八年级上第08讲最短路径问题讲义+练习

1、轴对称：最短路径问题适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域人教版课时时长（分钟）120知识点轴对称：最短路径问题教学目标1 .理解并掌握平面内一条直线向侧或异侧两个点到直线上的某一点距离之和为最小 值时点的位置的确定。2 .能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。3 .通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感 受学习成功的快乐。教学重点将实际问题转化为数学问题，利用轴对称解决实际生活中的最短路径问题教学难点探索发现最短路径的方案，判断最短路径的作图及说理【知识导图】教学过程、导入1 .两点之间，线段最短。2 .三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

2、。3 .线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。二、知识讲解考点1求直线异侧的两点到直线上一点距离的和的最小的问题求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题 讲解内容：只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置。考点2求直线同侧的两点到直线上一点距离的和的最小的问题讲解内容：只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点， 所得线段与该直线的交点即为所求的位置。三、例题精析例题1如图所示，点A, B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C,使CA+ CB最短 【答案】作点B关于直线l的对称点B',连接AB'与l交于点C,则点C为所求的点。【

3、解析】 在直线l上任取不同于 C点的C'点，连接AC ,BC二点B和B'关于直线l对称. CB=CB、 C'B=C'B'CA+CB=CA+CB'=AB'CA+CB <C'A+C'B' .AB'=CA+CB<C'A+C'B'例题2如图，A和B两地在一条河的两岸， 现要在河上造一座桥 MN桥造在何处可使从 A到B的路径AM+NBt短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）bA*- MN【答案】1.将点A沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到A',2. 连接A'B

4、交河对岸于点 N,则点N为建桥的位置，MN为所建的桥。【解析】 由平移的性质，得 AM/ A'N 且 AM=A'N, MN=M'N', AM' II A'N' , AM'=A'N'所以 A、B两地的距：AM+MN+BN=AA'+A'N+NB=AA'+A'B若桥的位置建在 M'N'处，则AB两地的距离为：AM'+M'N'+N'B=A'N'+M'N'+N'B在A'N'B 中，. A&#

5、39;N'+N'B>A'B ,M'N'=AA'. . M'N'+A'N'+N'B > AA'+A'B所以桥的位置建在 MNb, AB两地的路程最短。例题3如图A是锐角/ MONJ部任意一点，在/ MON勺两边OM ON上各取一点B, C,组成三角形, 使三角形周长最小.【答案】分别作点A关于OM ON的对称点A , A ;连接A A ,分别交 OM 05点B 、点C,则点B、点C即为所求【解析】若点取在8'、9处:人和A'关于0M寸称，A和A”关于ON寸称，AB=

6、A'B, AC=A”C ,A'B'=AB' , AC'=A”C' ABC 的周长1 "bc =AB+BC+CAA'B+BC+A“C=A'A” ABC 的周长=AB'+BC+C'A=A'B'+B'C'+C'A">AA', ：.aa'长度最小，,点B和点C即为使三角形周长最小的点。例题4如图所示，点 A, B分别是直线l上异侧的两个点，在l上找一个点C,使C- CB最短。【答案】 连接AB与l交于点C,点C即为所求的点。【解析】两点之间线

7、段最短例题5如图，牧童在 A处放马，其家在 B处，A B到河岸的距离分别为 AC和BD,且AC=BD则牧 童从A处把马牵到河边饮水再回家，则选在哪处饮马使总距离最短。【答案】作点A关于CD的对称点A ,连接A'B,交CD于点M,则M点即为使饮马总距离【解析】在直线CD上任取不同于 M点的M'点，连接A'M'、AM'.二点A和A'关于直线CD对称，AM'=A'M',AM=A'M,AM+MB=A'M+MB=A'B,AM'+M'B=A'M'+M'B>A'

