二次项定理10大典型例题

1、标准实用文案（ 1）知识点的梳理1二项式定理：( a b) nC n0anCn1an 1bCnr an r brC nn bn (n N ) ，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做 (a) n 的二项展开式。b二项式系数 : 展开式中各项的系数 C nr( r 0,1,2, , n) .项数：共 ( r1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式 通项 ： 展 开 式中 的第 r1 项 C nr a n r b r 叫做 二项 式展 开 式的 通项 。 用Tr 1 Cnr an r br 表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有(n1) 项。顺序：注意正确选择a , b , 其顺序不能更改

2、。(ab)n 与 (ba) n 是不同的。指数： a 的指数从 n 逐项减到 0 ，是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ，是升幂排列。各项的次数和等于 n .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0 , C1n , Cn2 ,Cnr ,Cnn. 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数） 。文档标准实用文案4常用的结论：令 a1,bx,(1 x) nCn0Cn1 x Cn2 x2Cnr xrCnn xn (n N )令 a1, bx,(1 x)nCn0Cn1 x Cn2 x2C nr xr( 1) n Cnn xn (n N )5性质：二项式系数的对称性：

3、与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn0Cnn ， CnkCnk 1 二 项 式 系 数 和 ： 令 a b 1 ,则二项式系数的和为Cn0C n1Cn2C nrCnn2n ，变形式 Cn1Cn2CnrCnn2n1。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a1,b1 ，则 Cn0Cn1Cn2C n3( 1) n Cnn(1 1) n0 ，从而得到： Cn0Cn2Cn4Cn2 rCn1Cn3Cn2 r 112n2n 12奇数项的系数和与偶数项的系数和：( a x)nC n0a n x0Cn1an 1x Cn2 an 2 x2Cnn a0 xna0 a1x1a2

4、x2an xn( x a)nC n0a0 xnCn1ax n 1C n2 a2 xn 2C nn an x0an xna2 x2a1x1a0令 x1, 则 a0a1a2a3an(a 1)n令 x1,则 a0a1a2a3an(a 1)n得 , a0a2a4an(a1) n( a1)n (奇数项的系数和)1)n21)n得 , a1a3a5an( a( a(偶数项的系数和)2文档标准实用文案二项式系数的最大项： 如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式n系数 Cn2 取得最大值。如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系n 1n1数 Cn2, Cn2同时取得最大值。系数的最大项：

5、求 ( abx)n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为 A1, A2, An 1 ，设第 rAr 1Ar，从而解出 r 来。1 项系数最大，应有ArAr 12（ 2）专题总结专题一题型一：二项式定理的逆用；例： Cn1Cn2 6Cn3 62Cnn 6n 1.解： (1 6)nCn0Cn16Cn262Cn363Cnn 6n 与已知的有一些差距，Cn1C n2 6 Cn3 62Cnn 6n 11 (C n1 6Cn2 62Cnn 6n )61 (Cn0C n16Cn262Cnn6n1)1(1 6) n11 (7 n1)666练： Cn13Cn29Cn33n 1 Cnn.

6、解：设 SnCn13Cn29Cn33n 1Cnn ，则3Sn Cn13 Cn2 32Cn3 33Cnn 3nCn0Cn1 3 Cn2 32Cn3 33Cnn 3n 1 (1 3)n 1(1 3)n14n1Sn33文档标准实用文案题型二：利用通项公式求xn 的系数；例：在二项式 ( 413 x2) n 的展开式中倒数第3 项的系数为45，求含有 x3 的项的x系数？解：由条件知 Cnn 245，即 Cn245， n2n900，解得 n9(舍去)或n10 ，由Tr1 C10r12C10r10 r2 r10r 2 r(x4 )10r ( x3 ) rx43 ，由题意3, 解得 r6 ，43则含有 x

7、3 的项是第7项 T61C106 x3210 x3 , 系数为210。练：求 ( x21 )9 展开式中 x9的系数？2x解： Tr 1C9r ( x2 )9 r (1 )rC9r x18 2r ( 1 ) r x rC9r (1 )r x18 3r ，令 18 3r9 , 则r 32 x22故 x9 的系数为 C93 (1 )321 。22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 ( x21)10 的展开式中的常数项？2xC10r ( x2 )10r (1)rC10r ( 1) r205 r205 r0，得 r 8 ，所以解： Tr1x2 ，令2x22T9C108 (1)8452256练：

