均值不等式练习题

1、9 .已知pAOy41马孙=lg2，则A.4B.3C.2D.1、选择题21.若x 0,y 0且x + 2j,=l，那么2x 3y的最小值为（）322B.C.D.0432设口若乎与丫的等比中顶，贝J- + -的最小值（）4.对于函数y f (x)(x I),y g(x)(x I),若对任意x I,存在x0使得f (x) f (x0)g(x)g(x0)且f(x) gX),则称f (x),g(x)为“兄弟函数”已知f (x)x2px qA.3B.2C.4D.52415 .若x 0，则x一的最小值为()xA.2B.4C.6D.86.若实数x,y满足x2y22x 23y 3 0，则x J3y的取值范围是

2、（）x|b x乎,Nx | .ab xa，则集合M I N等于（)B.x |b x aC.x | . abxa b2.,a bD.x|x2a3.若 ab c集合MA.x|b x . abA.2B.C.4D.8g(x)x2x 1x2,2上的“兄弟函数”那么函数f（x）在区间12上的最大值为22A.2,B.2,6C.2,6D.4,07.设a 0,b0,AA1，则一一的最小值是（B.C.1&正数x, y满足x2y则xy的最大值为B.C.1定义在区间的最小值是（17.若a 0,b 0,且a b 2,则下列不等式恒成立的是（）10 已知关于x的不等式2x 7在x （a,）上恒成立，则实数a的最小值为（）

3、x a35A.1B.-C.2D.22uuu uuurULLT ULLT11.设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足AB AC 0,AC AD 0,ujur uuuAD AB 0，用S、SPS3分别表示厶ABC、ACD、ABD的面积，则3S?S3的最大值是A.B.2C.4D.8212 在实数集R中定义一种运算“ ”，对任意a,b R，a b为唯一确定的实数,且具有性质：（1）对任意a R,a 0 a；(2)对任意a,b R,a b ab (a 0) (b 0).则函数f（x）（e%）的最小值为（)eA.2B. 3C.613 若直线ax by 10平分圆C:1A.(,41B.(,8

4、C.(0,4214 .已知关于x的不等式ax2x b 0(a 0)的解集是a2b22b2，且a b，贝U-的最小值是a bx2y22x 4y 10的周长，贝y ab的取值范围是C17.若a 0,b 0,且a b 2,则下列不等式恒成立的是（）A.2 2B.2C.2D.115.在R上定义运算: :对x, yR，有xy 2x y，如果a是 ()3228A.10B.9C.D.3316.若a b 0，则代数式a21的最小值为（）b a bA.2B.3C.4D.5b 1(ab 0),则1a（衿）的最小值11B丄丄 2C.ab12 2cD.a b2aba rnbA.z 0，则当取得最大值时,xyx, y,

5、z满足x23xy 4y2x 2y z的最大值为99A.0B.C.2D.8418 .设正实数19 .已知4b的最小值是（7A.2B.49C.2D.520 .已知1，则函数y的最小值为（A.1B.0C.1D.221 .已知直线I过点P(2,1), 且与x轴y轴的正半轴分别交于A,B两点，0为坐标原点，则OAB面积的最小值为（A.2 2B.4“2C.4D.322 .若函数f (x)满足:f(x)4f($ xx则I f （x） |的最小值为2A.15B.415C.2 15154 15D.-1523.).fababA.a b2abB.2C.|2D.baba24 .已知a、bR，且ab 0，则下列结论恒成

6、立的是(25 .某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产2 2a b 2ab.第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A.3B.4C.5D.626 .如图，有一块等腰直角三角形ABC的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH的绿地，已知AB AC,AB 4，绿地面积最大值为A.6C.4D.2、2年Na 0,b0,则以下不等式中不恒成立.的是 （）28 设a 0,b0,则以下不等式中不恒成立.的是（3,3,2B.a b 2abA.5B.7C.

