苏教版高中数学选择性必修一教师版讲义

-1-编号：030课题:§4数列复习课目标要求1、理解并掌握等差数列与等比数列的基本运算．2、理解并掌握等差、等比数列的性质及应用．3、理解并掌握数列的通项与求和．4、理解并掌握等差、等比数列的判定.5、理解与掌握数列与函数.学科素养目标在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．重点难点重点：等差、等比数列的判定；难点：数列与函数．教学过程思维结构简图基础知识积累1.数列的有关概念数列按照一定次序排列的一列数称为数列项数列中的每个数都叫作这个数列的项首项数列的第1项称为首项2.数列的表示①一般形式：；②字母表示：上面数列通常记为．3．数列的分类类别含义按项数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列4．数列的通项公式一般地，如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式．5．数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，它们的关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，})解析式数列的通项公式值域自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法6.递推公式(1)概念：如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的递推公式．(2)作用：利用递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项．7．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法，以数列2，4，6，8，10，12，…为例，表示如下：①通项公式法：an＝2n.②递推公式法：③列表法：n123…k…an246…2k…④图象法：8．数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式．9.等差数列的定义(1)条件：①从第2项起．②每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．(2)结论：这个数列是等差数列．(3)相关概念：这个常数叫作等差数列的公差，常用d表示．10．等差中项(1)前提：三个数a，A，b成等差数列．(2)结论：A叫作a与b的等差中项．(3)满足的关系式：2A＝a＋b．11．等差数列的通项公式递推公式通项公式__an＋1－an＝d(n∈N*)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)12.等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数求和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)或Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．13．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d整理成关于n的函数可得Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.14.等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示．15．等比中项在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项．16．等比数列的通项公式首项为a1，公比是q(q≠0)的等比数列的通项公式为an＝a1qn－1．17.等比数列的前n项和公式已知量首项、公比与项数首项、公比与末项求和公式Sn＝Sn＝18．错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．(2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法．【课堂题组训练】题组训练一等差数列与等比数列的基本运算题1．在等比数列{an}中，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为17，则S6＝()A．eq\f(63,4)B．16 C．15 D．eq\f(61,4)【解析】选A.设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2a3＝a1a4＝2a1，则a4＝2；由a4与2a7的等差中项为17知，a4＋2a7＝2×17＝34，得a7＝16.所以q3＝eq\f(a7,a4)＝8，即q＝2，所以a1＝eq\f(a4,q3)＝eq\f(1,4)，则S6＝eq\f(\f(1,4)（1－26）,1－2)＝eq\f(63,4).题2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a8＝13，S7＝35，则a7＝________．【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由已知得(a1＋2d)＋(a1＋7d)＝13，S7＝eq\f(7（a1＋a1＋6d）,2)＝35.联立两式，解得a1＝2，d＝1，所以a7＝a1＋6d＝8.答案：8题3．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.【解析】(1)设{an}的公差为d.由题意，得aeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(11))＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d).于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝－2或0(舍去).故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝eq\f(n,2)(a1＋a3n－2)＝eq\f(n,2)(－6n＋56)＝－3n2＋28n.【解题策略提醒】等差与等比数列的基本量计算方法在等差(或等比)数列中，首项a1与公差d(或公比q)是两个基本量，一般的等差(或等比)数列的计算问题，都可以设出这两个量求解．在等差数列中的五个量a1，d，n，an，Sn或等比数列中的五个量a1，q，n，an，Sn中，可通过列方程组的方法，知三求二．在利用Sn求an时，要注意验证n＝1是否成立．题组训练二等差、等比数列的性质及应用题4.已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是()A．21B．20C．19D．18【解析】选B.由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，所以a3＝35.同理可得a4＝33，所以d＝a4－a3＝－2，an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))得n＝20.所以使Sn达到最大值的n是20.题5.等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列的前13项和为()A．13B．26C．52D．156【解析】选B.3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，所以6a4＋6a10＝24，所以a4＋a10＝4，所以S13＝eq\f(13（a1＋a13）,2)＝eq\f(13（a4＋a10）,2)＝eq\f(13×4,2)＝26.