中考复习专题—二次函数压轴题.

1、中考复习专题（七）二次函数压轴题专训题型一：面积问题【例 1】（2009 湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C(1 ，4) ，交 x 轴于点 A(3 ，0) ，交y 轴于点 B.（ 1）求抛物线和直线 AB的解析式；（ 2）求 CAB的铅垂高 CD及 SCAB ；（3）设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使 S PAB 9 SCAB，8若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.yCBD1O1Ax图 2【变式练习】1. （ 2009 广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为 (2， 0) ，连结，将线OA段 OA绕原点 O顺时针旋转 120°

2、，得到线段 OB（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、 O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由（ 4）如果点 P是（ 2）中的抛物线上的动点， 且在 x 轴的下方， 那么 PAB是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请说明理由yBAOx2. （ 2010 绵阳）如图，抛物线 y =ax2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为A（ 4， 0）、 B（2， 0），与y轴交于点 ，顶点为 （1， 2）为线段BC的中点，的垂直平分线与xCD EBC轴

3、、y轴分别交于 、 F G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线 EF上求一点 H，使 CDH的周长最小，并求出最小周长；Dy（3）若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，CEFK的面积最大？并求出最大面积GEAFOB x3(2012 铜仁 ) 如图，已知：直线 yx3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 y=ax2+bx+c经过 A、 B、 C（ 1， 0）三点 .（ 1）求抛物线的解析式;（ 2）若点 D 的坐标为 （ -1 ，0），在直线 yx3 上有一点 P, 使ABO与ADP相似，求出点 P 的坐标；（ 3）在（ 2）的条件下，

4、在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使 ADE的面积等于四边形 APCE的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由题型二：构造直角三角形【例 2】（ 2010 山东聊城）如图，已知抛物线y ax2+bx+c（ a 0）的对称轴为x 1，且抛物线经过 A（ 1， 0）、 C（ 0， 3）两点，与x 轴交于另一点B（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）在抛物线的对称轴x 1 上求一点 M，使点 M到点 A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；（3）设点 P 为抛物线的对称轴x=1 上的一动点，求使PCB 90o 的点 P 的坐标E【变式练习】1（ 201

5、2 广州）如图，抛物线y=与 x 轴交于 A、 B 两点（点A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C（1）求点 A、 B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点， 当 ACD的面积等于 ACB 的面积时， 求点D的坐标；（ 3）若直线 l 过点 E（ 4， 0），M为直线 l 上的动点，当以 A、 B、 M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式2. （ 2009 成都）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线 y= a( x 1)2c(a 0)与 x 轴交于A、 B 两点 ( 点 A 在点 B 的左侧 ) ，与 y 轴交于点 C，其顶点为M,若直线 MC的函

6、数表达式为y kx 3 , 与 x 轴的交点为 N，且 COS BCO310。10（1）求此抛物线的函数表达式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C 的点 P，使以 N、P、C 为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3）过点 A 作 x 轴的垂线，交直线MC于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段 NQ总有公共点， 则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度 ?y1O1x3.(2012杭州 )在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（ x2+x 1）的图象交于点A（ 1， k）和点 B（ 1，

7、 k）（1）当 k= 2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当 ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k 的值4. 如图（ 1），抛物线 yx2x 4 与 y 轴交于点 A， E（ 0，b）为 y 轴上一动点，过点 E 的直线yx b与抛物线交于点、 .B C（1）求点 A 的坐标；（2) 当 b=0 时（如图（2），ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当 b4 时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得BOC 是以 BC为斜边的直角三角形，若存在，求出

8、b；若不存在，说明理由 .yyCCEEBOxOxBAA图（ 1）图（ 2）第 26题题型三：构造等腰三角形【例 3】如图，已知抛物线23xy ax bxa0轴交于点A(1，0)和点B (3，0)，（ ）与与 y 轴交于点 C（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）在 x 轴上是否存在一点 Q 使得 ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由【变式练习】1如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标

9、为（ m， m），点 B 的坐标为（ n， n），抛物线经过 A、 O、 B 三点，连接OA、OB、AB，线段 AB交 y 轴于点 C已知实数m、 n（ m n）分别是方程 x2 2x 3=0 的两根（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若点 P 为线段 OB上的一个动点（不与点 O、B 重合），直线 PC与抛物线交于 D、 E两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD、 BD当 OPC为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求 BOD面积的最大值，并写出此时点D 的坐标2. 如图，抛物线yax25ax4 经过 ABC 的三个顶点，已知BC x 轴，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，且AC=B

