★2011中考真题120考点汇编★111：课题研究(实践操作)(含解析答案)

1、 (2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编课题研究（实践操作）解答题1. （2011江苏连云港，28，12分）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比； 现请你根据对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论.(S表示面积)问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分AC.经探究S四边形P1R1R2R2=SABC，请证明.问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的ABC

2、拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC.请探究S四边形P1Q1Q2P2与S四边形ABCD之间的数量关系.问题3：如图3，P1，P2,P3,P4五等分边AB，Q1，Q2,Q3，Q4五等分边DC.若S四边形ABCD=1，求S四边形P2Q2Q3P3.问题4：如图4，P1，P2,P3四等分边AB，Q1，Q2,Q3四等分边DC，P1Q1，P2Q2,P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3,S4.请直接写出含有S1，S2，S3,S4的一个等式.考点：三角形的面积。分析：问题1，图1中，连接P1R2，R2B，由三角形中线的性质得SAP1R1=SP1R1R2，SP1R2P

3、2=SP2R2B，再由R1，R2为AC的三等分点，得SBCR2=SABR2，根据图形的面积关系，得SABC与S四边形P1P2R2R1的数量关系，证明结论；问题2，图2中，连接AQ1，Q1P2，P2C，由三角形的中线性质，得SAQ1P1=SP1Q1P2，SP2Q1Q2=SP2Q2C，由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，SADQ1=SAQ1C，SBCP2=SAP2C，得出SADQ1+SBCP2与S四边形AQ1CP2的关系，再根据图形的面积关系，得S四边形ABCD与S四边形P1Q1Q2P2的等量关系；问题3，图3中，依次设四边形的面积为S1，S2，S3，S4，S5，由问题2的结论可推出2S2=S

4、1+S3，2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加，得S2+S4=S1+S5，利用换元法求S1+S2+S3+S4+S5与S3的数量关系，已知S四边形ABCD=1，可求S四边形P2Q2Q3P3；问题4，图4中，由问题2的结论可知，2S2=S1+S3，2S3=S2+S4，两式相加得S1，S2，S3，S4的等量关系解答：解：问题1，证明：如图1，连接P1R2，R2B，在AP1R2中，P1R为中线，SAP1R1=SP1R1R2，同理SP1R2P2=SP2R2B，SP1R1R2+SP1R2P2=SABR2=S四边形P1P2R2R1，由R1，R2为AC的三等分点可知，SBCR2=SABR2，SAB

5、C=SBCR2+SABR2=S四边形P1P2R2R1+2S四边形P1P2R2R1=3S四边形P1P2R2R1，S四边形P1P2R2R1=SABC；问题2，S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2理由：如图2，连接AQ1，Q1P2，P2C，在AQ1P2中，Q1P1为中线，SAQ1P1=SP1Q1P2，同理SP2Q1Q2=SP2Q2C，SP1Q1P2+SP2Q1Q2=S四边形AQ1CP2=S四边形P1Q1Q2P2，由Q1，P2为CD，AB的三等分点可知，SADQ1=SAQ1C，SBCP2=SAP2C，SADQ1+SBCP2=（SAQ1C+SAP2C）=S四边形AQ1CP2，S四边形ABCD=S

6、ADC+SABC=S四边形AQ1CP2+SADQ1+SBCP2=3S四边形P1Q1Q2P2，即S四边形ABCD=3S四边形P1Q1Q2P2；问题3，解：如图3，由问题2的结论可知，3S2=S1+S2+S3，即2S2=S1+S3，同理得2S3=S2+S4，2S4=S3+S5，三式相加得，S2+S4=S1+S5，S1+S2+S3+S4+S5=2（S2+S4）+S3=2×2S3+S3=5S3，即S四边形P2Q2Q3P3=S四边形ABCD=；问题4，如图4，关系式为：S2+S3=S1+S4点评：本题考查了三角形面积问题关键是利用三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形的性质进行推理2.