题6.已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1等于()A．n(2n－1) B．(n＋1)2C．n2 D．(n－1)2【解析】选C.因为a5·a2n－5＝aeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(n))＝22n，且an>0，所以an＝2n，因为a2n－1＝，所以log2a2n－1＝2n－1，所以log2a1＋log2a3＋…＋log2＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝eq\f(n[1＋（2n－1）],2)＝n2.【解题策略提醒】等差与等比数列性质的应用等差、等比数列的性质主要涉及数列的单调性、最值及其前n项和的性质、利用性质求数列中某一项等，关于等差(比)数列性质的应用问题，可以直接构造关于首项a1和公差d(公比q)的方程或方程组来求解，再根据等差(比)数列的通项公式直接求其值，此解思路简单，但运算过程复杂．题组训练三数列的通项与求和题7．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an(1－nan＋1)，则数列{an}的通项公式为()A．an＝eq\f(n2－n＋2,2)B．an＝eq\f(n2－n＋1,2)C．an＝eq\f(2,n2－n＋1)D．an＝eq\f(2,n2－n＋2)【解析】选D.原数列递推公式可化为eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝n，令bn＝eq\f(1,an)，则bn＋1－bn＝n，因此bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b3－b2)＋(b2－b1)＋b1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＋1＝eq\f(n2－n＋2,2).从而an＝eq\f(2,n2－n＋2).题8.已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))满足：a1＝eq\f(1,2)，，用eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x))表示不超过x的最大整数，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1＋1)＋\f(1,a2＋1)＋…＋\f(1,a2020＋1)＋\f(1,a2021＋1)))的值等于()A．1B．2C．3D．4【解析】选A.由，得eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1)，所以eq\f(1,a1＋1)＋eq\f(1,a2＋1)＋…＋eq\f(1,a2021＋1)＝eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2)－eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,a2021)－eq\f(1,a2022)＝eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2022)＝2－eq\f(1,a2022)，由a1＝eq\f(1,2)，得a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,4)，a3＝eq\f(21,16)>1知从a3以后都大于1，所以eq\f(1,a2022)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，所以2－eq\f(1,a2022)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1＋1)＋\f(1,a2＋1)＋…＋\f(1,a2021＋1)))＝1.题9．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数).则下列埃及分数eq\f(1,1×3)，eq\f(1,3×5)，eq\f(1,5×7)，…，eq\f(1,2019×2021)的和是()A．eq\f(2020,2021) B．eq\f(1010,2021)C．eq\f(1009,2019) D．eq\f(2018,2019)【解析】选B.因为eq\f(1,n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋2)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2)))，所以eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,2019×2021)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋\f(1,5)－\f(1,7)＋…＋\f(1,2019)－\f(1,2021)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2021)))＝eq\f(1010,2021).题10.已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，则数列{an}的通项公式是________．【解析】令Sn＝a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an，则Sn＝9－6n，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时·an＝Sn－Sn－1＝－6，所以an＝－.所以通项公式an＝答案：an＝【解题策略提醒】通项与和的求法1．由递推公式求数列通项公式时，一是要注意判别类型与方法．二是要注意an的完整表达式，易忽视n＝1的情况．常用的数列通项公式的求法有：(1)定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目．(2)若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求解．(3)对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．2．数列求和时，根据数列通项公式特征选择求和法，尤其是涉及等比数列求和时要注意公比q对Sn的影响．一般常见的求和方法有：(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式；(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；(3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和；(4)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．题组训练四等差、等比数列的判定题11．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*).(1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．(2)设cn＝eq\f(an,2n－2)，求证：{cn}是等差数列．【证明】(1)an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an.eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(4an＋1－4an－2an＋1,an＋1－2an)＝eq\f(2an＋1－4an,an＋1－2an)＝2.