定义：叫2、性质：3、计算：1）直角坐标JJJ°f(x, y,z)dv出cf(x, y,z)dv3、曲一 2（X）- x - b ，岂x_2(y),f(x，y，z)dv = limok=if(k，k, k)5Z2(x,y)Ddxdy,i(x,y)f(x，y，z)dzb=J d zH f (x, y,z)dxdy aD z“先二后一 ”n< y = p sin 日 出 f (x, y, z)d v = j仃 f (p cos , Psin日，z)PdPddz I，。z 二 z3) 球面坐标(三) 应用曲面 S:z 二

11、f(x, y),(x, yV D 的面积：第五章 曲线积分与曲面积分(一) 对弧长的曲线积分n1、定义： L f(x,y)ds二 li叮 f( i，J si =12、性质：1) f(x，y) (x, y)ds 二：L f (x，y)dsLg(x，y)ds.2) (x,y)ds 二 f(x,y)ds f(x,y)ds. (L = LL2)./LLL2'乙 73)在 l上，若 f (x,yp g(x,y)，则 L f (x,y)d Lg(x,y)ds.4) Ld l ( l为曲线弧L的长度)3、计算:设f (x, y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为x 二(t),y ='

12、(t),其中(t) (t)在L / 上具有一阶连续导数，且2(t)亠"t) o，则(二) 对坐标的曲线积分1、定义：设L为xoy面内从A到B的一条有向光滑弧，函数P(x, y) ,Q(x,y)n在 L 上有界，定义 LP(x,y)dx = lim, P( k, Q *，k =LQ(x,y)dy = limok=iQ( “ J"向量形式：l F d r = l P(x, y)dx Q(x, y)dy2、性质：1- 用表示L的反向弧，则.F(x,y) dr.LF(x,y) dr3、计算：设P(x, y), Q(x, y)在有向光滑弧L上有定义且连续，L的参数方程为x= (t),

13、j (tT卩)，其中® (t),即(t)在上具有一阶连续导数，且y = (t),® 2(t)+ 屮"t) h o，贝y4、两类曲线积分之间的关系："x =申(t)设平面有向曲线弧为 L:小，L上点(x, y)处的切向量的方向角为：ly 八(t)cos：(t)2(t)'(t)2(t) ' 2(t)则 l Pdx Qdy 二 l(Pcos： Qcos : )ds(三) 格林公式1、格林公式：设区域 D是由分段光滑正向曲线 L围成，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数则有D£Pdxdy 二Pdx QdyL2、G为一个

14、单连通区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G上具有连续一阶偏导数，则:P:yPdx Qdy在g内与路径无关L二曲线积分口 Pdx Qdy二0L二 P(x, y)dx Q(x,y)dy在G内为某一个函数u(x, y)的全微分(四) 对面积的曲面积分1、定义：设二为光滑曲面，函数f(x, y,z)是定义在二上的一个有界函数，n定义f(x,y,z)dS = lim f( i，i，J §-'i =12、计算：“ 一投二换三代入”= z(x,y) , (x,y) Dxy，则(五) 对坐标的曲面积分1、预备知识：曲面的侧，曲面在平面上的投影，流量2、定义：设二为有向光滑曲面，函数P(x

15、, y,z),Q(x, y,z),R(x, y, z)是定义在匕上的有界函数,n定义 =R(x,y,z)dxdy = lim。、R( i , i , J( SJxy=1n同理，口 P(x,y,z)dydz=ljm/ P(S K i)(2)yz*0jti =13、性质：1) 一，则2)表示与二取相反侧的有向曲面，贝二_Rdxdy.Rdxdy4、计算：一一“ 一投二代三定号”匕：Z二z(x, y) , (x,小 Dxy, Z二z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x, y,z)在二上连续 则R(x,y,z)dxd厂士JD Rx,y,z(x,y)dxdyj 为上侧取“ + ” 工?-Dxy

16、5?为下侧取“-5、两类曲面积分之间的关系:其中? , ,为有向曲面匕在点(x,y,z)处的法向量的方向角。(六) 高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面二所围成，二的方向取外侧，函 数P,Q, R在"上有连续的一阶偏导数，则有心 P dQ dD哉仃 + + dxd yd z= (Pcosa + QcosP + Rcos )d S啟ex 汕 ©Z )壬(七) 斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面=的边界】是分段光滑曲线，匕的侧与】的正向符 合右手法则，P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在包含在内的一个空间域内具有连续一 阶偏导数，

17、则有为便于记忆，斯托克斯公式还可写作：第六章常微分方程1、微分方程的基本概念含未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程；未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程；微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶.能使微分方程成为恒等式的函数，称为微分方程的解.如果微分方程的解中含任意常数，且独立的(即不可合并而使个数减少的)任意常数的 个数与微分方程的阶数相同，这样的解为微分方程的通解.不包含任意常数的解为微分方程特解.2、典型的一阶微分方程可分离变量的微分方程：g(y)dy二f(x)dx或字二h(x)g(y)dx对于第1种形式，运用积分

18、方法即可求得变量可分离方程的通解：2、齐次微分方程：yd)或者X，xy代入微分方程即可。可通过坐标平移去掉常数项。3、一阶线性微分方程型如y ： p(x)y =q(x)称为一阶线性微分方程。P (x)dx 其对应的齐次线性微分方程的解为y = ce 。利用常数变异法可得到非齐次的线性微分方程的通解.p (x)dxp(x)d x4、伯努利方程：q(x)y p(x)(y =7qCx)yn( n =0,1)于将方程两端通解为yn，得二yy+P(x)y1=q(x) (n 0,1)全微分方程:7、可降阶的高阶常微分方程(1)y(n) = f(X)型的微分方程(2)(3)6.4.3 y = f(y,y)型的微分方程6.4.2 y(n)= f(x,y(n)型的微分方程8、线性微分方程解的结构(1 )函数组的线性无关和线性相关(2) 线性微分方程的性质和解的结构叠加原理：二个齐次的特解的线性组合仍是其特解；二个线性无关齐次的特解的线性组合是其通解-p(x)