中考压轴题圆

1、(C)中考压轴题一、知识提要二、精讲精练1. （2011湖南湘潭）已知，AB是。的直径，AB=8,点C在。的半径OA 上运动，PCX AB,垂足为C, PC=5, PT为。的切线，切点为T.（1）如图（1）,当C点运动到O点时，求PT的长；（2）如图（2）,当C点运动到A点时，连结PO BT,求证：PO/ BT;（3）如图（3）,设PT2Z，AC x,求y；x的函数关系式及y的最小化 PO(C)34 / 602.(2010广东广州)如图，。的半径为1,点P是。上一点，弦AB垂直 平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合)，DE，AB于点 E,以点D为圆心、DE长为半径作。D,分

2、别过点A、B作。D的切线，两条 切线相交于点C.(1)求弦AB的长；(2)判断/ACB是否为定值，若是，求出/ACB的大小；否则，请说明理由；(3)记4ABC的面积为S,若 ±=4/，求4ABC的周长.DE 23. (2011福建莆田)已知菱形 ABCD的边长为1. /ADC=60° ,等边 AEF两 边分别交边DG CB于点E、F.(1)特殊发现：如图1,若点E F分别是边DG CB的中点.求证：菱形 ABCD对角线AG BD交点。即为等边 AEF的外心；(2)若点E、F始终分别在边DC CB上移动.记等边 AEF的外心为点P. 猜想验证：如图2,猜想4AEF的外心P落在

3、哪一直线上，并加以证明； 拓展运用：如图3,当4AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA 于点M,交边DC的延长线于点N,试判断,，是否为定值.若是请DM DN求出该定值；若不是.请说明理由.4. (2010四川成都)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2 bx c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A的坐标为(3,0),若将经过A、C两点的直线y kx b沿y轴向下平移3个单位后恰好经过原 点，且抛物线的对称轴是直线 x 2.(1)求直线AC及抛物线的函数表达式；(2)如果P是线段AC上一点，设乙ABP、 BPC的面积分别为S ABP、S BPC ,且S A

4、BP : S BPC 2 : 3 , 求点P的坐标；(3)设。Q的半径为1,圆心Q在抛物线上运动，则在运动过程中是否存在OQ与坐标轴相切的情况？若存在，求出圆心 Q的坐标；若不存在，请说明理由.并探究：若设。Q的半径为r,圆心Q在抛物线上运动，则当r取何 值时，OQ与两坐标轴同时相切？5.(2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中，点B在直线y 2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为 A, OA=5.若抛物线y 1x2 bx c过点O、A6两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)若A点关于直线y 2x的对称点为C,判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；(3)如图2,在(2)的条件下，O Oi是以

5、BC为直径的圆.过原点 。作。 Oi的切线OP, P为切点(P与点C不重合)，抛物线上是否存在点 Q,使得 以PQ为直径的圆与。Oi相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请 说明理由.三、测试提高1. （ 2011 广西崇左）已知抛物线y=x2+4x+m（ m 为常数）经过点（0， 4） （ 1）求 m 的值；（ 2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线已知平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线 12）与平移前的抛物线的对 称轴（设为直线1i）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为-8.试求平移后的抛物线的解析式；试问在平移后的抛物线上是否存在点 P,使彳导以3为半径

6、的圆P既与x轴 相切，又与直线12相交？若存在，请求出点 P的坐标，并求出直线12被圆P 所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由.第十一讲中考压轴题综合训练一、知识提要、精讲精练3 3 .1. 2011河南 如图，在平面 直角坐 标系中，直线y -x -与抛物线4 21 2y -x bx c父于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为一8. 4(1)求该抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与点 A、B重合)，过点P 作x轴的垂线，垂足为C,交直线AB于点D,作PH AB于点E.设4PDE的周长为I,点P的横坐标为x,求l关于x的函数关系式，并求 出I的最大值；连接P

