高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

1、参数方程极坐标系解答题1已知曲线C-'，直线1:=2+t（y=2 - 2t(t为参数)(I)写出曲线 C的参数方程，直线I的普通方程.(n)过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线，交I于点A，求|PA|的最大值与最小值.专题：坐标系和参数方程. 分析：考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系.(I)联想三角函数的平方关系可取x=2cos 0 y=3sin 0得曲线C的参数方程，直接消掉参数 t得直线I的普通方程；(n)设曲线 C上任意一点P (2cos0, 3s in0).由点到直线的距离公式得到P到直线I的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化

2、积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.解答:解：（I）对于曲线 C +工=1，可令 x=2cos （K y=3sin 0,49故曲线C的参数方程为对于直线I: *y=2-2tP=2COSG , （B为参数）. （y=3sin0，由得：t=x - 2，代入 并整理得：2x+y - 6=0;(n)设曲线 C上任意一点 P (2cos 0 3sin 0).P到直线I的距离为'-' '1 I .a为锐角.5则 |十.、.，二 t、：- I ,其中sin30 5当sin (0+ a) =- 1时，|PA取得最大值，最大值为- '5当sin ( 0+ a) =1

3、时，|PA|取得最小值，最小值为一 15点评： 本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题.2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线I的极坐标方程为:-i丄，曲线C的参数方程为：“ -亠八丄(a为参数).62(y=2sinCl(I)写出直线I的直角坐标方程；(n)求曲线 C上的点到直线I的距离的最大值.考点：参数方程化成普通方程.专题：坐标系和参数方程.分析：(1)首先，将直线的极坐标方程中消去参数，化为直角坐标方程即可；(2)首先，化简曲线 C的参数方程，然后，根据直线与圆的位置关系进行转化求解. 解答： 解：

4、(1)v直线I的极坐标方程为： 5 i丄6 2p sin 0 cos 0) =2, 1 - 1y賞二,2 2 2 x-'；y+i=0 .（2）根据曲线C的参数方程为:，：''（a 为参数）.y2sinCL得（X - 2） 2+y2=4 ,它表示一个以（2, 0）为圆心，以2为半径的圆, 圆心到直线的距离为：d=f曲线c上的点到直线I的距离的最大值：=.2 2点评： 本题重点考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、及其之间的互化等知识，属于中档题.3.已知曲线C1：声-4+S（ t为参数），C2：y=3+sint严吐話（°为参数）.（y=3sin B（1）化Ci

5、, C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;若Ci上的点P对应的参数为碍，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：最小值.y二耳+亍+'（t为参数）距离的y= - 2+t考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.专题：计算题；压轴题；转化思想.分析：（i）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线一个椭圆；（2）把t的值代入曲线Ci的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出 Q的坐标，利用中点坐标公式表示出 M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出 M到已知直线 的距离，禾U用两角差的正弦函数公式化

6、简后，禾U用正弦函数的值域即可得到距离的最小值.Ci表示一个圆；曲线 C2表示解答:解：（1）把曲线Ci：尸矢山（t为参数）化为普通方程得：（x+4） 2+ （y-3） 2=i，所以此曲线表示的曲线为圆心（-4, 3）,半径i的圆;把C2：（Xe （°为参数）化为普通方程得：咅岭印'所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点'焦点在X轴上，长半轴为（2）把J代入到曲线8,短半轴为3的椭圆;Ci的参数方程得：P （-4, 4）,把直线C3：x=3+2t y= - 2+t（t为参数）化为普通方程得：X- 2y - 7=0,一3设 Q 的坐标为 Q (8cos 0, 3sin

7、 0),故 M (- 2+4cos 0, 2+sin 0)2,(其中 sin a= , COS a=)5514cos 0 - 3sin 9 _ 13 | | Esin ( S _ 0 ) - 13 |所以M到直线的距离d="5从而当cos0= , sin 0=-；时，d取得最小值 -55n点评： 此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题.4.在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为f0 =2J?COS ( e +匹)，直线I的参数方程为!求=十(t为参数)，直线I和

8、圆C交于A , B两点，P是圆C2 g4尸-1+2阿上不同于A , B的任意一点.(I)求圆心的极坐标；()求 PAB面积的最大值.考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程. 专题：坐标系和参数方程.分析:(I)由圆C的极坐标方程为 p =22COS ( e+)，化为p2= 2COS 0 -K=p cos°代入即可得出.y=P sin0(ll)把直线的参数方程化为普通方程，禾U用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出.解已°解：(I)由圆C的极坐标方程为 p =2/2os(。+弓)，化为I=P C0