7、8D.9二、填空题R ,b R，函数y 2ae b的图象过（0, 1）点，贝 U的最小值是,_. 24c4x k ,k Z，贝U sin x 2 4B.若a 0，则a一4sin xa30 .下列命题正确的是A .若( )c.若a0,b0,则Iga Igb2 Ig a IgbD.若a 0,b0,则-2a b31 .已知f(x) Iog2(x 2)，若实数m,n满足f(m) f(2n) 3,则m n的最小值为32 .不等式x22x -lb+型对任意a,ba（0,）恒成立，则实数x的取值范围是（）A.( 2,0)B.(, 2) (0,)C.( 4,2)(,4)(2,)34.若关于x的不等式（组）0

8、x272no7x22对任意 n N*恒成立，则所有这样的解x构成的92n192n集合是35 .对于实数a和b，定义运算aab, a ba b2bab, a b，设f x 2x 1 x 1，且关于x的方程为f xm m R恰有三个互不相等的实数根X!,X2,X3，则x/zXs的取值范围是27 .设A .(a b)b.)4a b3 3 2B .a b 2ab2 2C .a b 2 2a 2bD.Ja b| a b2 2C .a b 2 2a 2bD.|a b | a29 .若 ml；沦：a ，则 _m的最小值为（A.1B.2C.3D.433 .已知a4个焦点的四边形面积为S2，则的最大值为S237

9、 已知a b 0，且a b 2，则一21a 3b a b9438 .已知实数a,b满足22a b40 已知x 0, y 0,丄上一x y 1uuuUUT42.M是厶ABC内的一点(不含边界),且AB AC23,BAC 30,若厶MBC, MCA,以上命题是真命题的是m, n, p分别是MBC、MCA、MAB的面积，若f (M ) (,x, y)，则一 一的最小值46._若实数a,b,c满足2a2b2a b,2a2b2c2a b c，则c的最大值是_ .447.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f (x)的图像交于P,Q两点，则线段xPQ长的最小值是_48 现要用一段长为I的篱

10、笆围成一边靠墙的矩形菜园(如图所示)，则围成的2x36 设连接双曲线-2a2yb222_ yx1与 一22ba1(a 0,b0)的4个顶点的四边形面积为S1,连接其39.已知向量a (x 1,2),b(4, y)，若a b，则16x4的最小值为41 .已知a, b是正数，且ab ab 3，则ab的最小值为MAB的面积分别为x, y,z，记f (x, y, z)149，则y zf (x, y, z)的最小值是43 .已知函数f (x) x一29的定义域为x x xR,x则实数a的取值范为44. (1)a2成立当且仅当a, b均为正数.(2)b2x2-,(x0)的最小值是34x2a(3)y x(a

11、 2x) ,(0 x J的最大值是2a327(4)|a -|2成立当且仅当a 0.a的最小值为1,则a2b2的最小值是2，则2x y的uuu45 设M是厶ABC内一点，且ABUULT_AC 2 3,BAC 30，定义f (M )(m, n, p)，其中菜园最大面积是.1149设a,b为两个正数，且a b 1，则使得 +恒成立的的取值范围是a b150 .若x 2，则x -的最小值为；x 2111151 .已知正实数x, y, z满足2x(x ) yz，则(x )(x)的最小值为y zy z2a52 .设常数a 0，若9x a 1对一切正实数x成立，则a的取值范围为x53.- 已知函数f (x)

12、 x(x 2)的图象过点A(3,7)，则函数f(x)的最小值是X2-1154. 设x, y R，且x y 5，则3x3y的最小值是_455 .设x 0,则y 3 3x的最小值为 _x56 .在等式 一 一m 中,x 0, y 0,若 x y 的最小值为,则 m的值为x y63257 .若a 0,b0,且函数f(x) 4x ax 2bx 2在x 1处有极值，则ab的最大值等于58. 一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它速度的平方成正比,元当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为海里/小时时，费用总和最小59 .已知正数x,y满足 x 2y 2，则