因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知bn＝3·2n－1＝an＋1－2an，所以＝3.所以cn＋1－cn＝3，且c1＝＝2，所以数列{cn}是等差数列，公差为3，首项为2.题12．设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝eq\f(bn－1,1＋bn－1)(n≥2，n∈N*).(1)求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)判断数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)(n≥2，n∈N*).所以数列{an}是首项为1，公比为eq\f(1,2)的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝.(2)因为a1＝1，所以b1＝2a1＝2.因为bn＝eq\f(bn－1,1＋bn－1)，所以eq\f(1,bn)＝eq\f(1,bn－1)＋1，即eq\f(1,bn)－eq\f(1,bn－1)＝1(n≥2).所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))是首项为eq\f(1,2)，公差为1的等差数列．所以eq\f(1,bn)＝eq\f(1,2)＋(n－1)·1＝eq\f(2n－1,2)，故数列{bn}的通项公式为bn＝eq\f(2,2n－1).【解题策略提醒】等差、等比数列的判断与证明方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)⇔{an}是等差数列；eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数，q≠0)⇔{an}是等比数列；(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2⇔{an}是等差数列；aeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(n＋1))＝an·an＋2(an≠0)⇔{an}是等比数列；(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列；(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．提醒：①前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定．②若要判定一个数列不是等差(比)数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差(比)即可．题组训练五数列与函数题13．若数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(3,2)n2－eq\f(29,2)n(n＝1，2，3，…)，则此数列的通项公式为__________；数列{nan}中数值最小的项是第________项．【解析】利用an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))求得an＝3n－16.则nan＝3n2－16n＝3，所以n＝3时，nan的值最小．答案：an＝3n－163题14．若数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．【解析】方法一：an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ，由于{an}是递增数列，故2n＋1＋λ＞0恒成立，即λ＞－2n－1，又n∈N*，－2n－1≤－3，故λ＞－3.方法二：由于函数y＝x2＋λx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(λ,2)，＋∞))上单调递增，结合其图象可知，若数列{an}是递增数列，则a2＞a1，即22＋2λ＞1＋λ，即λ＞－3.答案：(－3，＋∞)题15.设数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，若{an＋1－an}是等差数列，{bn＋1－bn}是等比数列．(1)分别求出数列{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{an}中最小项及最小项的值．【解析】(1)a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，由{an＋1－an}成等差数列知其公差为1，故an＋1－an＝－2＋(n－1)·1＝n－3；b2－b1＝－2，b3－b2＝－1，由{bn＋1－bn}成等比数列知，其公比为eq\f(1,2)，故bn＋1－bn＝－2·，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－1)·(－2)＋eq\f(（n－1）（n－2）,2)·1＋6＝eq\f(n2－3n＋2,2)－2n＋8＝eq\f(n2－7n＋18,2)，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋(bn－2－bn－3)＋…＋(b2－b1)＋b1＝＋6＝2＋23－n.(2)因为an＝eq\f(n2－7n＋18,2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(7,2)))2＋eq\f(23,8)，所以n＝3或n＝4时，an取到最小值，最小值为a3＝a4＝3.【解题策略提醒】函数思想在数列问题中的应用数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集{1，2，3，…，n})的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n项和公式与二次函数有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．1-PAGE编号：031课题:§5.1.1平均变化率目标要求1、通过实例分析，感受平均变化率的实际意义．2、求具体函数的平均变化率．3、平均变化率实际意义的理解．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．重点难点重点：具体函数的平均变化率的求法；难点：平均变化率实际意义的理解．教学过程基础知识积累1.平均变化率(1)表示：函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)．(2)意义：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．【注意】函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率也可为eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)，要注意分子、分母的匹配．【课前预习思考】(1)平均变化率只能是正数吗？提示：不一定．平均变化率可正、可负、可以为0.(2)平均变化率不能准确量化一段曲线的陡峭程度吗？提示：平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但当Δx很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”．【课前小题演练】题1.（多选）下列说法正确的是()A.平均变化率只能是正数.B.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可取任意实数．C.