9、S 代入可得：圆 C 的普通方程为 x2+y2 - 2x+2y=0，即(x - 1 ) 2+ (y+1 ) 2=2. y=Psin9圆心坐标为(1,- 1),圆心极坐标为r | ;P cos 0 -(n)由直线I的参数方程二1+2逅七”为参数)，把代入y= - 1+2呵可得直线1的普通方程:圆心到直线I的距离点P直线AB距离的最大值为 < -二点评： 本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、 角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.+°为参数).以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极y=sinf坐标系，直线的极

10、坐标方程为.：求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.5.在平面直角坐标系 xoy中，椭圆的参数方程为考点：椭圆的参数方程；椭圆的应用.专题：计算题；压轴题.尸岳口昶（g为参数），直线的极坐标方程为2pcos （04 y=sin 0圆和直线先化为一般方程坐标，然后再计算椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.解答：分析:由题意椭圆的参数方程为:化为普通方程为*:; ' J （4 分）点 . "-Liz ' 1 -二亠il ' 到直线的距离解：将.J.' in： 1 'IV3COS e - V3sine -还 （0+T）師 I2 = 2所以椭圆上点到直

11、线距离的最大值为，最小值为 二.（10分）（6分）点评： 此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程 进行求解，这也是每年高考必考的热点问题.6.在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为'4x=l+-z-t5（t为参数），若以0为极点，x轴正半轴为极轴建立极 尸-1-袞5坐标系，曲线C的极坐标方程为 p=:cos（十.（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；x+y的最大值.（2）若M （x, y）是曲线C上的动点，求考点：参数方程化成普通方程.专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程.分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化

12、为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长.解答:（2）运用圆的参数方程，设出M,再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值.4x=l+-zt解：（1）直线I的参数方程为、5小（t为参数），消去t,尸T 袞5可得,3x+4y+1=0 ;由于:i -）,即有p2 = pcos 0- pin 0,则有 x2+y2 x+y=0，其圆心为（吉，吉），半径为,I石一 2+11圆心到直线的距离 d=,V9+161.0故弦长为2=2,;站碍*一 一 -（0为参数），尸 2rsin9（2）可设圆的参数方程为:则设 M （ _ _,_ - 一： ：i -）,则 x+y= _|&#

13、39; un. =sin （ E由于0R，则x+y的最大值为1.点评： 本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计 算能力，属于中档题.P点的极坐标为7 .选修4 - 4:参数方程选讲已知平面直角坐标系 xOy，以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,线C的极坐标方程为.一二_ .(I)写出点P的直角坐标及曲线 C的普通方程；(H)若Q为C上的动点，求PQ中点M至煩线I:(t为参数)距离的最小值.y= - 2+t考占：八、参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析:(1)利用x= pcos 0, y= p

14、in 0即可得出；(2 )禾9用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，解答:解(1)v P点的极坐标为(妬，),裁二2亦8#二2苗 Xy=3，那二时扫rr=2近 X*点P的直角坐标 (3,頁)把 P2=x2+y2, y= psin0代入 psin6=l 可得 F + /+2运尸 1，即吕 + (艸近)2=4曲线C的直角坐标方程为+2=4 .(x=2cos 9(2)曲线C的参数方程为厂(0为参数)，直线I的普通方程为x- 2y - 7=0l.v=-V3+2sin9设Q (2es6 ,-寸計)，则线段pq的中点M (鸟心皿B ,厲门8).2那么点M至煩线1的距离l-cos&#

15、169; - 2sin© - 7 | |cos B - 2sin0 - | sm ( 0 - $ ) + -翻丐 】丽 d_71? + 22晶屈.A 屈 _ 101，点M至煩线1的最小距离为虽E - 1.10占八、评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的 单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题.=l+cos 08在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程*. 土( $为参数).以0为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐Lysin1?标系.(I)求圆C的极坐标方程；(H)直线I的极坐标方程是 p (sin册) =

16、3 ；，射线0M： 0= 与圆C的交点为0, P,与直线I的交点为Q,求线段PQ的长.专题：直线与圆. 分析：考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.（I）圆C的参数方程X l + u日（0为参数）消去参数可得：（x - 1） 2+y2=1 .把x= pcosB, y= psin B代入化简即可得到此圆的极坐标方程.（II）由直线I的极坐标方程是 p（ sin9+巧aw 9）=3亦，射线OM ： 9=2!.可得普通方程：直线I严亦沪33， 3解答:射线OM > .分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出.解：（I）圆C的参数方程X-1+cOsV （ 0为参数）消