13、x 8y的最小值为 _xy最小值为_ .a2b266 .已知a b，且ab 1，则-的最小值是a b除燃料费外其它费用为每小时96, 1960 .已知正数x, y满足x y一10,则xy的最大值为xy162 .设x, y均为正实数，且11冲一，则xy的最小值为2 x2y 3A,若点A在直线 mx ny 10 上,其中mn 0,则21的m n65.函数 ylogax 1(a 0,a1)的图象恒过定点菜园最大面积是.67 .一环保部门对某处的环境状况进行了实地测量，据测定，该处的污染指数等于附近污染源的污染强度与该处到污染源的距离之比.已知相距30 km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为

14、1和4，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和现拟在它们之间的连线上建一个公ULUT ULUT设A、B、C、D是半径为1的球面上的四个不同点，且满足AB AC 0,AC AD 0,最小值为三、解答题271 某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 m的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所2 2 -示)，如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为802元/m，水池所有墙的厚度忽略不计.(1) 试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m，试设计污水池的长

15、和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.x?+ 2 x+ a72 已知函数f (x)=,x 1,).x(1)当a 4时，求函数f (x)的最小值;若对任意x 1,),f(x) 0恒成立，试求实数a的取值范围.73 已知函数f (x) m |x 2|,m R*，且f(x 2) 0的解集为1,1.(1) 求m的值；园，为使两化工厂对其污染指数最小，则该公园应建在距A化工厂公里处.uuuuuurujurADuuiAB 0,用SpS2、S3分别表示厶ABC、ACD、ABD的面积，则69 .下列结论中函数yx(12x)(x0)4y 2 3x (xx0)有最大值2 4 3若a正确的序号是2 270.若不等式

16、x 2xy a(xSS2S3的最大值是y2)对于一切正数11 1(2) 若a,b, c R，且一m，求证：a 2b 3c 9.a 2b 3c74 .已知正实数a、b、c满足条件a b c 3,(1)求证：a -b c 3；(2)若c ab，求c的最大值.2 275 .已知x 0, y 0，证明：(1 x y )(1 x y) 9xy76. (1)求函数y x-1+. 5 x的最大值；(2)若函数yax+1+. 6 4x最大值为25，求正数a的值.78 .(本小题满分 12 分)我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层已知天宫一号建造的隔热层必须使用6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C(万元)与隔

17、热层厚度x(厘kC x - 0 x 10，若无隔热层，则每年能源消耗费用为3x 5热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和(I)求C(x)和f x的表达式;(II)当陋热层修建多少厘米厚时，总费用f x最小，并求出最小值79 . (14 分)某公司在安装宽带网时，购买设备及安装共花费5万元该公司每年需要向电信部门交纳宽带使用费都是0.5万元，公司用于宽带网的维护费每年各不同，第一年的维护费是0.1万元，以后每年比上一年增加0.1万元.(1) 该公司使用宽带网满5年时，累计总费用(含购买设备及安装费用在内)是多少？(2) 该公司使用宽带网多少年时，累计总费用的年平均值最小？80 某化工企业20

18、16年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元.(1) 求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y(万元);(2) 为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？11481 .已知x 0, y 0，求证：一-1- .x y x+ yx 4y 3,82 .设z 2x y，式中变量满足下列条件：3x+ 5y 25,求z的最大值和最小值.77 .若对任意x 0,xx23x 1a恒成立，求a的取值范围.20年，每厘米厚的隔热层建造成本

19、是米)满足关系式:8万元设f xx 1,83.设函数f (x)|x 2a|,a R.(1)若不等式f(x) 1的解集为x|1 x 3，求a的值；(2)若存在xoR，使f(Xo) xo3，求a的取值范围84 某校要建一个面积为 450 平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3 米的进出口(如图).设矩形的长为x米，钢筋网的总长度为y米.(1) 列出y与x的函数关系式，并写出其定义域；(2) 问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？(3)若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋

20、网的总长度最小？85已知a,b,c均为正数，证明：a2b2c2-丄)26J3，并确定a,b,c为何值时，等号成立.a b c参考答案1.B【解析】由 _ -得- 得，：,所以-v -.-，因为，所以当时,有最小值 _ - . - _ -一_、- _ -2.C【解析】由题意知，即，所以.-.。所以一、:一.:.:.所以一计a b a ba bJa b当且仅当，即 时，取等号，所以最小值为4，选 C.( (7b23.C 试题分析：因为 bb2ab 丄 a ,所以 Ml N (.ab,a b)，选 C.2 2考点：利用基本不等式比较大小x2x 11g(x)= -=x+ -1 2-1=1,xx当且仅当

21、 x=1 时，等号成立， f(x)在 x=1 处有最小值 1, 即 p=-2,2 2 f(x)=x -2x+2=(x-1)+1,4. B【解析】2 f(x)max=f(2) = (2-1) +1=2.考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时， 要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件 才能应用，否则会出现错误6. C 试题分析：实数x,y满足x2y22x 2. 3y 3 0，可得(x 1)2(y . 3)21，所以可设x 1 cos,y 3 sin，则x 1 cos

22、 , y . 3 sin，所以x、3y 1 cos . 3(、3 sin )4 cos .3s in 4 2cos( ),所以cos( )1时，原式取最大值4 26；所以33cos( )1时，原式取最小值4 22，故选 C.3考点：圆的方程；圆的最值问题5. B 试题分析:当且仅当X1时取等号，因此最小值为2，选 A.21 -2X1+q=1,【方法点晴】本题主要考查了圆的方程及其应用问题，其中解答中涉及圆的标准方程、圆的一般方程、圆 的参数方程、以及三角函数的最值问题等知识点的的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能 力，以及推理与运算能力，解答中根据圆表示方程，利用圆的参数方程，转化

23、为三角函数的求最值是解答& A试题分析：x 2y 2 2xy 2 2xy 1 xy考点：不等式性质9. A【解析】由. d匚亠一-，得一 一，即.尹心一 7 ,所以 ,由二一x盂班AT3y x 3 丁当且仅当 21. ,2_，即 -，取等号，所以最小值为 4，选 A.x 3y-0- B【解析】_ -_Xaxa由题意可知 4 + 2a7,得 J ,即实数 a 的最小值为，故选 B. 一 ?11 . B试题分析：设ABx，AC y,AD z,则有2 2 2 2 2 2222朋111xyyxzXcx y z2 ,S1S2S3 xy -yz zx2.222444即S1 S2 Ss的最大值为 2.考点：

24、基本不等式x1(e )x的最小值为3,e选B.考点：基本不等式，新定义问题1 11 17. B 试题分析： 由题意得(一H(a b)a ba b等号成立，所以1 1的最小值是 4，故选 B.a b考点：基本不等式求最值baa12 -22 -4，当且仅当a b 时abY ab2-，最大值为-12 . B 试题分析：依题意可得f(X)/ X、1x1x1(e )xexexe ee，当且仅当x 0时=”成立，所以函数f (x)关键，属于中档试题13. B【解析】依题意知直线 ax by + 1 = 0 过圆 C 的圆心（一 1, 2）,即 a+ 2b = 1,由 1 = a + 2b 2V2ab,1a

25、bw，故选 B.814.A【解析】由已知可知方程ax + 2x+ b = 0（a丰0）有两个相等的实数解，故= 0，即 ab = 1.16. C18.Cf纽a+h1Z Za a 51【解析】由已知可得了孑 t+p=?+丁+忑+2+2，当且仅当 a 专,b=?时取等号，即 +石的最小值6b2aa3b时=”成立。故 B 正确。当且仅当【解【解析】由题得 z+3xy=x ?+4y2 4xy(x,y,z0),即 z xy, 1当且仅当 x=2y 时等号成立，xy2+2.是(a b)22aba b=(a b) +，因为 ab，所以(a b) +2a b试题分2a 3b 1(ab 0)，求因为ab 0且2