利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，效果是“粗糙不精确的”．D.平均变化率的绝对值越大，曲线y＝f(x)在相应区间上越“陡峭”，反之亦然．【答案】CD【解析】A.×.不一定．平均变化率可正、可负、可以为0.B.×.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的变化量Δx可以是正数，也可以是负数，但不为0.C.√D.√题2．自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量与相应自变量的增量之比等于()A．－1B．1C．2D．3【解析】选D.自变量x从2变到3时，函数f(x)＝3x－1的函数值的增量为8－5＝3，故增量之比等于3.题3．某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内下列理解正确的是()A．(t0＋Δt)－t0称为函数值增量B．t0称为函数值增量C．Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数值增D．eq\f(Δs,Δt)称为函数值增量【解析】选C.由自变量的变化量、函数值的变化量、平均变化率的概念易得C正确．题4．若函数f(x)＝x2－c在区间[1，m]上的平均变化率为3，则m等于________.【解析】平均变化率为eq\f(f（m）－f（1）,m－1)＝eq\f(m2－c－（12－c）,m－1)＝eq\f(m2－1,m－1)＝m＋1，令m＋1＝3，得m＝2.答案：2【课堂题组训练】类型一求函数的平均变化率(数学运算)题5．函数f(x)＝eq\f(1,x)在[2，6]上的平均变化率为________．【解析】因为Δy＝f(6)－f(2)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（6）－f（2）,6－2)＝eq\f(\f(1,6)－\f(1,2),6－2)＝－eq\f(1,12).答案：－eq\f(1,12)题6．求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)时平均变化率的值．【解析】Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，所以函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4x0·Δx＋2（Δx）2,Δx)＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝eq\f(1,2)时，平均变化率为4×1＋2×eq\f(1,2)＝5.【解题策略提醒】1．求函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量Δx＝x－x0.(2)求函数值的改变量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0).(3)求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx).2．求平均变化率的注意点(1)要注意Δx，Δy的值可正、可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0.(2)求点x0附近的平均变化率可用eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)表示．提醒：平均变化率一定是相对某一区间而言的，一般地，区间不同，平均变化率也不同．题7.已知一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是()A．(5＋Δt)(m/s)B．[5＋(Δt)2](m/s)C．[5(Δt)2＋Δt](m/s) D．5(Δt)2(m/s)【解析】选A.因为Δs＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)＝(Δt)2＋5Δt，所以物体在时间[3，3＋Δt]内的平均速度是eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(（Δt）2＋5Δt,Δt)＝(Δt＋5)(m/s).类型二函数平均变化率的应用(数学抽象)【典例】题8.在山地自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在函数关系s(t)＝t＋t2(位移单位：m，时间单位：s).则10s后的0.1s内运动员的平均速度为________.【思路导引】eq\x\to(v)⇒eq\f(Δs,Δt)⇒Δs＝s(10.1)－s(10)，Δt＝0.1.【解析】Δs＝(10＋0.1)＋(10＋0.1)2－10－102＝2.11，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2.11,0.1)＝21.1(m/s).故10s后的0.1s内运动员的平均速度为21.1m/s.答案：21.1m/s题9．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3.(1)求半径r关于体积V的函数r(V).(2)求体积V从0L增加到1L和从1L增加到2L时，半径r的平均变化率(精确到0.01).(3)由(2)的求解结果可说明什么意义？【思路导引】(1)求半径r关于体积V的函数r(V)⇒V＝eq\f(4,3)πr3.(2)半径r(V)的平均变化率⇒eq\f(Δr,ΔV)⇒Δr，ΔV.【解析】(1)因为V＝eq\f(4,3)πr3，所以r3＝eq\f(3V,4π)，r＝eq\r(3,\f(3V,4π))，所以r(V)＝eq\r(3,\f(3V,4π)).(2)函数r(V)在区间[0，1]上的平均变化率为eq\f(Δr,ΔV)＝eq\f(r（1）－r（0）,1－0)＝eq\f(\r(3,\f(3×1,4π))－0,1)≈0.62(dm/L)，函数r(V)在区间[1，2]上的平均变化率为eq\f(Δr,ΔV)＝eq\f(r（2）－r（1）,2－1)＝eq\r(3,\f(3×2,4π))－eq\r(3,\f(3×1,4π))≈0.16(dm/L).(3)显然体积V从0L增加到1L时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．题10．已知气球的体积为V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数关系是V(r)＝eq\f(4,3)πr3.求气球半径r关于表面积S的函数r(S).【解析】因为S＝4πr2，所以r＝eq\r(\f(S,4π))＝eq\f(1,2)eq\r(\f(S,π)).所以r(S)＝eq\f(1,2)eq\r(\f(S,π)).【解题策略提醒】平均变化率的应用提醒：解决问题仍需抓住本质，利用平均变化率的概念解题．题11.正弦函数y＝sinx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))和eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))内的平均变化率较大的是________．【解析】Δy1＝sineq\f(π,6)－sin0＝eq\f(1,2)，所以正弦函数y＝sinx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上的平均变化率为eq\f(\f(1,2),\f(π,6))＝eq\f(3,π)，又因为Δy2＝sineq\f(π,2)－sineq\f(π,3)＝1－eq\f(\r(3),2)，所以正弦函数y＝sinx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上的平均变化率为eq\f(1－\f(\r(3),2),\f(π,6))＝eq\f(6－3\r(3),π)＝eq\f(3,π)(2－eq\r(3))，因为1>2－eq\r(3)，故eq\f(3,π)>eq\f(3,π)(2－eq\r(3))，所以前者大．