7、（2011江苏南京，28，11分）【问题情境】已知矩形的面积为a（a为常数，a0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y=2（x+）（x0）【探索研究】（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+（x0）的图象和性质填写下表，画出函数的图象；x1234y观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数y=ax2+Bx+c（a0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数y=x+（x0）的最小值【解决问题】（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案考点：反比例函

8、数的性质；完全平方公式；配方法的应用；一次函数的性质；二次函数的最值。专题：计算题。分析：（1）把x的值代入解析式计算即可；根据图象所反映的特点写出即可；根据完全平方公式（a+B）2=a2+2aB+B2，进行配方即可得到最小值；（2）根据完全平方公式（a+B）2=a2+2aB+B2，进行配方得到y=2+2，即可求出答案解答：解：（1）故答案为：，2，函数y=x+的图象如图：答：函数两条不同类型的性质是：当0x1时，y 随x的增大而减小，当x1时，y 随x的增大而增大；当x=1时，函数y=x+（x0）的最小值是1解：y=x+=，=+2，当=0，即x=1时，函数y=x+（x0）的最小值是2，答：函

9、数y=x+（x0）的最小值是2（2）答：矩形的面积为a（a为常数，a0），当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4点评：本题主要考查对完全平方公式，反比例函数的性质，二次函数的最值，配方法的应用，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用学过的性质进行计算是解此题的关键3. （2011盐城，27，12分）情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC和ACD，如图1所示将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A）、B在同一条直线上，如图2所示观察图2可知：与BC相等的线段是AD，CAC=90°问题探究如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直

10、角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论拓展延伸如图4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质.专题：证明题.分析：观察图形即可发现ABCACD，即可解题；易证AEPBAG，AFQCAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；根据的理论即可求得E

11、H=FH，即可解题解答：解：观察图形即可发现ABCACD，即BC=AD，CAD=ACB，CAC=180°CADCAB=90°；FAQ+CAG=90°，FAQ+AFQ=90°，AFQ=CAG，同理ACG=FAQ，又AF=AC，AFQCAG，FQ=AG，同理EP=AG，FQ=EP根据的结论即可求得EH：FH=AG：AG=1，即HE=HF故答案为：AD，90点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证AFQCAG是解题的关键4. （2011南昌，25

12、，10分）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=（0°90°）现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上活动一：如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：能（填“能”或“不能”）（2）设AA1=A1A2=A2A3=1=22.5°度；若记小棒A2n1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，） 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A

13、1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，1=2，2=3，3=4；（用含的式子表示）（4）若只能摆放4根小棒，求的范围考点：相似三角形的判定与性质；一元一次不等式组的应用；勾股定理；等腰直角三角形.分析：（1）因为角的两条边为两条射线，没有长度，所以小棒可以无限摆放下去；（2）根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质，即可推出，结合已知条件，根据直角三角形的性质，即可得出A1A3=，AA3=，由A1A2A3A4A5A6，可以推出A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，得AA3=A3A4，AA5=A5A6，即可推出a2、a3的长度，然后推出an的关于你的表达式；（

14、3）根据三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可推出1=A2A1A3=2，即可推出2，同理即可推出2，3，（4）根据（3）的结论，和三角形外交的性质，即可推出不等式解不等式即可解答：解：（1）能（2）AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2A2A3，2=45°，=22.5°故答案为22.5°；方法一：AA1=A1A2=A2A3=1，A1A2A2A3，A1A3=，AA3=又A2A3A3A4，A1A2A3A4同理：A3A4A5A6，A=AA2A1=AA4A3=AA6A5，AA3=A3A4，AA5=A5A6，a2=A3A4=AA3=，a3=AA3+A3A5=a2+A3A5