26、 (2a 3b)(2丄)a 3ba 3b6b2a3b21a3b5f2a 3b考点：1新概念；2 基本不等式。【解a2a b,42 ab 0,即 a=,b=时，等号成立.故选 C.17. D【解2=a+b|：-. 2 恒成立.故选 D.6b 2a的最小值。 4,当且仅当2 a + 2,选项 B 也不考点：基本不等式.20 .C 试题分析：由于x 1，则x 110,所以y x厂11 x 1当且仅当x 11x 1，由于x 1,即当0时，上式取等号，因此函数1,1 2y1,故选 C.考点：基本不等式x试题分析：设A(a,0), B(0,b)，则l :a1(a0,b0)，依题意可得2a1，所以12a21

27、t2 110 一也就是ab 8(当当且仅当彳一一一即a 4, b 2ab4a b 2时等号成立即SOAB】ab184，故选 C.2 2),考点：1直线的方程；2基本不等式.f x 4f4x4xr4f x当彳x0, f x2i-15x1515x15V15x 15154x14x4 1I 4x4x 0, f x2一-，所以f x15x151515151| 15x151522 . B 试题分析：根据,消去fx,有fxx考点: 方程组思想求函数解析式；均值不等式；4f x1，由联立x1123 B试题分析：根据f x4fx,有f4f xxx4 x4xf x当x0,f x15x1515x15上4x4x4x

28、0, f x2，所以15x151h151515x考点：方程组思想求函数解析式；均值不等式；1，由联立x,消去f15x 151515x151524 C 试题分析：当a,b都是负数时，A不成立，当a,b一正一负时,B不成立，当a b时,D不成立,因此只有C是正确的.25 A考点：基本不等式.考点：1、不等式的性质；2、基本不等式.28. B试题分析：设该设备第n n N的营运费用为an万元，则数列a.是以2为首项，以2为公差的等差数列，贝U a.2n,则该设备到第n n N年的营运费用总和为a“a?L a.24 L 2nn 2 2n2-n n，设第2 2N的盈利总额为Sn万元，则Sn11n n n

29、 9 n 10n9,因此，该设备年平均盈利额为2Snn 10n 999nn 10 n 10nnnnn910 4,9当且仅当n且当nn考点：1数列求和；2基本不等式，即当n 3时，该设备年平均盈利额达到最大值，此时n 3，故选 A.试题分析：设EH x,EF y，由条件可知EBH和EFA为等直角三角形,所以EB 2j l于是 n=+1.(m-2)(2n-2) = a所以 m+n=m+ -+1=m-2+ -+3 2一+3=7.当且仅当 m-2=-，即 m=4 时等号成立，此时m+n 取最小值 7.a16bc a 16b2由于+ 一 2.-=8(a= 4b 时等号成立)， x + 2x8，解得一 4

30、x2.baVb a33 .32 2试题分析：因为函数过点x0,1,把点带入函数y 2ae b可得2a112ab 2a bc b 2a c3 32 2.当且仅当b 2a时取等号.故填3 2 2ababa ba b考点：基本不等式b 1，所以34 . 1,2试题分析：不等式等价于9_2二(21)2_2n_厂2一2厂1x22n(2n1)22n(2n1)2，即x22n(2n1)22n2(2n1)2912 丁2(均值不等式不成立)令t 2n2(n N )故30 . D 试题分析：应用基本不等式所具备的条件是：一正、二定、三相等号时sin4x1.所以24不成立，所以选项0,sin2x.2sin x4a 4