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))【课堂检测达标】题12．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝()A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)【解析】选D.Δy看作相对于f(x0)的“增量”，可用f(x0＋Δx)－f(x0)代替．题13．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间[3，3＋Δt]中，相应的平均速度等于()A．6＋Δt B．12＋Δt＋eq\f(9,Δt)C．12＋2ΔtD．12【解析】选C.eq\f(Δs,Δt)＝eq\f([2（3＋Δt）2＋5]－（2×32＋5）,Δt)＝12＋2Δt.题14．向半径为r的球内吹气，如果球的半径增加Δr，那么球的体积增量ΔV等于多少？【解析】由球的体积计算公式得ΔV＝eq\f(4π,3)[(r＋Δr)3－r3]＝eq\f(4π,3)·[3r2＋3r·Δr＋(Δr)2]Δr.题15．某商户2019年上半年的销售收入如图所示，试说明该商户1月到2月和2月到6月的经营情况．【解题指南】求解此类问题，学会识图是关键．【解析】1月到2月，销售收入的平均变化率为eq\f(6－2,2－1)＝4(万元/月)，2月到6月，销售收入的平均变化率为eq\f(12－6,6－2)＝1.5(万元/月).因为4＞1.5，故可说明该商户1月到2月的销售情况较好，2月到6月销售迟缓．1-PAGE编号：032课题:§5.1.2瞬时变化率——导数目标要求1、通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．2、理解导数的概念，导数的几何意义．3、准确理解函数在某点处与过某点的切线方程．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．重点难点重点：导数的概念，导数的几何意义；难点：理解函数在某点处与过某点的切线方程．教学过程基础知识积累1.曲线上某点处的割线与切线名称割线切线定义设点Q为曲线C上不同于P的一点，则直线PQ称为曲线的割线当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线斜率设曲线C上一点P(x，f(x))，另一点Q(x＋Δx，f(x＋Δx))，则割线PQ的斜率为kPQ＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当Δx无限趋近于0时，eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)无限趋近于点P(x，f(x))处的切线的斜率【友情提醒注意】经历割线逼近切线的过程，体会“局部以直代曲”和“无限逼近”的数学思想．2．瞬时速度和瞬时加速度(1)瞬时速度如果当Δt无限趋近于0时，运动物体位移S(t)的平均变化率eq\f(S（t0＋Δt）－S（t0）,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时速度；(2)瞬时加速度：如果当Δt无限趋近于0时，运动物体速度v(t)的平均变化率eq\f(v（t0＋Δt）－v（t0）,Δt)无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t＝t0时的瞬时加速度．【友情提醒注意】瞬时速度就是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度就是速度对于时间的瞬时变化率．3．导数某点处的导数定义设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．可用符号“→”表示“无限趋近于”几何意义导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率【友情提醒注意】(1)f′(x0)是一种新的记号，表示函数f(x)在x＝x0处的导数．(2)瞬时速度：运动物体的位移S(t)对于时间t的导数，即v(t)＝S′(t).(3)瞬时加速度：运动物体的速度v(t)对于时间t的导数，即a(t)＝v′(t).4．导函数(1)导函数的定义若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．在不引起混淆时，导函数f′(x)也简称为f(x)的导数．(2)f′(x0)的意义f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．【友情提醒注意】f′(x)也是一个函数，称为f(x)的导函数．【课前预习思考】(1)曲线在某一点处的切线与曲线只能有一个公共点吗？提示：不是．如y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线有2个公共点．(2)求f(x)在x＝x0处的导数的一般步骤是什么？提示：①求Δy；②求eq\f(Δy,Δx)；③当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)→A(常数)，则常数A即为f(x)在x＝x0处的导数．(3)如何理解f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)?提示：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是函数f′(x)在x＝x0处的函数值，而不是f(x0)的导数．【课前小题演练】题1．（多选）下列说法错误的是()A.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的函数值．B.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值．C.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．D.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．【答案】ABD【解析】A.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值．B.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线倾斜角的正切值．C.√.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．D.×.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，不是点(x0，f(x0))与点(0，0)连线的斜率．题2．一质点按规律s＝2t3运动，则其在t＝2时的瞬时速度等于()A．2 B．8 C．16 D．24【解析】选D.Δs＝2×(2＋Δt)3－2×23＝24Δt＋12(Δt)2＋2(Δt)3，所以eq\f(Δs,Δt)＝24＋12Δt＋2(Δt)2，当Δt→0时，eq\f(Δs,Δt)→24.题3．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么()A．f′(x0)＞0B．f′(x0)＜0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在【解析】选B.切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－eq\f(1,2)，即f′(x0)＝－eq\f(1,2)＜0.