15、A3A5=a2，a3=A5A6=AA5=；an=(+1)n1；（3）A1A2=AA1，1=A2A1A3=2，2=A2A4A3=+2=3，3=A2A4A3+=4，故答案为1=2，2=3，3=4；（4）由题意，得18°22.5°点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、解一元一次不等式、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键在于找到等量关系，求相关角的度数等5. （2011湖北咸宁，23，10分）在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达

16、的点，并把相应点的坐标填写在表格中：P从点O出发平移次数可能到达的点的坐标1次（0，2），（1，0）2次3次（2）观察发现：任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数y=2x+2的图象上；平移2次后在函数y=2x+4的图象上由此我们知道，平移n次后在函数y=2x+2n的图象上（请填写相应的解析式）（3）探索运用：点P从点O出发经过n次平移后，到达直线y=x上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标考点：一次函数图象与几何变换；坐标与图形变化-平移。专题：探究型。分析：（1）根据点的平移特点描出每次平移后P点的位置即可；（2）先根据P点平移一

17、次后的点的坐标求出过此点的函数解析式，再根据函数图象平移的性质解答即可；（3）设点Q的坐标为（x，y），求出Q点的坐标，得出n的取值范围，再根据点Q的坐标为正整数即可进行解答解答：解：（1）如图所示：P从点O出发平移次数可能到达的点的坐标1次2次（0，4），（1，2），（2，0）3次（0，6），（1，4），（2，2），（3，0）（2）设过（0，2），（1，0）点的函数解析式为：y=kx+b（k0），则， 解得.故第一次平移后的函数解析式为：y=2x+2；答案依次为：y=2x+2；y=2x+4；y=2x+2n（3）设点Q的坐标为（x，y），依题意， 解这个方程组，得到点Q的坐标为平移的路径长为x

18、+y，505637.5n42（9分）点Q的坐标为正整数，点Q的坐标为（26，26），（28，28）点评：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键6.（2011江西，25，10）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、 个、 个大小不同的内接正方形乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大丙同学：在不等边锐角三角形中，两

19、个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小任务：（1）填充甲同学结论中的数据；（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质。分析：（1）分别画一下即可得出答案；（2）先判断，再举一个例子；例如：在RtABC中，B=90°，AB=BC=1，则（3）先判断，再举一个例子：设ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设abc，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc解答：解：（1）1，2，3（3分）（2）乙同学

20、的结果不正确（4分）例如：在RtABC中，B=90°，AB=BC=1，则如图，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形设它的边长为a，则依题意可得：，如图，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形设它的边长为b，则依题意可得：，ab（7分）（3）丙同学的结论正确设ABC的三条边分别为不妨设，三条边上的对应高分别为，内接正方形的边长分别为.依题意可得：， .同理 . =又， ，即.在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小. (10分)点评：本题是一道难度较大的题目，考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，举出例子是解此题的关键7. （201

21、1湖南岳阳 26）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践-应用-探究的过程：（1）实践：他们对一条公路上横截面为拋物线的单向双车道的隧道（如图）进行测量，测得一隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式（2）应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述拋物线模型，提出

22、了以下两个问题，请予解答：I如图，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在拋物线上，顶点A、B落在x轴 上设矩形ABCD的周长为l求l的最大值II如图，过原点作一条y=x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P 为直线0M上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q问在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；（2）根据已知得出当x=2时，正好是汽车宽度，求出即可；（3）I首先表示出矩形周长，再利用二次函数最值公式求出；

23、II利用等腰直角三角形的性质得出QN=AB=AO，以及P在y=x的图象上，即可得出P点的坐标【解答】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为（5，6.25），且图象过（10，0）点，代入顶点式得：y=a（x-5） 2+6.25，0=a（10-5） 2+6.25，解得：a=-0.25，y=-0.25（x-5） 2+6.25；（2）当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，x=2代入解析式得：y=-0.25（2-5） 2+6.25；=4，4-3.5=0.5，隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；（3）I假设AO=x，可得AB=10-2x，AD=-0.25（x-5）