31、则a.所以B，当取等选项不正确a 0,b 0，但是lg a，lg b可以小于零,232 . C【解析】不等式 x + 2x+ 型对任意 a, b (0,+)恒成立，等价于ax2+ 2x 0,b0), 了二（当且仅当a=b 时取等号）.37试题分析因为a b 2所以(a 3b) (a b) 4,所以2 1 1 2a 3b a b 4 a 3b)(a 3b) (a b)1（3 鲁）扣逅.所以答案应填:42. 3638. 25试题分析：ab294a2b24a2等号成立，所以最小值为25考点：不等式性质39. 8试题分析：利用向量垂直的充要条件：数量积为a2b213 2y3625，当且仅当9b24a2

32、2a时0，得到 x, y 满足的等式；利用幕的运算法则将待求的式子变形；利用基本不等式求出式子的最小值，注意检验等号何时取得.解：已丄 b 屮(x-1, 2) , b 二4, y)二4( (x1) )+勿=0即 4x+2y=44x2y当且仅当 2 =2 即 4x=2y=2 取等号故答案为 8点评：本题考查向量垂直的充要条件:数量积为0;考查利用基本不等式求函数的最值需注意满足的条件:40.分析：法2可得2 2y2y2x3(当且仅当y1(yy0）即y 1时等号成立）；法二：2x y 1 11(2x y 1)(12)2x y 111(224x y 1 y 1 x2) 11(42（当且仅当4x y

33、11 2- 2x y 1x1y1时等号成立）即考点：基本不等式及其应用41 . 9试题分析:ab 3 a b 2 .ab ( ab)22、ab0 Cab 3) ab 1)0,.ab 3,ab9.考点：重要不等式及不等式的解法uuu uuruuu【解析】根据AB AC= 23,uur/BAC= 30。，得| |AB| AC| |= 4,故厶ABC的面积是 丄| |2uuu uuurAB| AC|sin 3042. 3614 +mn4+y+z= 1.f(x,y,149z)=xyz=(x+y+z)4x14+4x+y+9x+zz x+9y+4zz y 14 + 4+ 6+ 12 = 36.当且仅当y=

34、 2x,z= 3x, 3y= 2z时，等号成立.8143. a 4试题分析：由函数定义域可知a为正数，根据均值不等式,x22. a9恒成立即可.考点：均值不等式求最值44.（3）、（4）解析】a当且仅当a,b均为正时等号成立故（1 ）错；0,y 2x22x2ax2y1|a | |a|a45. 182x23x 33；36成立.故 （2 ） 错；x(a2x)2|1| 2, a【解【解析】 根据题意uuuAB4x (a 2x)(a2x)时等号成立故（4）对.uurAC=|AB|AC|cosZBAC=2uuuuur2a32a327ax 当6时等号成立故 （ 3）对;uur可得 |AB|AC|=4,uu

35、u所以 SABC=uuuunr1111|AB|AC|sin/BAC=X4X=1,贝卩 一 +x+y=1,即 x+y=22223,所以4+ =2(x+y)(丄+4)=2(1+4+y+4x)A 2X(5+4)=18 当且仅当y=:4x，即 x=1,y=1yx yxyxy63时取等46. 2-log23【解【解析】设 m=2 1 n=2：x=2：m+n=mn.=1(m0,n0).a b c a+b+c则由 2 +2 +2 =2得 mn+x=mnx,/ (mn-1)x= mn,mnmn 11二 x=11mn1 1又一+=1 2m n14 +mn451 .2【解析】X,mn1-1- mn即 2c 2以

36、6aa+ 1，即卩 a一5xVx553 . 6【解析】 函数f(x) =x+a(x2)的图象过点 A(3, 7), 即卩 7= 3+ a, a = 4.vx 20 ,x 2 f(x)= (x 2) +L+ 22 Jx 2 + 2 = 6,当且仅当 x= 4 时等号成立，故此函数的最小值是6.x 2Vx 254. 18 .3,3x3y=2 3x+y=2；35= 183，当且仅当 x= y=5时等号成立.2所以，25【解【解析】3x+ 3y 2【解【解析】/ x0)，即 x= 10 时取等x21112 , S|S2S3 xy yz zx-2-2.考点：基本不等式69 .考点：基本不等式应用70.5