题4．一个物体的运动满足速度方程v(t)＝4t2＋2t－3(速度单位：m/s，时间单位：s)，且v′(5)＝42m/s2，其实际意义是________________________．【解析】物体在5s时的瞬时加速度为42m/s2，即此刻每经过1s，物体运动的速度增加42m/s.答案：物体在5s时的瞬时加速度是42m/s2题5．函数y＝x2＋1在x＝2处的导数为________．【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（2＋Δx）2＋1－（22＋1）,Δx)＝eq\f(4＋（Δx）2＋4Δx＋1－5,Δx)＝Δx＋4，当Δx→0时，Δx＋4→4，所以y＝x2＋1在x＝2处的导数为4.答案：4【课堂题组训练】类型一利用定义求导数(数学抽象、数学运算)【典例】题6.已知点P(2，8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为________．【思路导引】瞬时变化率⇒eq\f(Δy,Δx)，Δx→0⇒Δy，Δx.【解析】Δy＝2(2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2(Δx)2，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(8Δx＋2（Δx）2,Δx)＝8＋2Δx，当Δx无限趋近于0时，eq\f(Δy,Δx)无限趋近于常数8.答案：8题7．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为11，则当Δx→0时，eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)→________．【思路导引】(x)在x＝x0处的导数为11⇒f′(x0)＝11.【解析】当Δx→0时，eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,－2Δx)·(－2)→－2·f′(x0)，又f′(x0)＝11，所以eq\f(f（x0－2Δx）－f（x0）,Δx)→－22.答案：－22题8．求函数y＝f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．【思路导引】导数⇒eq\f(Δy,Δx)，Δx→0⇒Δx，Δy.【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－（－1＋Δx）2＋（－1＋Δx）－（－2）,Δx)＝3－Δx，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→3.【解题策略提醒】求导时应关注的两点技巧(1)写出函数，确定x0的值．(2)分析Δx趋于0时，在eq\f(Δy,Δx)中，只要eq\f(Δy,Δx)有意义，就可以把“Δx趋于0”看作“Δx＝0”以确定eq\f(Δy,Δx)的值．提醒：函数f(x)在点(x0，f(x0))处的导数f′(x0)就是其在点(x0，f(x0))处的瞬时变化率．题9.求函数y＝f(x)＝3x－eq\f(2,x)在x＝1处的导数f′(1).【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)－eq\f(2,1＋Δx)－1＝2＋3Δx－eq\f(2,1＋Δx)＝3Δx＋eq\f(2Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(3Δx＋\f(2Δx,1＋Δx),Δx)＝3＋eq\f(2,1＋Δx)，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→5，所以f′(1)＝5.类型二曲线上一点处的切线方程(数学运算)【典例】题10.已知抛物线y＝ax2＋bx－7过点(1，1)，且在点(1，1)处的抛物线的切线方程为y＝4x－3，求a，b的值．【思路导引】切线方程⇒切点的坐标，斜率⇒横坐标为1的点处的导数⇒eq\f(Δy,Δx)，Δx→0.【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(a（x＋Δx）2＋b（x＋Δx）－7－ax2－bx＋7,Δx)＝eq\f(a·2x·Δx＋a（Δx）2＋bΔx,Δx)＝2ax＋b＋a·Δx，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2ax＋b，所以f′(x)＝2ax＋b，所以f′(1)＝2a＋b，依据题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b－7＝1，,2a＋b＝4，))解得a＝－4，b＝12.题11．求曲线y＝f(x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线方程．【思路导引】先求函数值的增量Δy，再求eq\f(Δy,Δx)，当Δx→0时，得f′(x).【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2Δx＋(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝2＋Δx，当Δx→0时，f′(1)＝2.所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.【解题策略提醒】求曲线上一点处切线方程的三个步骤提醒：注意问题是求在某一点处的切线方程还是求过某一点处的切线方程．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x0，f(x0)).(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0).(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式．题12.已知抛物线y＝2x2，则抛物线在x＝1处的切线方程为________．【解析】因为eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(2（1＋Δx）2－2×12,Δx)＝4＋2Δx，当Δx→0时，4＋2Δx→4，所以f′(1)＝4.因为x＝1，所以f(1)＝2，切点为(1，2)，所以切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0.答案：4x－y－2＝0类型三求切点的坐标(数学运算)【典例】题13.已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．【思路导引】切线互相平行⇒斜率相等⇒在x0处的导数相等⇒eq\f(Δy,Δx)，Δx→0⇒检验．【解析】对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f([（x0＋Δx）2－1]－（xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－1）,Δx)＝eq\f(2x0·Δx＋（Δx）2,Δx)＝2x0＋Δx，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2x0.即y＝x2－1在x＝x0处的导数y′＝2x0.