10、C（1）写出 A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（ 2）探究：若点 P 是抛物线对称轴上且在 x 轴下方的动点，是否存在 PAB 是等腰三角形若存在，求出所有符合条件的点 P 坐标；不存在，请说明理由yCB1A0 1x3（ 2010 黄冈）已知抛物线yax2bx c(a0) 顶点为 C（ 1，1）且过原点 O.过抛物线上一点 P（x， y）向直线 y5M，连 FM（如图） .作垂线，垂足为4（1）求字母 a， b，c 的值；（2）在直线 x1 上有一点 F (1,3) ，求以 PM为底边的等腰三角形PFM的 P 点的坐标， 并证4明此时 PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P，

11、是否总存在一点 N（ 1，t ），使 PM PN恒成立，若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由 .题型四：构造相似三角形【例 4】（ 2011 临沂）如图，已知抛物线经过A（ 2，0），B（ 3，3）及原点 O，顶点为 C（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以 P、 M、A 为顶点的三角形 BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由【变式练习】1. （ 2012 天水）如图

12、，已知抛物线经过A（ 4，0）， B（ 1， 0）， C（ 0， -2 ）三点（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得 DCA的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标及 DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由（3） P 是直线 x=1 右侧的该抛物线上一动点，过P 作 PM x 轴，垂足为M，是否存在P 点，使得以 A、P、 M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由2. 如图，二次函数的图象经过点D(0 ， 7 3 ) ，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截9得的线段AB的长为 6.（ 1）求二次

13、函数的解析式；（ 2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使 PA+PD最小，求出点 P 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点 Q，使 QAB与 ABC相似？如果存在，求出点不存在，请说明理由Q的坐标；如果【例 5】（2012 苏州）如图，已知抛物线y= x2 -(b+1)x+（ b 是实数且b 2）与 x 轴的正半轴分别交于点A、 B（点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴的正半轴交于点C（ 1）点 B的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示） ；（ 2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形 PCOB的面积等于 2b，且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在

14、， 求出点 P 的坐标；如果不存在， 请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得 QCO， QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q的坐标；如果不存在，请说明理由【变式练习】1.(2012上海宝山 ) 如图，平面直角坐标系xOy 中，已知点A（ 2，3），线段 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B ，将线段 AB 绕点 A 逆时针方向旋转90°，点 B 落在点 C 处，直线 BC 与 x 轴的交于点 D（1）试求出点D 的坐标；y（2）试求经过A 、 B 、 D 三点的抛物线的表达式，并写出其顶点E 的坐标；B（3

15、）在（ 2）中所求抛物线的对称轴上找点F ，使得A以点 A 、 E 、 F 为顶点的三角形与ACD相似1O 1x(图 7)2（ 2012 上海杨浦区）已知直线y1 x 1与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将 AOB绕2点 O顺时针旋转 90，使点 A落在点 C，点 B 落在点 D，抛物线y2bx c过点、 、axA D，其对称轴与直线AB交于点，CP（1）求抛物线的表达式；（2）求 POC的正切值；y（ 3）点 M在 x 轴上，且 ABM与 APD相似，求点 M的坐标。1O1x3（ 2012 宁波）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象交 x 轴于 A（ 1，0），B（2， 0）

16、，交 y轴于 C（0， 2），过 A，C 画直线（1）求二次函数的解析式；（2）点 P 在 x 轴正半轴上，且PA=PC，求 OP 的长；（3）点 M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为 H 若 M 在 y 轴右侧，且 CHM AOC （点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标； 若 M 的半径为，求点 M 的坐标题型五：构造梯形【例 6】已知，矩形 OABC在平面直角坐标系中位置如图1 所示，点 A 的坐标为 (4,0)，点 C的坐标为 (0， 2)，直线 y2 x 与边 BC相交于点 D（1）求点 D的坐标；3（2）抛物线yax2bxc经过点、 、 ，求此抛物线的

17、表达式；A D O（ 3）在这个抛物线上是否存在点 M，使 O、D、 A、 M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由【变式练习】1. 已知平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2( 1)x与直线ykx的一个公共点为A(4 ，a8) （ 1）求此抛物线和直线的解析式；（ 2）若点 P 在线段 OA上，过点 P作 y 轴的平行线交（ 1）中抛物线于点 Q，求线段 PQ长度的最大值；（ 3）记（ 1）中抛物线的顶点为 M，点 N在此抛物线上，若四边形 AOMN恰好是梯形，求点 N的坐标及梯形AOMN的面积2. （ 2011 义乌）已知二次函数的图象经过A（

18、2， 0）、 C(0 ， 12) 两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点P，与 x 轴的另一交点为点B（ 1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（ 2）如图 1，在直线 y 2x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）如图 2，点 M是线段 OP上的一个动点（ O、P两点除外），以每秒 2 个单位长度的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M作直线 MN/ x 轴，交 PB于点 N 将 PMN沿直线 MN对折，得到 P1MN 在动点 M的运动过程中，设P1MN与梯形 OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t