37、12【解析】方法一：令y=tx,则t0 ,2 2 2 2 2代入不等式得x+ 2tx 0 对t0 恒成立，显然a0 ,故只要A= 4 4a(a 1)W0,2即aa 10，考虑到a0，得故a时，总造价最低，为 38882 兀.(1) 设污水处理池的宽为 xm，则长为162mx方法二：令y=tx,则a2x + 2xy2丄22x + y 1+1=1 + 2t，令m= 1 + 2tl，贝 Ut=则a1+ 2t1+ t2= 4m =44+(m1)2m22m+5m+5 ?m4m2 22.4的最大值为71. (1)当长为 16.2m ,宽为 10m 时总造价最低，最低总造价为 38880元.(2)当长为16

38、m，宽为【解因为x 0，所以 y 2 3x4 32 4 3因为a 0，所以(1a)(12181试题分析：y x(1 2x)4+129601296X2号.当长为 16.2m，宽为 10m 时总造价最低，最低总造价为38880 元.0 x 16,1 100 1162二 x 6，当 x= 2 时，取得等号.即当 x= 2 时，f(x)min=xx6.x + 2 x+ a2(2)-x 1 ,+),0 恒成立，即 x 1 ,+), x + 2x+ a0 恒成立.x2等价于 a x - 2x,当 x 1 , +)时恒成立，2令 g(x) = x 2x, x 1,+),ag(x)max= 1 2X1 = 3

39、, 即 卩 a 3. a 的取值范围是3,73 . ( 1)m 1(2 )详见解析试题分析：(1)根据绝对值不等式的公式求f(x 2) 0的解集，因为解集又为1,1，根据对应相等可一 .1 1 1 .得m的值.(2)由(1)知一一m 1.根据柯西不等式或基本不等式证明即可a 2b 3c试题解析：解：(1)因为f (x 2) m |x |,所以f (x 2)0等价于|x| m,2 分由| x| m有解，得m 0,且其解集为x| m x m又f(x 2) 0的解集为1,1，故m 1.(5 分)(2)由(1) 知111.u m一 一 一1,又a,b,c R,7a 2b 3c(2)由限制条件知g(x)

40、号.当长为 16.2m，宽为 10m 时总造价最低，最低总造价为38880 元.111f 1 f 11a 2b 3c (a 2b 3c)(一)(Ja J2bJ3c)299 分a2b 3c| YaV2bV 3c又/ a0 , a = 2.(或展开运用基本不等式)/a 2b 3c 9. 10 分考点：1 绝对值不等式；2 柯西不等式;3 基本不等式.74 . ( 1)详见解析；(2) 1试题分析：(1)根据一般形式的柯西不等式证明(2)根据基本不等式可得a b 2.ab.可将a b c 3转化为3 2、ab c 2、c c,转化为关于c的一元二次不等式.试题解析：证：(1 ) (、,a bc)2(

41、a b c)(1 1 1)代入已知a b c 3(Pa. b i c)29. a . b . c 3当且仅当a b c 1，取等号。5 分(2)由a b 2 ab得c 3，若c ab，则2匸c 3,. c 3 c 10,所以c 1,c 1，当且仅当a b 1时，c有最大值 1。10 分考点：1 柯西不等式;2 基本不等式.75 .证明见解析.试题分析：直接利用算术几何平均不等式可得1 x y233xy2,1 x2y33x2y，两式相乘即得要证不等式.试题解析: (1 x y2)(1 x2y) 93xy2 3x2y9xy.【考点】算术平均值-几何平均不等式.76. ( 1) 22(2) 2【解【