17、去参数可得：（X- 1） 2+y2 = 1 .把x= pcos 9, y= psin 9代入化简得：p=2cos 9,即为此圆的极坐标方程.（II ）如图所示，由直线I的极坐标方程是p （sin 9+；.: - ） =31,射线OM : 9= 1 .3可得普通方程：直线I汀；：，射线OM.：:._，即y 2联立y+V3x=3V3y=V3x，解得*联立(x-l )1.v=y 2=2.0点评:两点间的距离公式等基础知本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、9.在直角坐标系xoy中，曲线Ci的参数方程为识与基本方法，属于中档题.（a为参数），以原点O为极点，X轴正半轴

18、为极轴，建 y=sin立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 pin （ 9+芈）=4逅.4（1）求曲线Ci的普通方程与曲线 C2的直角坐标方程；（2） 设P为曲线Ci上的动点，求点 P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标.考点：简单曲线的极坐标方程.专题：坐标系和参数方程.分析： （1）由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式x= pcos 0> y= psin 0,把极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求得椭圆上的点丨d；：匚 门匚；到直线x+y - 8=0的距离为I >口丄"(-J _ o I 12siri (

19、口 h) 8 |，可得d的最小值，以及此时的a的值，从而求得点 P解答:的坐标.COSCL，两式两边平方相加得:y=sin!： < ，解：(1)由曲线Ci：x=/3cos CLy=sina即曲线Ci的普通方程为：丄，- J .由曲线 C2 ： ： _ 1 _I -.1 二得：. ' 1 -即 psin 0+ pcos 0=8，所以 x+y - 8=0,即曲线C2的直角坐标方程为：x+y - 8=0 .(2)由(1)知椭圆Ci与直线C2无公共点，椭圆上的点 FmJ -二hi匚到直线x+y - 8=0的距离为 ,IV3coSa+sina-8| l2sin(a+) -8|d= V2 =

20、'当.V；T _1时，d的最小值为二，此时点P的坐标为；'|3乙 2点评： 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，正弦函数的值 域，属于基础题.(迟p=2cos ( 0).卜-2 t10 .已知直线I的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程为尸亍+47(I)求圆心C的直角坐标；(H)由直线I上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.考点：简单曲线的极坐标方程.专题：计算题.分析： (I)先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用pcos 0=x , pin 0=y , p=x2+y2，进

21、行代换即得圆 C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标.(II)欲求切线长的最小值，转化为求直线I上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线I上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可.解答：解: (I).二一圆C的直角坐标方程为丁； |-. :,-I，圆心直角坐标为(5分)的普通方程为'广辽 -I.即:.玄|(II )直线 I圆心C到直线 直线I上的点向圆C引的切线长的最小值是 二一匚一二(10 分)坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.11. 在直角坐标系xOy中，以0为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线I的参

22、数方程为',(t为参数)，曲尸且t线Ci的方程为p ( p- 4sinB) =12，定点A (6, 0),点P是曲线Ci上的动点，Q为AP的中点.(1) 求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；(2) 直线I与直线C2交于A , B两点，若|AB|支 二，求实数a的取值范围.考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程. 专题：坐标系和参数方程.分析：解答:(1) 首先，将曲线 C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点 直角坐标方程；(2) 首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围. 解：(1)根据题意，得2 2曲线C1的直角坐标方程为：x

23、+y - 4y=12，设点 P (x', y')，Q (x，y)，根据中点坐标公式，得Q的轨迹C2的2 2J，代入 x +y - 4y=12，V 二得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：(x - 3) 2+ ( y - 1) 2=4，(2)直线I的普通方程为：y=ax，根据题意，得丄丄-一7，解得实数a的取值范围为：0，-.4点评： 本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题,解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解.12. 在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为p=4si

24、n 0，pcos()=2 匚.4(I)求C1与C2交点的极坐标；3x=t°+a(tR为参数)，求a,(H)设P为Ci的圆心，Q为Ci与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为， bF Tb的值.点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程.压轴题；直线与圆.(I)先将圆Ci,直线C2化成直角坐标方程，再联立方程组解出它们交点的直角坐标，最后化成极坐标即可；(II )由(I)得，P与Q点的坐标分别为(0, 2), (1, 3),从而直线PQ的直角坐标方程为 x - y+2=0,由参 数方程可得y=、'x-U+1，从而构造关于a, b的方程组，解得a,