8、求二项式 (2 x1) 6 的展开式中的常数项？2x解： Tr 1C6r (2 x)6 r ( 1)r ( 1 )r( 1)r C6r 26 r ( 1 ) r x6 2r ，令 62r 0 ，得 r3，所2x2以 T4(1)3 C6320练：若 ( x21 ) n 的二项展开式中第5 项为常数项，则 n_.x文档标准实用文案解： T5Cn4 ( x2 )n 4 ( 1 )4C n4 x2 n 12 ，令 2n 120 ，得 n 6 .x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式 (x3 x) 9 展开式中的有理项？1127 r27 r解：r29 r3 rrr6Z,(0r9) 得

9、r3或 r 9C9 ( x ) ( x )( 1) C9 x，令，Tr 16所以当 r3时， 27 r4 ，T4(1)3 C93x484x4，6当 r9 时， 27 r3， T10( 1)3 C99 x3x3 。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若21n 展开式中偶数项系数和为256 ，求n.(x3x2 )解：设 (x21)n 展开式中各项系数依次设为 a0 , a1 ,an ,3x2令 x1, 则有 a0a1an0, ， 令 x1, 则有a0a1a2a3( 1) n an 2n , 将 - 得： 2( a1a3a5)2n ,a1a3a52n1,有题意得，2n 1256

10、28 ，n 9。练：若 (31512 )n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。xx解：Cn0Cn2Cn4Cn2 rCn1Cn3Cn2 r12n1 ，2n 11024 ，解得 n11所以中间两个项分别为 n6, n7， T51Cn5 ( 3 1 )6 ( 5 12 )5462x 4 ，xx61T61462x 15文档标准实用文案题型六：最大系数，最大项；例：已知 ( 12x)n ，若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数2列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解： Cn4Cn62Cn5 , n221n 980, 解出 n 7或 n 14 ，当

11、 n 7时，展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5T4的系数C73( 1) 4 2335 ,，22T5的系数C74 ( 1) 32470, 当 n14 时，展开式中二项式系数最大的项是T8 ，2T8的系数C147 ( 1 )7 273432。2练：在 ( ab)2 n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即T2 nTn 1 ，12也就是第 n 1项。练：在 ( x1)n 的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项23x是多少？解：只有第 5项的二项式最大，则 n15 ，即 n8 , 所以展开式中常数项为第七项等于

12、C86(1)2272练：写出在 ( ab) 7 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幂指数7 是奇数，所以中间两项 ( 第4,5项 ) 的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有 T4C 73 a4b3 的系数最小，T5C74 a3b4 系数最大。练：若展开式前三项的二项式系数和等于79 ，求 (12x)n 的展开式中系数最大2的项？解：由 Cn0Cn1Cn279, 解出 n 12, 假设 Tr 1 项最大，( 12x)12( 1)12(14x)1222Ar 1ArC12r 4rC12r 1 4r 1Ar 1Ar2C12r 4rC12r 1 4r 1 ，化简得到 9.4r

13、10.4 ，又0 r12 ，文档标准实用文案r 10 ，展开式中系数最大的项为T11 , 有 T11(1)12 C1210 410 x1016896 x102练：在 (12x)10 的展开式中系数最大的项是多少？解：假设Tr 1 项最大，Tr 1C10r 2rxrAr1ArC10r 2 rC10r 1 2 r12(11r )r，化简得到C10r 2 rC10r 1 2r解得Ar1Ar21 ,r 1 2(10 r )6.3k7.3，又0r10 ，r7，展开式中系数最大的项为T8C107 27 x715360x7 .题型七：含有三项变两项 ；例：求当 ( x23x2) 5 的展开式中 x 的一次项

14、的系数？解法： (x23x2) 5( x 22) 3x5 ， Tr 1C5r ( x22)5 r (3x) r ，当且仅当 r1时， Tr1 的展开式中才有 x 的一次项，此时 Tr 1T2 C51 ( x22)4 3x，所以 x 得一次项为 C51C44 24 3x它的系数为 C51C44 243 240 。解法：( x23x2)5( x1)5 (x2)5(C50 x5C51 x4C55 )(C50 x5C51 x4 2C55 25 )故展开式中含 x 的项为 C54 xC55 25C54 x24240x ，故展开式中 x 的系数为 240.练：求式子 ( x12)3 的常数项？x解： (

15、x12) 3(x1) 6 ，设第 r1项为常数项，则xxTr 1C6r ( 1)r6r1 )r( 1)6 C6r62rr 3,x(x，得 6 2r 0 ,xT3 1 ( 1)3C6320 .题型八：两个二项式相乘；文档标准实用文案例： 求(12x)3 (1x)4 展开式中 x2的系数 .解：(12x)3的展开式的通项是 Cm3 (2 x)mC3m 2m xm ,(1x)4的展开式的通项是 Cn4 ( x)nCn41n xn , 其中 m0,1,2,3, n0,1,2,3,4,令mn 2,则 m0且 n 2, m1且 n 1, m2且n0,因此 (12x)3 (1x) 4的展开式中 x2的系数等