对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f([1－（x0＋Δx）3]－（1－xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))）,Δx)＝eq\f(－3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))Δx－3x0（Δx）2－（Δx）3,Δx)＝－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))－3x0·Δx－(Δx)2，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))，即y＝1－x3在x＝x0处的导数y′＝－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))，又y＝1－x3与y＝x2－1在x＝x0处的切线互相平行，所以2x0＝－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))，解得x0＝0或x0＝－eq\f(2,3).当x0＝0时，两条切线的斜率k＝0，当x0＝－eq\f(2,3)时，两条切线的斜率k＝－eq\f(4,3)，均符合题意，所以x0＝0或－eq\f(2,3).【解题策略提醒】切点问题的处理方法(1)借斜率先求横坐标：由条件得到直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而求出点的横坐标．(2)与几何知识相联系：解决这些问题要注意和解析几何的知识联系起来，如直线的倾斜角和斜率的关系，两直线平行或垂直与斜率的关系等．提醒：函数在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率就是函数在x＝x0处的导数．题14.已知曲线y＝x2上某一点的切线满足下列条件，求此点坐标．(1)平行于直线y＝4x－5.(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0.(3)与x轴正半轴成135°的倾斜角．【解析】设P(x0，y0)是满足条件的点．eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（x0＋Δx）2－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),Δx)＝2x0＋Δx，当Δx→0时，2x0＋Δx→2x0.(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，得x0＝2，y0＝4，即P(2，4).(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·eq\f(1,3)＝－1，得x0＝－eq\f(3,2)，y0＝eq\f(9,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,4))).(3)因为切线与x轴正半轴成135°的倾斜角，所以k＝－1，则2x0＝－1，得x0＝－eq\f(1,2)，y0＝eq\f(1,4)，即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,4))).【课堂检测达标】题15.已知曲线y＝－eq\f(1,2)x2－2上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,2)))，则在点P处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．165°【解析】选C.因为点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,2)))在曲线y＝f(x)＝－eq\f(1,2)x2－2上，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)（1＋Δx）2－2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)×12－2)),Δx)＝－eq\f(1,2)Δx－1，当Δx→0时，－eq\f(1,2)Δx－1→－1.所以在点P处的切线斜率为k＝f′(1)＝－1，所以在点P处的切线的倾斜角为135°.题16.曲线f(x)＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程为________．【解析】eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（－2＋Δx）－f（－2）,Δx)＝eq\f(\f(2,－2＋Δx)＋1,Δx)＝eq\f(1,－2＋Δx)，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→－eq\f(1,2).所以切线方程为y＋1＝－eq\f(1,2)(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.答案：x＋2y＋4＝0题17．已知点P(x0，y0)是抛物线y＝3x2＋6x＋1上一点，且f′(x0)＝0，则点P的坐标为________．【解析】因为Δy＝3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)＋1－3xeq\o\al(\s\up11(2),\s\do4(0))－6x0－1＝6x0·Δx＋3(Δx)2＋6Δx，所以eq\f(Δy,Δx)＝6x0＋3Δx＋6，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→6x0＋6，故6x0＋6＝0，所以x0＝－1，y0＝－2.答案：(－1，－2)题18．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－eq\f(2,3)x＋7，则f(6)＋f′(6)＝__________.【解题指南】f′(6)即在点P处切线的斜率，f(6)可利用直线方程求值．【解析】f(6)＋f′(6)＝－eq\f(2,3)×6＋7＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(7,3).答案：eq\f(7,3)1-PAGE编号：033课题:§5.2.1基本初等函数的导数目标要求1、通过实例分析，了解利用定义求函数的导数．2、掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数．3、能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．学科素养目标通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．重点难点重点：利用公式求简单函数的导数；难点：利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．教学过程基础知识积累1.几个常见函数的导数f(x)kx＋bC(C为常数)xx2eq\f(1,x)x3eq\r(x)f′(x)k012x－eq\f(1,x2)3x2eq\f(1,2\r(x))【友情提醒注意】常数的导数为0.2．基本初等函数的导数公式(xα)′＝αxα－1(α为常数)(lnx)′＝eq\f(1,x)(ax)′＝ax__ln__a(a＞0，且a≠1)(sinx)′＝cosx(logax)′＝eq\f(1,xlna)(a＞0，且a≠1)(cosx)′＝－sinx(ex)′＝ex【课前预习思考】(1)函数f(x)＝ax的导数与函数f(x)＝ex的导数之间有什么关系？提示：f(x)＝ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)＝ex也是f′(x)＝axlna当a＝e时的特殊情况．(2)函数f(x)＝logax与f(x)＝lnx的导数之间有何关系？提示：f(x)＝lnx是f(x)＝logax的一个特例，f(x)＝lnx的导数也是f(x)＝logax的导数的特例．(3)若f′(x)＝ex，则f(x)＝ex这种说法正确吗？提示：不正确．