7、A以PA为边作图示一侧的正方形 APFG随着点P的运动，正方形 的大小、位置也随之改变.当顶点 F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应 的点P的坐标.备用图2.1(2009浙江台州)如图，已知直线y x 1父坐标轴于A、B两点，以线2段AB为边向上作正方形ABCD过点A, D, C的抛物线与直线的另一个交点 为E.(1)请直接写出点C, D的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若正方形以每秒 痣个单位长度的速度沿射线 AB下滑，直至顶点D落 在x轴上时停止.设正方形落在 x轴下方部分的面积为S,求S关于滑行时 问t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；(4)在(3)的条件下，抛物线也随正方

8、形一起平移，同时停止，求抛物线 上C, E两点间的抛物线弧所扫过的面积.3. (2009四川成都)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a(x 1)2 c(a 0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,其顶点为M,若直线 MC的函数表达式为y kx 3,与x轴的交点为 N,且cos/BCa 3M10 °(1)求此抛物线的函数表达式；(2)在此抛物线上是否存在异于点 C的点P,使以N、P、C为顶点的三角 形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存 在，请说明理由；(3)过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q,若将抛物线沿其对称轴上下 平移，

9、使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单 位长度？向下最多可平移多少个单位长度？4. （2011湖北孝感）如图（1）,矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上,折叠边AD,使点D落在x轴上点F处，折痕为AE,已知AB=8, AD=10,并 设点B坐标为（m,0 ）,其中m>0 .（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA,若 OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图（2）,设抛物线y a（x m 6）2 h经过A、E两点，其顶点为M, 连接AM,若/ OAM=90°,求a、h、m的值.5. (2011浙江丽水)如图，在平面直角坐标系中，点

10、A (10, 0).以OA为直径在第一象限内作半圆C,点B是该半圆周上一动点，连接 OB、AB,并延 长AB至点D,使DB=AB,过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、 F,点E为垂足，连接CF.(1)当/AOB=30°时，求弧AB的长；(2)当DE=8时，求线段EF的长；(3)在点B运动过程中，是否存在以点 E、C F为顶点的三角形与 AOB相 似若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由yDBFOC E A x三、测试提高1. （2011浙江金华）如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A, B两点坐标分别为（3,0）和（0,36）.动

11、点P从A点开始沿折线AO-OB-BA 运动，点P在AO, OB, BA上运动的速度分别为1,2 （长度单位/秒）.一 直尺的上边缘l从x轴的位置开始以号（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l/x轴），且分别与OB, AB交于E, F两点.设动点P 与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AOOBBA运动一周 时，直线l和动点P同时停止运动.请解答下列问题：（1）过A, B两点的直线解析式是;（2）当t = 4时，点P的坐标为;当t =，点P与点E重合； （3） 作点P关于直线EF的对称点P'.在运动过程中，若形成的四边形PEP的菱形，则t的值是多少？ 当t =

12、2时，是否存在着点 Q,使得AFEQ s/XBEP?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第十二讲中考压轴题综合训练二一、知识提要基本方法：;二、精讲精练-x 4分别交x轴,3且四边形AOCD为1. (2011湖北咸宁)如图，在平面直角坐标系中，直线 yy轴于A, B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限,矩形.(1)直接写出点A, B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；(2)动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点 D5运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒3个单位长度的速度向3终点B运动，过点P作PH OA,垂足为H,连接MP, MH.设点P的运动 时间

13、为t秒.若 MPH与矩形AOCD重合部分白面积为1,求t的值；点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HCg否有最小值，如果有，求 出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由.备用图1备用图22. （2011江苏苏州）已知二次函数y ax2 6x 8 a 0的图象与x轴分别交于点A、B,与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.（1）如图，连接AC,将4OAC沿直线AC翻折，若点。的对应点。恰好 落在该抛物线的对称轴上，求实数 a的值；（2）如图，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4, 4）、（4, 3）, 边HG位于边EF的右侧.小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边

14、HG上的任意一点，则四条线段 PA PR PG PD不能与任 何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边 形）若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你 积极探索，并写出探索过程；（3）如图，当点P在抛物线对称轴上时，设点 P的纵坐标t是大于3的 常数，试问：是否存在一个正数 a,使得四条线段PA PR PG PD与一个 平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明 理由.3. (2010浙江舟山)如图，在菱形 ABCD中，AB=2cm,/BAD=60°, E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒273cm的速度运动

