人教A版高考数学二轮复习讲义及题型归纳(基础)：立体几何第一章空间直线、平面平行垂直

1、高考数学二轮复习（理）讲义及题型归纳（基础）立体几何：第一章空间直线、平面平行垂直目录目录1第一章空间直线、平面平行垂直 2一、考纲解读2二、命题趋势探究 2三、知识点精讲2（1） .直线和平面平行 2（2） .两个平面平行 3（3） .线面垂直 5（4） .斜线在平面内的射影7（5） .平面与平面垂直 8四、思路小结10（1） .线线平行、线面平行、面面平行的转换如图 0所示10（2） .证明空间中直线、平面的垂直关系 10五、解答题题型总结 12核心考点一：平行证明12核心考点二： 垂直证明14第一章空间直线、平面平行垂直一、考纲解读1 .要理解空间直线和平面各种位置关系的定义.2 .以立

2、体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质 与判定，理解其判定定理与性质定理.二、命题趋势探究有关平行的问题是高考的必考内容，主要分为两大类：一类是空间线面关系的判定和推 理；一类是几何量的计算，主要考查学生的空间想象能力，思维能力和解决问题的能力平行关系是立体几何中的一种重要位置关系， 在高考中，选择题、填空题几乎每年都考， 难度一般为中档题，且常常以棱柱、棱锥为背景.（1）高考始终把直线与平面、平面与平面平行的判定与性质作为考查的重点，通常以 棱柱、棱锥为背景设计命题.考查的方向是直线与平面、平面与平面的位置关系，结合平 面几何有关知识考查.（2）以棱柱、棱锥为依

3、托考查两平行平面的距离，可转化为点面距离，线面距离和两 异面直线间的距离问题，通常是算、证结合，考查学生的渗透转化思想.三、知识点精讲（1） .直线和平面平行1 .定义直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面1ct平行，记作l / «2 .判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-9）表8-9文字语百图形谛言不语百线/线 二线/ 面如果平向外的一条直线和 这个平间内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平 向平行（简记为线线平行 二线向平行Z_/l / ll、 liUot l辽aJI>=l H a面/面二线/面如果两个平向平行，那么在一个平闻内的所启直线都平行寸另一个半闻

4、Z /a / P及g a/ Pa二 a J3.性质定理（文字语百、图形语百、符号语百）（见表8-10）表 8-10文字语百图形谛言不语百线面二线/线如果一条直线和 一个平闻平行，经 过这条直线的平 面利这个平闻相 交,那么这条直线 就和交线平行l / a 1l u P £ l / a n P = l （2） .两个平面平行1 .定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面汽和B ,若u n P =1*，则1a2 .判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）（见表8-11）表 8-11文字语百图形谛言不语百判定定 理线/ 面二面 /面如果一个平向内后两条相交的直线都平行于

5、另一个平间，那么这 两个平间平行（简记为线向平行:闻闻平行ac o(,bu a,ari b = Pa/ P, b/ P = u / P线_L面=面/面如果两个平向同垂直于一条直线，那么这两个平向平行1l -L« 11 _lPj4£2J73.性质定理（文字语百、图形语百、符号语百） （见表8-12）表 8-12文字语百图形谛言不语百面/面二线/面如果两个平闻平 行，那么在一个平 面中的所有直线 都平行于另外一 个平向Z_y / /1U/BR卜二 a/P aua J性质定理如果两个平行平 间同时和第三个 平向相交，那么他 们的交线平行（简 记为1H闻平行二/ct /P 1a P

6、I y=a >= a / /b. P fl Y = b.线面平行”）面/面=线，面如果两个平闻中有一个垂直于一 条直线，那么另一 个平间也垂直于这条直线口/评$= 1 _lP 1 lot J（3） .线面垂直1 .定义：如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面 相互垂直.2 .判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）（见表1）表1文字语百图形谛言付T语3判断定理一条直线与一个 平面内的两条相 交直线都垂直，则 该直线与此平面 垂直r?-7a,buua11b_L1 an b = p.>=1 _Lu面，面？线，面两个平闻垂直，则 在一个平面内垂 直于交线的直

7、线 与另一个平面垂直Lr-b-II ”_;za 1 P , a c P = a bu P b -L ab_La表2平面内所有直线都垂直（4） .斜线在平面内的射影1斜线的定义一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜 线和这个平面的交点叫做斜足.2 .射影的定义过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内 的射影.3 .直线与平面所成的角平面内的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地，一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，n.|0,一或在平面内，我们说它们所成的角是

8、00的角，故直线与平面所成的角的范围是 -2.如图8-122所示，PA是平面1a的斜线，A为斜足；PO是平面口的垂线，0为垂足；AO 是PA在平面灯的射影，2PA0的大小即为直线PA与平面*所成的角的大小.（5） .平面与平面垂直1 .二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面；如图 8-123所示，在二面角 "一1 一 0的棱1上任取一点0 ,以点0为垂足，在半平面口和口内分别作垂直于棱1的射 线0A和0B ,则射线0A和0B构成的/A0B叫做二面角的平面角，二面角的范围是|0,.平面角是直角的二面角叫做直二面角

9、.2 .平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的 两条交线互相垂直.（如图8-124所示，若“P=CD ,CD，且afV=AB , PfV = BE ,ABI BE ,则一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂 直.3 .判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语百图形谛言不语百判定定理一个平面过另 一个平面的垂 线，则这两个平 面垂直二« IMn vmb.L« R二汽_L P bu P j四、思路小结(1) .线线平行、线面平行、面面平行的转换如图 0所示.图0(1) 证明直线与平