8、;B . .选在 M点处饮马使总距例题6如图，正方形 ABCD AB边上有一点 E, AE=3, EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP%J最短.【答案】 连接DE交AC于点P,则DE=EP+BP!短。【解析】 在AC上任取不同于P点的P'点二点B和点D关于直线AC对称，DP=BP DP'=BP'EP+BP=EP+DP=DEEP'+BP'=EP'+DP' . EP'+DP'>DEEP'+BP'>EP+BP, 点取在P处时EP+BP为最短如图，点P、Q为4ABC的边AR AC上的两定点，在 BC

9、上求做一点 M,使 PQM勺周长最短【答案】作点P关于线段BC所在直线的对称点 P',连接P'Q交BC于点M,则点M即为所求 的点。【解析】在BC上任取不同于 M点的M'点，连接PQ PM PM'、P'M'、M'Q,二点P和P'关于 BC所在的直线对称，PM=P'M PM'=P'M' , PQM勺周长=PM+MQ+QP=P'M+MQ+QP=P'Q+QP若点区在 M'处，4PQM的周长=PM'+M'Q+QP=P'M'+M'Q+QP,P&#

10、39;M'+M'Q>P'Q，P'M'+M'Q+QP>P'Q+QP,.4PQM的周长PQM 的周长，点取在M处使4PQM的周长最短。例题8某班举行晚会，桌子摆成两直条 （如图中的AO BO）, AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？【答案】作法：1.作点C关于直线OA的对称点点D,2. 作点C关于直线OB的对称点点E,3. 连接DE分别交直线 OA OB于点M N,贝U CM+MN+CN短口.【解析】 在OA OB上任取不同

11、于点 M点N的点M'和点N',连接CM CM'、DM'、CN CN'、EN'、M'N'二点C和D关于射线 OA对称，C和E关于射线 OB对称，. CM=DMCM'=DM'、CN=EN CN'=EN'，CM+MN+CN=M+MN+EN=DCM'+CN'+ M'N'= DM'+ EN'+M'N'DM'+EN'+M'N'> DE，CM'+CN'+ M'N'> CM+M

12、N+CNCM+MN+CNt短。例题9如图，两点P、Q在锐角/AOB内，分别在 OA OB上求作点 M N,使PM+MN+QN短【答案】 分别作点P点Q关于直线OA OB的对称点P'、Q',连接P'Q'分别交射线 OA OB于点M N则点 M N即为所求的点。【解析】在射线OA OB上任取不同于点 M点N的点M'和点N',连接PM PM'、P'M'、QNQN'、Q'N',二点P和P'关于射线OA对称，Q和Q'关于射线OB对称，.PM=P'M PM'=P'M

13、9; , QN=Q'N QN'=Q'N'，PM+MN+QN=P'M+MN+Q'N=P'Q'PM'+M'N'+QN'=P'M'+M'N'+Q'N'>P'Q' . . PM'+M'N'+QN'>PM+MN+QN M 点 N即为使 PM+MN+QN 最短的点。四、课堂运用基础1.如图，点P是直线a外一点,PB±a,点A, B, C, D都在直线a上，下列线段中最短的是（）A. PAB. P

14、B2 .如图，l为河岸（视为直线），要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由.3 .已知，如图，在直线 l的同侧有两点 A, B.图 IID2(1)在图1的直线上找一点 P,使PA+ PB最短；(2)在图2的直线上找一点 P,使PA- PB最长.答案与解析1.B2解：图略.理由：垂线段最短.3解：(1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP.点P即为所 求.图略.(2)连接AB并延长，交直线l于点P.图略.提升|1 .某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO BO), AO桌面上摆满

15、 了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在 C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到 D处座位 上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.2 .如图，村庄 A, B位于一条小河的两侧，若河岸 a, b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？答案与解析IGif 力1.解：如图.x作法：作点C关于OA的对称点C1,点D关于OB的对称点D;连接C1D,分别交OAOB于点P, Q,连接CP, DQ那么小明沿 8 ACHD的路线行走，所走的总路程最短.2解：过点A作API a,并在AP上向下截取AA',使AA'的长等于河的宽度； 连接A