24、2+6.25；矩形ABCD的周长为l为：l=2-0.25（x-5） 2+6.25+2（10-2x）=-0.5x 2+x+26，l的最大值为： =26.5II当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，QN=PQ，NQP=90°，P在y=x的图象上，POA=OPA=45°，AO=PA，QN=AB=AO，AO=2.5，P点的坐标为（2.5，2.5）【点评】此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及二次函数最值求法和等腰直角三角形的性质，根据函数图象获取正确点的坐标以及利用y=x图象上点的性质是解决问题的关键8. （2011德州，22，10分）观察计算当a=5，b=3时，与的大小

25、关系是当a=4，b=4时，与的大小关系是=探究证明如图所示，ABC为圆O的内接三角形，AB为直径，过C作CDAB于D，设AD=a，BD=b（1）分别用a，b表示线段OC，CD；（2）探求OC与CD表达式之间存在的关系（用含a，b的式子表示）归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出与的大小关系是：实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值考点：相似三角形的判定与性质；几何不等式；圆周角定理。分析：观察计算：分别代入计算即可得出与的大小关系；探究证明：（1）由于OC是直径AB的一半，则OC易得通过证明ACDCBD，可求CD；（2）分a=b，ab讨论

26、可得出与的大小关系；实践应用：通过前面的结论长方形为正方形时，周长最小解答：解：观察计算：，=探究证明：（1）AB=AD+BD=2OC，OC=.AB为O直径，ACB=90°A+ACD=90°，ACD+BCD=90°，A=BCDACDCBD（4分）即CD2=ADBD=ab，CD=（5分）（2）当a=b时，OC=CD，=；ab时，OCCD， 结论归纳：实践应用设长方形一边长为x米，则另一边长为米，设镜框周长为l米，则=4.当x=，即x=1（米）时，镜框周长最小此时四边形为正方形时，周长最小为4米 点评：本题综合考查了几何不等式，相似三角形的判定与性质，通过计算和证明得

27、出结论：是解题的关键9. （2011山东青岛，23，10分）问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差MN，若MN0，则MN；若MN=0，则M=N；若MN0，则MN问题解决如图1，把边长为a+b（ab）的大正方形分割成两个边长分别是Ab的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形面积之和M与两个矩形面积之和N的大小解：由图可知：M=a2+b2，N=2abMN=a2+b22ab=（ab）2ab，

28、（ab）20MN0MN类别应用（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克（Ab是正数，且ab），试比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低（2）试比较图2和图3中两个矩形周长M1、N1的大小（bc）联系拓广小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图4所示（其中bac0），售货员分别可按图5、图6、图7三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由考点：分式的混合运算；整式的混合运算。分析：类比应用（1）首先得出，进而比较得出大小关系；（2）由图形表示出M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（ac+b+3

29、c）=2a+2b+4c，利用两者之差求出即可联系拓广：分别表示出图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系解答：解：类比应用（1），a，b是正数，且ab，.小丽所购买商品的平均价格比小颖的高；（2）由图知，M1=2（a+b+c+b）=2a+4b+2c，N1=2（ac+b+3c）

30、=2a+2b+4c，M1N1=2a+4b+2c（2a+2b+4c）=2（bc），bc，2（bc）0，即：M1N10，M1N1，第一个矩形大于第二个矩形的周长联系拓广设图5的捆绑绳长为L1，则L1=2a×2+2b×2+4c×2=4a+4b+8c，设图6的捆绑绳长为L2，则L2=2a×2+2b×2+2c×2=4a+4b+4c，设图7的捆绑绳长为L3，则L3=3a×2+2b×2+3c×2=6a+4b+6c，L1L2=4a+4b+8c（4a+4b+4c）=4c0，L1L2，L3L2=6a+4b+6c（4a+4b+4c）=2a+2c0，L3L1=6a+4b+6c（4a+4b+8c）=2（ac），ac，2（ac）0，