专题10数列求和及其应用(易错起源)-2018年高考数学(理)备考黄金易错点含解析名师制作优质教学资料

1、1. 【 2017天津，理18】已知 an为等差数列，前 n 项和为 Sn (nN ) ， bn 是首项为2 的等比数列，且公比大于0， b2b3 12 , b3 a42a1 ， S11 11b4 .（）求 an 和 bn 的通项公式；（）求数列 a2nb2n1 的前 n 项和 ( nN ) .【答案】（ 1）3 2n3n 2n 18an.bn2. （ 2） Tn4.n33【解析】（ II ）解：设数列 a2n b2 n 1 的前 n项和为 Tn ，由 a2 n6n 2 ，n 1 ，有 2 n 2n 1nb2 n 1243n 1 4，a b故 Tn245428433n 1 4n ，4Tn2 4

2、25 438443n 4 4n3n 1 4n 1 ，上述两式相减，得3Tn243 423 433 4n3n 1 4n 11214n43n1 4n 1144n 13n28.得 T3n24n18.n33所以，数列 a2 nb2n1 的前 n 项和为 3n24n 18.332. 【 2017 江苏， 19】 对于给定的正整数k , 若数列 an 满足 an k an k 1an 1 an 1an k 1 an k2kan 对任意正整数n(n k ) 总成立，则称数列 an 是“ P(k) 数列”.（ 1）证明：等差数列 an 是“ P(3) 数列”;（ 2）若数列 an 既是“P(2) 数列”，又是

3、“P(3) 数列”，证明： an 是等差数列 .【答案】（1）见解析（ 2）见解析（ 2）数列an 既是“ P2 数列”，又是“P 3 数列”，因此，当 n3时， aaaa4an，n 2n 1n 1n 2当 n4 时， an 3an 2an 1an 1an 2 an 3 6an . 由知，an 3 an 24an 1nn 1，aaan 2an 34an 1an 1 an ，将代入，得an1an 12an ，其中 n 4，所以 a ,a , a , 是等差数列，设其公差为d ' .345在中，取 n4 ，则 aaaa4a ，所以 aad ' ，2356423在中，取 n3 ，则

4、a1a2a4a54a3 ，所以 a1a22d '，所以数列 an 是等差数列 .3. 【 2017 山东，理19】已知 xn 是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3， x3- x2=2（）求数列 xn 的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1( x1, 1) ，P2( x2, 2)Pn+1( xn+1, n+1) 得到折线 P1 P2Pn+1，求由该折线与直线y=0， xx1 , xxn 1 所围成的区域的面积Tn .【答案】 (I) x2n 1.（ II ） Tn(2 n 1) 2n1.n2（ II）过 P1, P2 , P3,Pn 1 向 x 轴作垂线，垂

5、足分别为Q1, Q2 , Q3 ,Qn 1 ,由 (I)得 xn 1xn2n2n 12n 1.记梯形 Pn Pn 1Qn 1Qn 的面积为 bn .由题意 bn( nn1)2n 1(2 n1)2n 2 ，2所以Tnb1b2b3 +bn= 32 1520721 +(2 n1)2n 3(2 n1) 2n 2又 2T3205217 22 +(2n 1)2n 2(2n 1)2n 1 n- 得Tn32 1(222. 2n 1)(2n1)2n 1= 32(12n 1 )(2 n1) 2n 1.212所以 Tn(2 n1)2n1.24.【 2016 高考天津理数】 已知 an 是各项均为正数的等差数列，公差

6、为 d ，对任意的 nN ,b n 是 an 和 an 1的等差中项 .( ) 设 cnbn21bn2 , nN * ，求证：cn是等差数列；( ) 设 a1 d ,Tn2nnN* ，求证：n112 .1 bn2 , nk 1k 1 Tk2d【答案】（）详见解析（）详见解析【解析】（）证明：由题意得bn2an an 1 ，有 cn bn21bn2an 1an 2anan 1 2dan 1 ，因此 cn 1cn2dan2an 12d 2 ，所以cn是等差数列 .（）证明：Tnb12b22b32b42b22n 1 b22n2d a2a4a2 nn a2a2 n2d22d 2 n n1 ,n11n1

7、1n所以2d 2k 1 k k 12d 2k 1 Tkk 1111111 .kk 12d2n12d 25. 【 2016 高考新课标3 理数】已知数列 a 的前 n 项和 Sn 1an ，其中0n（ I ）证明 an 是等比数列，并求其通项公式；31（II ）若 S5，求32【答案】（） an1()n 1 ；（）1 11【解析】（）由题意得 a1S11a1 ，故1， a110 ， a11由 Sn1an ， Sn 11an 1 得 an 1an 1an ，即 an 1 (1)an 由 a10 ，0 得 an0an1.，所以an1因此 an 是首项为1，公比为的等比数列，于是an1() n 1 1111（）由（）得Sn1()n ，由 S531得 1()531，即()51 ，132132132解得16. 【 2016 高考浙江理数】设数列anan11 ， n满足 an2（ I ）证明： an2n1a12， n；n（ II ）若 an3， n，证明： an2 ， n2【答案】（I ）证明见解析； （ II）证明见解析【解析】（I ）由 anan 11得 an11 1，故2an2anan 11， n，2n2n 1n2所以a1ana1a2a2a3an 1