16、'B交b于点D;过点D作DE/ AA'交a于点C;连接AC.则CD即为桥的位置.图略.拔高1 如图，四边形 ABCD43, / BAD= 120° , / B= / D- 90° ,在 BG CD上分别找一点 M N,n),D(m,0),当四边形ABC前长最短时使4AMN周长最小，求/ AMN- Z ANM的度数.2.在直角坐标系中有四个点，A(-8,3),B(-4,5)C(0答案与解析1解：作A关于BC和CD的对称点A' , A，连接A' A，交BC于M交CD N,连接AM,AN则A' A即为 AMN的周长最小值.作 DA延长线AH

17、. / DAB= 120° ,/ HAA = 60° .A' + / A" = / HAA = 60° ./ A' = / MAA , / NAD- / A”,且/ A' + / MAA = / AMN / NA* / A" = / ANM / AMNF / ANM= / A' + / MAA + / NADH / A" = 2( / A' + / A" ) =120°2分折：因AB长为定值，四边形周长最短时有BC+CD+DA短，作B关于y轴对称点B',A关于x轴对称

18、点A',DA+DC+BC=DA+DC+B C> B' A'(当 D,C 运动至UAB和x轴y轴的交点时等号成立，易求直线A' B'解折式 y=_ + -,C0(0, -),D0(- -,0),此时=-五、课堂小结 .1 .求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置2 .求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置。Q六、课后练习 基础1.如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A B提供牛

19、奶，奶站应建在什么地方，才能使从A B到它的距离之和最短.BA2.已知：如图 A是锐角/ MONJ部任意一点，在/成三角形，使三角形周长最小 .MON勺两边 OM ONLh各取一点 B, C,组3.如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN桥造在何处才能使从 A到B的路径AMNBt短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）B答案与解析1.解：只有 A C、B在一直线上时，才能使 AGBC最小.作点A关于直线“街道”的 对称点A ,然后连接 A' B,交“街道”于点 C,则点C就是所求的点.2解：分别作点A关于OM ON的对称点A' , A ；连接A' ,

20、 A，分别交OM ONT点B、点C,则点日点C即为所求分析：当AR BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小3解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2. 连接 AE交河对岸 与点 M,则点 M为建桥 的位置，MN为所建的 桥。证明：由平移的性质，得 BN / EM 且 BN=EM, MN=CD, BD/ CE, BD=CE,所以 A.B 两地的距：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在 C皿，连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为:AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在4ACE中， AC+CE> A

21、E, . . AC+CE+MNAE+MN即 AC+CD+DB> AM+MN+BN所以桥的位置建在 CD处，AB两地的路程最短。巩固1.如图所示，是一个圆柱体，ABC虚它的一个横截面，AB=p BC=3 一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（A. 7B.C.D. 52.有一长、宽、高分别是5cmi 4cm, 3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和 A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为A. 5 cmB.cmC. 4 cm D. 3 cm3.如图，正方形ABCD AB边上有一点 E, AE=3 EB=1,在AC上有一点P,使EP+B

22、PJ最短.答案与解析1.分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果.DCD解：将圆柱体展开，连接 A、C,7Jf声 Z rr?一 AB=_?兀？=4, BC=3,n*根 据 两 点 之 间 线 段 最 短，,5工AC=5.故选 D.2.分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短.利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得.解：因为平面展开图不唯一， 故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.AB2=

23、 (5+4) 2+32=90;AB2= (3+4) 2+52=74;AB2= (3+5) 2+42=80;(1)展开前面、右面，由勾股定理得(2)展开前面、上面，由勾股定理得(3)展开左面、上面，由勾股定理得 所以最短路径长为 一cm.3【答案】 连接DE交AC于点P,贝U DE=EP+BPt短。【解析】 在AC上任取不同于 P点的P'点二点B和点D关于直线AC对称，DP=BP DP'=BP'EP+BP=EP+DP=DEP'+BP'=EP'+DP' . EP'+DP'>DE，. EP'+BP'>EP+BP,点取在P处时 EP+BP拔高为最短1 .如图，在正方形 ABCtD，点E为BC上一定点,A且BE=10,CE=14