15、，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P 到达点C时，P, Q同时停止运动，设运动的时间为 x秒(1)当点P在线段AO上运动时.请用含x的代数式表示OP的长度；若记四边形PBEQ勺面积为y,求y关于x的函数关系式(不要求写 出自变量的取值范围)；(2)显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED,请问，当P在线段AC 的其他位置时，以P, B, E, Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能， 求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由.4.(2011北京)如图，在平面直角坐标系 xOy中，我们把由两条射线 AE, BF 和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作 图形C.已知A

16、 ( 1, 0), B (1, 0), AE/ BF,且半圆与y轴的交点D在射线AE 的反向延长线上.(1)求两条射线AE, BF所在直线的距离；(2)当一次函数y x b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出 b的取值范围；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写 出b的取值范围；(3)已知UAMPQ (四个顶点A、M、P、Q按顺时针方向排列)的各顶点都 在图形C上，且不都在两条射线上，求点 M的横坐标x的取值范围.备用用5. （2011广东珠海）如图，在直角梯形 ABCD中，AD/ BC, ABI BC, AD= AB =1, BC= 2.将点A折叠到CD边上，记折叠后

17、A点对应的点为P （P与D 点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F.过点P作PN / BC交AB于N、交EF于M,连结PA PE AM, EF与PA相交于O.（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；（2）记/ EPM= a, AAOM> 4AMN 的面积分别为 &、.S 1求证：、l=1pk.a 8tan2一9 0 设AN= x, y=S三,试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定 atan2y的取值范围.1. （2012宁夏区10分）在矩形 ABCM, AB=2 AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作API PE垂足为 P, PE

18、交CD于点E.连接AE当4APE与4ADE全等时，求 BP的长； （2）若设BP为x, CE为y,试确定y与x的函数关系式。当 x取何值时，y的值最大？最大值是多少？（3）若PE/ BD试求出此时BP的长.【答案】 解：（1） . AP珞AADtE ，AP=AD=3在 RtMBP 中，AB=2,BP=V'AP2AB232 22<5 。(2) 1. APIPERtAABfPRtAPCEBP【考点】的最值,【分析】长。PCCE1 2 31/3、2x x （x ）22223时，y的值最大，最大值是12(2)设 BP=x,由(2)得 CE -x2 2. PE/ BD CP曰ACBD.CP

19、 CE-，CB CD1 23 x9x即3 x232化简得3x2 13x解得x1 3或x 23，4 一，.当BP时，312 0。989一O83-X O2DE3 （不合题意，舍去）。PE/ BD矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数平行的性质，解二次方程。(1)由AP*AADE 可彳# AP=AD=3 在RtABP中，应用勾股定理即可求得BP的(2)由 AP，PE 得 RtABSRtAPCE根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当x一时，y的值最大，最大值是 一28（3）由PE/ BD得4CP曰ACBD根据相似三角形的对应边成比

20、例可列式可求得BP的长。2. （2012山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（RtAABC和RtADEfF按图1所示的方式摆放，其中/ACB=90 , CA=CB/FDE=90 ,。是AB的中点，点D与点O重合，DF，AC于点M DE_ BC于点N,试判断线段 OMW ON的数量关系，并说明理由.探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法: 解：OM=ON证明如下:连接CQ则CO是AB边上中线，CA=CB，CO是/ ACB的角平分线.(依据1). OM_AC O迎 BC OM=ON (依据 2)反思交流：(1)上述证明过程中的“依据 1”和“依据2”分别是指：依据1：依据2:(2)你有与小宇不

21、同的思考方法吗？请写出你的证明过程.拓展延伸：(3)将图1中的RtADEF沿着射线BA的方向平移至如图 2所示的位置，使点 D落在BA的 延长线上，FD的延长线与 CA的延长线垂直相交于点 M BC的延长线与 DE垂直相交于点 N, 连接OM ON试判断线段 OM ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程.【答案】(1)解：等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高互相重合)；角平分线上的点到角的两边距离相等。(2)证明： CA=CB，/A=/ Bo ,0 是 AB的中点，OA=OB . DF± AC DEL BC . - Z AMO = BNO=90。