10、面平行的常用方法：利用定义，证明直线a与平面口没有公共点，一般结合反证法证明；利用线面平行的判定定理，即线线平行 二线面平行.辅助线的作法为：平面外直线的 端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第 三边的线段；利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；(2) 证明面面平行的常用方法：利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；利用面面平行的判定定理；利用两个平面垂直于同一条直线；证明两个平面同时平行于第三个平面.(3) 证明线线平行的常用方法：1M用直线和平面平行的判定定理；2用平行公理;(2) .证明空间中直线、平面的垂直关系判定定理判定定理线,线二

11、语*线,面二奇钎面,面(1)证明线线垂直的方法等腰三角形底边上的中线是高；勾股定理逆定理；菱形对角线互相垂直；直径所对的圆周角是直角；向量的数量积为零；线面垂直的性质(a_La,bua=a_Lb);平行线垂直直线的传递性(a，c，a/bnb_Lc).(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义；线面垂直的判定(alb,alc,cCC(,b!ZC(,bAc=P=> ala);面面垂直的性质(a _L 口尸PIP =b,a _L b,auan a _L P );平行线垂直平面的传递性(a，a,b/a=b_Lc()；面面垂直的性质(口 _L匕P _L y,支Pl P = l = l 1 Y ).(3

12、)证明面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，P,aU口二支,).空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图 3所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置.五、解答题题型总结核心考点一：平行证明【例1】如图1 ,三棱锥DABC中，E、F、O分别是AD、BD、AC的中点，G是OC的 中点；求证：FG II平面BOE .如图2,在直四棱柱ABCD -ABiCiDi中，底面ABCD为等腰梯形，AB II CD , AB =4 ,BC=CD=2, AA =2 , E、Ei、F 分别是棱 AD、AA、AB 的中点.证明：直线EEi II平面FCCi .图i图2【解析】设BE和AF交于

13、点H ,连接OH ,在三角形 4ABD中，E、F分别是AD、BD的中点,所以H为重心，*1又O为AC中点，G是OC的中点，所以-A°=-,AG 3在 4AFG 中，AH_=2=AO AF 3 AG所以HO / FG ,又FG不在平面BOE内，HO二平面BOE ,所以FG II平面BOE .法一：取AB的中点Fi,连结FFi , C1F1 ,由于 FFi II BB II CCi ,所以 Fi w 平面 FCG ,因止匕，平面FCCi即为平面CiCFFi ,连结 AD , FiC ,由于 AFi JL DiCi J= CD ,所以四边形ADCFi为平行四边形，因止匕 AD II FC

14、.又 EEi II AD ,得 EEi II FC ,而EEi0平面FCCi , FiC u平面FCCi ,故EEi II平面FCG .法二：因为 F 为 AB 的中点，CD =2, AB =4, AB II CD ,所以CD JLAF ,因此四边形AFCD为平行四边形,所以 AD II FC .又 CG II DDi , FC HCCi =C ,FC u 平面 FCCi , CCi 仁平面 FCCi ,a、P是不重合的平面，则下列命题中为所以平面ADDiA II平面FCCi ,又EEi u平面ADDiAi ,所以EEi /平面FCG .【例2】在四方g锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形

15、，E是PC的中点.求证：PA/平面BDE .P原图:bDA【解析】连结AC ,设AC交BD于O ,连结EO ,底面ABCD是平行四边形，.点。是AC的中点.在APAC中，EO是中位线， PA/ EO .: EO二平面BDE ,且PA辽平面BDE , PA/ 平面 BDE .核心考点二：垂直证明【例1】若I、m、n是互不相同的空间直线, 真命题的是（）A.若 a / P , H=a, n = P ,则 I / nB,若工日，lUa,则I_LPC.若 I _Ln , m_Ln ,则 I / mD .若 I _L£ , I / 口，则 1Md【解析】D【例2】已知m, n是不同的直线，口、

16、P、是不同的平面，给出下列命题：一,P1%则支/ P;若 n _La , n _L P ,则 a / P ；若 nuc（ , muo（且 n / P, m / P ,则 all 0;若 m,n 为异面直线，n= a, n/ P , muP, m/ct ,则 c（/ P .则其中正确的命题是 .（把你认为正确的命题序号都填上）【解析】【例3】在正四面体P-ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面结论中 不成立的是（）A. BC II 平面 PDFB. DF _L平面 PAEC.平面PDF _L平面ABC D.平面PAE_L平面ABC【解析】C【例4】PA垂直于正方形ABCD所在平面

17、，连结PB、PC、PD、AC、BD ,则下列垂直 关系正确的是（）面 PAB1H PBC 面 PAB1H PAD 面 PAB1H PCD 面 PAB1H PACA .B.C.D.【解析】A【例5】如图，在四面体 ABCD中，CB=CD, AD_LBD,点E、F分别是AB、BD的中占八、求证：直线EF /平面ACD ;平面EFC_L平面BCD .【解析】 易知中位线EF / AD ,而AD二面ACD , EF0面ACD EF II 平面 ACD .(2) EF / AD , AD_LBD, . EF _L BD又 CB=CD, F 是 BD 的中点，CF _LBD : efAcf =F , ； BD1H EFC 又BD u面BCD ,平面EFC _L平面BCD .【例6】如图所示，4ABC是正三角形,AE和CD者B垂直于平面 ABC,且AE=AB = 2a,CD=a, F是BE的中点.求证：DF /平面ABC ;求证：AF _LBD .E【解析】 取AE中点M ,连结DM , FM ,易知FM II AB ,FM II平面ABC .又AE和CD都垂直于平面 ABC , AE II CD, AM II CD1V AM =,AE =CD , ； ADC 是平行四边形，DM II AC , /. DM II 平面 ABC .