19、 的函数关系式3. 如图 1，二次函数yx2pxqp0) 的图象与x轴交于A B两点，与y轴交于点C(、（0， 1），的面积为 5 ABC4（1）求该二次函数的关系式；（2）过y轴上的一点（0， ）作y轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求mMmABC的取值范围；（ 3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使以 A、 B、C、D为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点 D的坐标；若不存在，请说明理由题型六：构造平行四边形【例 7】（2010 陕西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， C（ 0， 1）三点。（ 1）求该抛物线的表达式；（ 2）点 Q在 y

20、 轴上，点 P 在抛物线上， 要使以点 Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点 P 的坐标。【变式练习】1（ 2012 成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数（ m 为常数）的图象与 x 轴交于点 A（ 3，0），与 y 轴交于点 C以直线 x=1 为对称轴的抛物线 y=ax 2+bx+c（ a，b， c 为常数，且 a0）经过 A ， C 两点，并与 x 轴的正半轴交于点 B（ 1）求 m 的值及抛物线的函数表达式；（ 2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上一点，过点E 作直线 AC 的平行线交 x 轴于点 F是否存在这样的点 E，使得以 A，C，E，F 为顶点

21、的四边形是平行四边形？若存在，求出点E 的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若 P 是抛物线对称轴上使 ACP 的周长取得最小值的点，过点 P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M 1（ x1， y1）， M 2（ x2， y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程2. 如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A( 4,0) 、 B(0, 4) 、 C(2,0) 三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m， MAB的面积为 S，求于 m的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q是直线

22、 y x 上的动点， 判断有几个位置能使以点Q、 B、 O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标S 关P、3. （ 2011 威海）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（ 3，0），点 B（ 1，0），交 y 轴于点 E（0， 3）点 C 是点 A 关于点 B 的对称点，点F 是线段 BC的中点，直线l 过点 F 且与y 轴平行直线y= x+m过点 C，交 y 轴于 D 点（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）点 K 为线段 AB上一动点， 过点 K 作 x 轴的垂线与直线 CD交于点 H，与抛物线交于点 G，求线段 HG长度的最大值；（ 3）在直线 l 上取点

23、 M，在抛物线上取点 N，使以点 A，C， M， N 为顶点的四边形是平行四边形，求点 N 的坐标【例 8】已知平面直角坐标系（如图 1），一次函数y3的图像与y轴交于点，xOyx 3A34点 M在正比例函数 yx 的图像上，且MO MA二次函数2y x2 bx c 的图像经过点A、M（ 1）求线段 AM的长；（ 2）求这个二次函数的解析式；（ 3）如果点 B在 y 轴上，且位于点 A下方，点 C在上述二次函数的图像上，点D 在一次函数 y3的图像上，且四边形x 34ABCD是菱形，求点C的坐标【变式练习】1. 将抛物线 c1： y3x23 沿 x 轴翻折，得到抛物线c2，如图 1 所示（1）

24、请直接写出抛物线c2 的表达式；（2）现将抛物线c1 向左平移 m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与 x 轴的交点从左到右依次为、 ；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶AB点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为D、 E当 、D是线段AE的三等分点时，求的值；Bm在平移过程中，是否存在以点 A、 N、E、 M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m的值；若不存在，请说明理由题型七：线段最值问题【例 9】（ 2011 菏泽）如图，抛物线y=x2+bx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A（ 1， 0）（ 1）求抛物线的解析式及

25、顶点D 的坐标；（ 2）判断 ABC 的形状，证明你的结论；（ 3）点 M（ m， 0）是 x 轴上的一个动点，当 MC+MD的值最小时，求 m的值【变式练习】1. （ 2009 山东省菏泽市）如图，已知抛物线2与轴交于点(0 ，3) ，与y axbx cyxA轴分别交于B(1 ， 0) 、 C(5 ， 0) 两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若一个动点 P 自 OA的中点 M出发，先到达 x 轴上的某点（设为点 E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F），最后运动到点 A求使点 P 运动的总路径最短的点 E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长yAOBCx2.（ 2011 广东深圳

26、）如图13，抛物线y=ax2 bxc(a 0) 的顶点为（1,4 ），交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B 点的坐标为（3,0 ）（ 1）求抛物线的解析式（ 2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点 E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为 2，若直线 PQ为抛物线的对称轴，点 G为 PQ上一动点，则 x 轴上是否存在一点 H，使 D、G、F、H四点围成的四边形周长最小 . 若存在，求出这个最小值及 G、H 的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图 15，抛物线上是否存在一点T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为M，过点 M作直线 MNBD，交线段 AD于点 N，连接 MD，使 DNM BMD，若存在，求出点T 的坐标；若不存在，说明理由 .【能力提升】1. （ 2011 福州）已知 , 如图 11, 二次函数 y ax22ax3a(a 0)图象的顶点为H , 与 x 轴交于 A 、 B 两点 ( B 在 A 点右侧 ), 点 H 、 B 关于直线 l: y