22、 .在OMA ONB 中，/A=/ B, OA=OB / AMO = BNO .OMAAONB( AAS。. OM=QN(3)解：OM=ONOMLON理由如下：连接CO则CO> AB边上的中线。- 1 - Z ACB=90 , .-.0 C=-AB=OBX/CA=CB /CABW B=45, Z 1=7 2=45° , / AOC= BOC=90。. . / 2=/B。 . BNL DE，/BND=90。又. /B=45 ,，/3=45°。，/3=/B。. . DN=NB / ACB=90 ,/ NCM=90。又. BNlDE ，/DNC=90。.四边形 DMCN1矩

23、形。. DN=MC . MC=NB .MOCANOB( SAS。. . OM=QN/MOC= NOB / MOC / CON= NOB- / CON 即/ MON = BOC=90。 OML ON【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】(1)根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。(2)利用AAS证明OMA4ONB即可。(3)利用SAS证明MOC4NOB即可得到OM=O N / MOC=NOB通过角的等量代换即可得/ MON =BOC=90 ,而得到 OML ON3. (2012福建厦门10分)已知口 ABCD对角线AC与BD相交于点O,点P

24、在边AD上，过 点P分 另I作PH AC PF, BD 垂足分另1J为 E、 F, PE= PF.(1)如图，若 PE= & EO= 1,求/EPF的度数;(2)若点P是AD的中点，点 F是DO的中点，BF = BC+ 3/2-4,求BC的长.【答案】解：(1)连接PO , PE= PF, PO= PO PE1AC PF± BD Rt APEORtAPFO( HL)。 ./ EPO= Z FPO在 RtPEO中,EO ,3 tan / EPO= -="V, PE 3ZEPO= 30°。/EPF= 60°。(2)二点P是AD的中点，AP= DR又

25、PE= PF,Rt APEARtPFD( HL)。，/OAD= /ODAOA= ODAC= 2OA= 2OD= BD， ABC比矩形。 点P是AD的中点，点 F是DO的中点，AO/ PF。 PFBD - AC± BD口 ABC皿菱形。，口 ABC虚正方形。BD= '2BC BF=：BD ，Ba 酢一4=342BC 解彳导,BC= 4。【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理， 全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】(1)连接PO,利用解直角三角形求出/ EPO=30 ,再利用"HL'证明PEO和PFO 全等，

26、根据全等三角形对应角相等可得/ FPOW EPO从而得解。(2)根据条件证出 曰| ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。4.(2012甘肃白银10分)如图，点 A, B, C, D在。0上，AB=AC AD与BC相交于点 E,1_1_AE ED ,延长DB到点F,使FB -BD ,连接AF.22(1)证明： BD曰AFDA(2)试判断直线 AF与。0的位置关系，并给出证明.EDAD【答案】 解：(1)证明：在 BDE 和4FDA中，FB= - BD, AE= - ED, . 1. BD 22 FDy. Z BDE= /FDABDEAFDA(2)直线AF与。0相切。

27、证明如下：连接OA OB OC1 . AB= AC, BO= CO OA= OA2 .OAB2 AOAC( SSS。，/OA品 / OAC二.AO是等腰三角形 ABC顶角/ BAC的平分线。AOL BG. BD曰FDA 得/ EBD= / AFD ，BE/ FA.AOLBE, .-.ACLFA .直线 AF与。0 相切。【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质， 平行的判定和性质，切线的判定。【分析】(1)因为/ BDE公共，夹此角的两边 BD DF=ED AD=2 3,由相似三角形的判定， 可知 BD曰AFDA(2)连接 OA OB OG证明OA年OAC得出