42、解析】(1) / (x-1+. 5 x)2 (1 + 1)(x 1 + 5 x)= 8,.x-1+. 5 x w22.当且仅当 1 x-1=1 5 x即 x= 3 时，ymax= 2 2.(a Jx+1+)=a J x+1+2.1 x25【解析【解析】axx23x对任意x0 恒成立，设u=x+ -x+ 3，只需a丄恒成立即可.u/ x0 ,u 5(当且仅当x= 1 时取等号).1110 5,知78 .解:(I)3x 56x20 403x 56x800 03x 510 .; (II)隔热层修建 5 厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70 万元.G 20 40-x 6x - 6x3x 5800

43、x 6x - 2 3x 5【解析】8003x 5不能直接用均值定理，需把6x 转换为 3x+5 的形式,8003x 53x 510，在用均值定理。解：(I)当x 0时，C=8，所以k=40，故 Cx403x 53分f x 6x20 406x8000 x 10.3x 53x 56-分800 800 -(II)f x 6x - 2 3x 5- 102 16001070,3x 53x 5800-，即x 5时取得最小值.3x 5当且仅当6x 101.分分即隔热层修建 5 厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70 万元.79 . ( 1)使用 5 年时累计总费用为 9 万元.(2)使用 10 年时，宽带

44、网累计总费用的年平均值最少.【解【解析】第一问中利用等差数列的求和公式得到。宽带网维护费组成以0.1 万元为首项，公差为 0.1 万元的等差数列所以使用 5 年时累计总费用为5 0.5 5(0.1 55 40.1)92第二问中，设使用x(x N )年时，宽带网累计总费用的年平均值为y万元，可得x(x1)5 0.5x 0.1x - 0.1口y -20.550.05xxx0.5550.05x1.55x结合均值不等式得到结论。解：(1)宽带网维护费组成以0.1 万元为首项，公差为 0.1 万元的等差数列1 分所以使用 5 年时累计总费用为5 42所以，使用 5 年时累计总费用为 9 万元.(2)设使

45、用x(x N*)年时，宽带网累计总费用的年平均值为y万元，可得5 0.5x0.1xX(X1)0.1口25y - 0.55 0.05x.10 分xx0.55 2J50.05x1.5512分V x5当且仅当0.05x，即x 10时等号成立，此时y取最小值.13分x所以，使用 10 年时，宽带网累计总费用的年平均值最少.14 分100(1) y = x+ 1.5(x 0)x81 .见解析2 2【解析】原不等式等价于(x y) 4xy，即(x y) 0,显然成立.故原不等式得证.82. 123【解【解析】变量 x、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.(如图)

46、作一组与 10: 2x y= 0 平行的直线 I: 2xy = t.t R 可知：当 I 在 I。的右上方时，直线 I 上的点(x, y)满足 2x y 0，即 t 0，而且直线 I 往右平移时，t随之增大，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于I 的直线中，以经过点 A(5, 2)的直线 I2所对应的 t 最大，以经过点 B(1 , 1)的直线 I1所对应的 t 最小.所以 Zmax= 2X5 2=12,Zmin=2X11=3.5 0.5 5(0.1 50.1)95分(2)10 年【解(1)y =100+停(2+4+6 6+x2)即 y=x+ 型 + 1.5(x 0).x(2)由均值不等式得y = x100 x100 x 1.5 = 21.5,当且仅当100 x=即 x = 10 时取到等号，故该企业10 年后需要重新更换新设备. 1.5 2试题分析：(1)根据绝对值不等式公式可得f(x) 1的解集，根据其解集与集合x |1 x 3可得a的x,383.(1)a 1； (2),试题分析：(1)根据绝对值不等式公式可得f(x) 1的解集，根据其解集与集合x |1 x 3可得a的x值。(2)令g(x) f(x) x，根据绝对值内式子的正负去绝对值将函数改写为分段函数，根据函数的单