16、于 C3020C42( 1)2C3121C41(1)1C3222 C40 ( 1)06.练： 求(13 x )6 (11 )10 展开式中的常数项 .4xmn4m 3n解： (13x )6 (11 )10 展开式的通项为 C6m x 3C10n x 4C6mC10nx 124 x其中m 0,1,2,6, n0,1,2,当且仅当4m3n,即 m0,或 m3,或 m6,10,n0,n4,n8,时得展开式中的常数项为 C60C100C63 C104C66C1084246.练：已知 (1xx2 )( x13 ) n的展开式中没有常数项, nN*且2n8,则 n_.x解：1nrn r3rrn4 r( x

17、x3 )展开式的通项为 C n xxCnx, 通项分别与前面的三项相乘可得Cnrxn 4 r ,C nrxn 4 r 1,C nrxn 4 r2 ,展开式中不含常数项 ,2 n8n4r且n4r1且n4r2，即 n 4,8且n3,7且n2,6, n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在( x2) 2006的二项展开式中 , 含x的奇次幂的项之和为 S,当 x2时, S_.解： 设( x2) 2006 =a0a1x1a2 x2a3x3a2006 x2006 -( x2) 2006 =a0a1x1a2 x2a3 x3a2006 x2006 -文档标准实用文案 得 2(a1x a3x3a5

18、 x5a2005 x2005 )( x2) 2006 展开式的奇次幂项之和为S( x)当 x2时, S( 2)1( 22) 2006( 22( x2) 2006( x2) 20061 ( x2) 2006(x2) 2006 23200620062230082)22题型十：赋值法；例：设二项式 (3 3 x1 ) n 的展开式的各项系数的和为 p ，所有二项式系数的和为xs , 若p s 272 , 则 n 等于多少？解：若 (3 3 x1 ) na0a1xa2 x2an xn ，有 P a0a1an ，xSCn0Cnn2n ，令x1得 P4n ，又 ps272 , 即 4n2n272(2n 1

19、7)(2n16)0 解得2n16或2n17(舍去 ) ，n4 .1n练：若3x的展开式中各项系数之和为64 ，则展开式的常数项为多少？x1n解：令 x1 ，则3x的展开式中各项系数之和为2n64 ，所以 n 6 ，x则展开式的常数项为 C63 (3x )3 (1 )3540 .x练：20091232009a1a2a2009若 (12 x)a0a1 xa2 xa3 xa2009 x (xR),则22222009的值为解：1a1a2a2009a1a2a2009令 x2, 可得 a0222220090,22222009a0在令 x0可得 a01,因而a1a2a20091.22222009练： 若(

20、x2)5a5 x5a4 x4a3 x3a2 x2a1x1a0 ,则 a1a2a3a4a5_.解： 令x0得a032,令 x1得a0a1a2a3a4 a51,文档标准实用文案a1a2a3a4a531.题型十一：整除性；例：证明： 32n28n 9( nN*)能被 64整除证： 32n 28n99n 18n9(81)n 18n9Cn0 18n 1Cn118nCnn 1182Cnn 1 81Cnn 11 8n 9Cn018n 1Cn118nCnn11828(n1)1 8n 9Cn0 1 8n 1Cn118nCnn 11 82由于各项均能被64 整除32n 28n9( nN *)能被 64整除1、(x

21、 1) 11 展开式中 x 的偶次项系数之和是1、设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是 f (1) f ( 1)( 2)11 / 2102422、 Cn03C1n32 Cn23n Cnn2、2、4n3、(3 51)20 的展开式中的有理项是展开式的第项53、3,9,15,214、(2x-1) 5 展开式中各项系数绝对值之和是4、(2x-1) 5 展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5 展开式系数之和，故令 x=1，则所求和为 355、求 (1+x+x 2)(1-x) 10 展开式中 x4 的系数5、(1x x2 )(1 x)10(1x 3 )(1x)9 , 要得到含 x4 的项，必须第一个因式中的 1与 (1-x)9 展开式中的项 C94 ( x ) 4 作积，第一个因式中的 x3 与(1-x)9 展开式中的项 C19(x ) 作积，故 x4 的系数是 C19C941356、求 (1+x)+(1+x)2+ +(1+x) 10 展开式中 x3 的系数6、(1x) (1 x )2（10(1 x)1 (1x )10 (x 1)11 ( x1) ，原式中1x）1(1x )=x文档标准实用文案x3 实为这分子中的 x 4，则所求系数为 C1177、若 f ( x ) (1x) m(1x )n (mn