25、 b的值.2 2解答:解：(I)圆Ci,直线C2的直角坐标方程分别为x + (y - 2)=4,x+y - 4=0, Ci与C2交点的极坐标为(4,1 ). (2匚,.24(II )由(I)得，P与Q点的坐标分别为(0, 2), (1, 3), 故直线PQ的直角坐标方程为 x - y+2=0 , 由参数方程可得解得 a=- 1, b=2.点评:本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程、把参数方程化为普通方程的方法，方程思想的应用，属于基础 题.13 .在直角坐标系xOy中，I是过定点P (4, 2)且倾斜角为a的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲

26、线C的极坐标方程为 p=4cos 0(I)写出直线I的参数方程，并将曲线 C的方程化为直角坐标方程；(H)若曲线 C与直线相交于不同的两点 M、N，求|PM|+|PN|的取值范围.解答：解：(I)直线l的参数方程为x=4+tcosCt(t为参数).Ly=2+tsin曲线C的极坐标方程p=4cos 0可化为p2=4 pcosB. 把x= pcos0, y= psin0代入曲线C的极坐标方程可得 x2+y2=4x，即(x- 2) 2+y2=4.(II )把直线I的参数方程为 4+tucisQ (t 为参数)代入圆的方程可得：t2+4 (sin a+cos a) t+4=0 . y=2+tsind曲

27、线C与直线相交于不同的两点M、N ,2 =16 ( sin a+cos a) - 16 > 0, - sin acos a> 0，又 a0 , n), -I.:,.又 t1 +t2= - 4 ( sin a+cos a) , t1t2=4.Jf |PM|+|PN|=|t 1|+|t2|=|t1+t2|=4|sin a+cos. 一 -. 1 ,T 二1 ',44点评:-匚：=I :> I4|PM|+|PN|的取值范围是 心”；三_1本题考查了直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆相交弦长问题，属于中档题.14 .在直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为1(t为参数)

28、，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标17 2 1系，O C的极坐标方程为 p=2 7sin 0.(I)写出O C的直角坐标方程；(n) P为直线I上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求 P的直角坐标.考点：点的极坐标和直角坐标的互化. 专题：坐标系和参数方程.分析：(I)由O C的极坐标方程为 p=2&|sin 0.化为pP=2、鹿PsinB，把，H -X十y代入即可得出；. y= P sin 9(II )设P (3垮t, t)，又C (o. Vs).利用两点之间的距离公式可得|PC|=F+12，再利用二次函数的性质即可得出.解答： 解：(I)由O C的极坐标方程为 P=3sin

29、 0. p2=2灯PsinB，化为 x2+y2=M§y,配方为 x2+ (y- 73)2=3.(II )设 P (3谆竹聲t),又 C(0 V5).二-化打 =、i 丝乙|PC|=-：因此当t=0时，|PC取得最小值2二.此时P (3, 0).点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题.15.已知曲线Ci的极坐标方程为 P=6cos 0,曲线C2的极坐标方程为 0二 ( pR),曲线Ci, C2相交于A, B两点.4(I)把曲线Ci, C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(H)求弦AB的长度.考点

30、：简单曲线的极坐标方程. 专题：计算题.分析：(I)禾U用直角坐标与极坐标间的关系，即利用 Ci的直角坐标方程.(n)禾U用直角坐标方程的形式，先求出圆心( 长度.解答：解: (I)pCOsB=x, psin 9=y, p =x +y，进行代换即得曲线C2及曲线3, 0)到直线的距离，最后结合点到直线的距离公式弦AB的曲线C2：:(仲)y=x,p=6cos 0,即2 2表示直线曲线Ci：2厶厶厶2p =6 pcos 02 2所以 x +y =6x 即(x - 3) +y =93, 0)到直线的距离r=3所以弦长AB= 2心二护=/ 弦AB的长度旳2.点评： 本小题主要考查圆和直线的极坐标方程与

31、直角坐标方程的互化, 基本方法，属于基础题.以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等16 .在直角坐标系xOy中，以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线I的极坐标方程为X- 2 +rcos fV2 尸-亍(I)求圆心c的极坐标；(n)当r为何值时，圆C上的点到直线圆C的参数方程为“(B为参数，r> 0)解答:rsin 0I的最大距离为3.简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系.计算题.(1 )利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线I的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去B可得曲线C的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可.(2)由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点 最后列出关于r的方程即可求出r值.P到直