由导数定义可知f(x)＝ex＋C(其中C为任意实数)，都有f′(x)＝ex.【课前小题演练】题1．（多选）下列命题错误的是()A.f(x)＝0，则f′(x)＝0.B.若f(x)＝lnx，则f′(e)＝1.C.若(3x)′＝x·3x－1.D.(x4)′＝x4ln4.【答案】BCD【解析】A√.因为f(x)＝0是一个常数函数，所以f′(x)＝0.B×.f(x)＝lnx时，f′(x)＝eq\f(1,x)，所以f′(e)＝eq\f(1,e)≠1.C×.函数y＝3x是指数函数，其导数应为(3x)′＝3xln3.D×.函数y＝x4是幂函数，其导数为(x4)′＝4x3.题2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于()A．eq\f(1,10)B．10C．10ln10 D．eq\f(1,10ln10)【解析】选C.因为y′＝10xln10，所以y′|x＝1＝10ln10.题3．曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．【解析】k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（1＋Δx）3－13,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(13＋3Δx＋3（Δx）2＋（Δx）3－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3＋3Δx＋(Δx)2]＝3.答案：3【课堂题组训练】类型一利用导数公式计算导数(数学抽象、数学运算)题4．f(x)＝a3(a>0，a≠1)，则f′(2)＝()A．8 B．12 C．8ln3 D．0【解析】选D.f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常数函数，所以f′(x)＝0，所以f′(2)＝0.题5．已知f(x)＝eq\f(1,x3)，则f′(1)＝()A．1 B．－1 C．3 D．－3【解析】选D.f(x)＝eq\f(1,x3)＝x－3，所以f′(x)＝－3x－4，所以f′(1)＝－3.题6．(多选题)下列结论正确的为()A．y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)B．y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)C．y＝2x，则y′＝2x·ln2D．y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2)【解析】选BCD.由导数的运算公式可知，有y＝ln2，则y′＝0，所以选项A错误，其他选项均正确．【解题策略提醒】运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项(1)对于简单的函数，直接套用公式；(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导．题7.已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝eq\f(1,4)，则α等于()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2) C．eq\f(1,8) D．eq\f(1,4)【解析】选D.因为f(x)＝xα，所以f′(x)＝αxα－1，所以f′(1)＝α＝eq\f(1,4).题8．函数f(x)＝sinx，则f′(6π)＝________．【解析】f′(x)＝cosx，所以f′(6π)＝1.答案：1类型二导数公式的应用(数学抽象、数学运算)【典例】题9.求过曲线y＝sinx上点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))且与过这点的切线垂直的直线方程．四步内容理解题意条件：①曲线y＝sinx；②曲线y＝sinx上点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))结论：求与过这点的切线垂直的直线方程思路探求先求切线的斜率，再求垂线的斜率，最后求出垂线的方程书写表达因为y＝sinx，所以y′＝cosx，曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(1,2)))处的切线斜率是：y′|x＝coseq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)，所以过点P且与过这点的切线垂直的直线的斜率为－eq\f(2,\r(3))，故所求的直线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，即2x＋eq\r(3)y－eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,3)＝0.题后反思导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键【解题策略提醒】利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．题10．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1【解析】选B.因为f(x)＝x4－2x3，所以f′(x)＝4x3－6x2，所以f(1)＝－1，f′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.题11．曲线y＝eq\f(9,x)在点M(3，3)处的切线方程是________．【解析】因为y′＝－eq\f(9,x2)，所以y′|x＝3＝－1，所以过点(3，3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.答案：x＋y－6＝0题12．水波的半径以0.5m/s的速度向外扩张，当半径为25m时，水波面积的膨胀率是________．【解析】因为水波的半径扩张速度为0.5m/s，故水波面积为S＝πr2＝π(vt)2＝eq\f(1,4)πt2，故水波面积的膨胀率为S′＝eq\f(1,2)πt.当水波的半径为25m时，由vt＝25，解得t＝50，即可得S′＝eq\f(1,2)π×50＝25π.答案：25π类型三与切线方程有关的问题(数学抽象、数学运算)角度1求切点坐标及参数值【典例】题13.若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，求切点坐标及b的值．【思路导引】由切线的斜率即可求出切点坐标；由切点坐标即可求出b的值．【解析】设P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝ex0，所以ex0＝1，即x0＝0，所以点P(0，1).由点P(0，1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.题14.若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．【解析】如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1).利用点到直线的距离公式得最小距离为eq\f(\r(2),2).角度2与切线有关的简单应用【典例】题15.曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．【解析】因为y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e2，所以曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1，所以切线与坐标轴所