28、AQLBC 再由 BD曰FDA得出/EBDW AFD则 BE/ FA,从而 AOL FA,得出直线 AF与。0相切。5. (2012广东广州14分)如图，在平行四边形 ABCD43, AB=5, BC=1Q F为AD的中点，CEL AB 于 E,设 /ABC形(60° < a < 90° )(1)当a =60°时，求 CE的长；(2)当 60° v a V 90° 时, 是否存在正整数 k,使彳导/ EFD=k AEF?若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由.连接CF,当CE CF取最大值时，求tan/DCF的值.【答案】解：(

29、1) . a =60° , BC=1Q .sin ”=里，即 sin60 ° =BCCE10, 3 3,斛仔 CE=5 v 3 o2(2)存在k=3,使得/ EFD=AEE理由如下:连接CF并延长交BA的延长线于点 G,.F 为 AD的中点，AF=FD在平行四边形 ABCD, AB/ CD G=Z DCF在AFG和CFD中，. /G=Z DCF ZG=Z DCF AF=FD. .AF®ACFD( AAS。. CF=GF AG=CD. CEL AB, . EF=GF . AEF4 G. AB=5 BC=1Q 点 F 是 AD的中点，. . AG=5 AF=- AD=

30、1 BC=5= . AG=AF 22 ./AFGW G在MFG 中，/ EFC至 AEF吆 G=2Z AEF又. /CFD= AFG，/CFD= AEE / EFD至 EFC吆 CFD=Z AEF吆 AEF=2 AEF因此，存在正整数 k=3,使得/ EFD=N AEF设 BE=x,AG=CD=AB=5, EG=AE+AG=5 x+5=10- x,在 Rt"CE 中，Cd=BC - BF=100-x2。在 RtCEG中,CG=EG+CE= ( 10-x) 2+100-x2=200 - 20x。. CF=GF(中已证),.CF2=(1CG 2=- CG=1 (200 20x) =50

31、5x。1. CE：- CF2=100- x2- 50+5x= - x2+5x+50= - ( x - - ) 2+50+-25 o24当x=9,即点E是AB的中点时，C=-C/取最大值。 2此时，EG=10- x=10- 5=15, CE=100 x2=Jl00 经= 5152 2425 15CG2'/15tan DCF tan G 2。EG1532【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全 等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。【分析】(1)利用60。角的正弦值列式计算即可得解。(2)连接C

32、F并延长交BA的延长线于点 G利用“角边角”证明 AFG和4CFD 全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF AG=CD再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 EF=GF再根据AB BC的长度可得AG=AF然后利用等边对等角的性质可 得/ AEF=/ G=Z AFG根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 /EFC=2 G然后推出/ EFD=N AEF从而得解。设BE=x,在RtBCE中，利用勾股定理表示出CE表示出EG的长度，在 RtCEG中，利用勾股定理表示出 CG,从而彳#到C&然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。6.(2012广东肇 庆10分)

33、如图，在 ABC中，AB=AC以AB为直径的。交AC于点E,交BC于点D,连结BE AD交于点P.求证：(1) D是BC的中点；(2) ABEC sMDC(3) AB CE=2DPAD【答案】 证明：(1) .AB是。0的直径，ADB=90 ,即 ADLBG. AB=AC .D 是 BC的中点。(2)AB 是。0 的直径，/ AEB4 ADB=90 ,即/ CEBW CDA=90 ,ZC 是公共角， BE6 AADG(3) . BE6 AADCC，/ CBEW CAD. AB=AC AD=CD，/BADW CAD . ./BADWC BE= /ADBW BEC=90 , .AB BCEAB A

34、DAB BC。：. . BC=2BDABADBC BEAD BE2BD 口- AB BD,即BE 2AD BE / BDP= BEC=90,/PBDWCBE.BPABCtEDP BDCE BEAB2ADDP n -,即 AB?CE=2DP?ADCE【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】(1)由AB是。0的直径，可得 ADL BC又由AB=AC由三线合一，即可证得 D是BC的中点。(2)由 AB是。0的直径，/ AEBhADB=90 ,又由/C是公共角，即可证得 BE6 AADC(3)易证得4ABABCE与 BP BCE根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD

35、即可证得 AB?CE=2DP?AD 7. (2012贵州毕节14分)如图，AB是。0的直径，AC为弦，D是BC的中点，过点 D作EFL AC的延长线于 E,交AB的延长线于 E,交AB的延长线于 F。(1)求证：EF是。0的切线；(2)若sin/F=1, AE=4,求。0的半径和 AC的长。 3【答案】(1)证明：连接OD是？C 的中点，/ BOD Ao.OD/ AC,. EHAC，/E=90° 。，/ODF=90。.EF是。0的切线；(2)解：在 AEF 中，. / E=90° , sin /F= 1 , AE=4,3AE . AF 12。sin F设。0 的半径为 R,

36、贝U OD=OA=OB=RAB=2R在ODF中，. /ODF=90, sin Z F= 1, . OF=3OD=3R3 . OF+OA=AF，3R+R=12，R=3连接 BC 贝U / ACB=90 。 / E=90° ,BC/ EF。AC AE=AB AF。 .AG 4=2R: 4R, . AC=2.OO的半径为3, AC的长为2。【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角 三角函数定义，平行线分线段成比例定理。【分析】(1)连接OD根据圆周角定理，可得/ BOD=A,则OD/ AC从而得出/ ODF=90 ,即EF是。0的切线。(2)先解直角

37、 AAEF 由 sin/F=l，得出 AF=3AE=12 再在 RtODF中，由 sin / F= 1 , 33得出OF=3OD设。0的半径为R,由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出。0 的半径。连接BC,证明BC/ EF,根据平行线分线段成比例定理得出AC: AE=AB AF,即可求出AC的长。8.(2012江苏泰州12分)如图，已知直线l与。0相离，OAL1于点A,OA=5OA与。0相交于点巳AB与。0相切于点B, BP的延长线交直线l于点C.(1)试判断线段 AB与AC的数量关系，并说明理由；(2)若PC=2痣，求。0的半径和线段 PB的长;(3)若在。0上存在点Q,使QACl以

38、AC为底边的等腰三角形，求。0的半径r的取值范围.【答案】 解：(1) AB=AC理由如下：CP AP 2 5一 一，即一PD BP 62BP连接OB. AB 切。0 于 B, OAL AC . . / OBAW OAC=90。 /OBP4 ABP=90 , /ACP廿 CPB=90 。 . OP=OB .OBPW OP Bo /OPBW APC，/ACPW ABC.AB=AC(2)延长AP交。0于D,连接BQ设圆半径为r ,则由OA=5得，OP=OB=r PA=5-r。又. PC=2J'5 ,2一 AB2 l 2 一 、2由(1) AB=AC导 52 r 2v56 r),解得：r=3

39、。.AB=AC=4 ,. PD是直径， ./ PBD=90 =/PAC /DPBWCPA . .DPBACP/A .OA2OB252r2,AC2PC2PA22 555r)2o6 5 PB=(3)作线段AC的垂直平分线 MN彳。且MN贝U OE=1AC=1AB=1J52 r2 o 222又.圆 O要与直线 MN点，.OE=1；52 r2wr,2r > 医。又二圆O与直线l相离，rv 5。.00的半径r的取值范围为J5 Wr v 5.【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。【分析】(1 )连接 OB,根据切线的性质和

40、垂直得出/ OBAW OAC=90 ,推出/OBP4 ABP=90 ,ZACPy CPB=90 ,求出/ ACPW ABC根据等腰三角形的判定推出即可。(2)延长AP交。0于D,连接BD,设圆半径为r,贝U OP=OB=r PA=5 r,根据AB=AC推出_22 L 2_、2 一 一CP AP 一5 r 2 455 r),求出r,证 DPB ACPA<,得出 ，代入求出PB即可。PD BP(3)根据已知得出 Q在AC的垂直平分线上，作出线段 AC的垂直平分线 MN作OELMN求出OE< r,求出r范围，再根据相离得出 r<5,即可得出答案。9. (2012江苏南京10分)如图

41、，A B为。0上的两个定点，P是。0上的动点(P不与A、B重合)，我们称/ APB为。0上关于A B的滑动角。(1)已知/APB是e O上关于点A、B的滑动角。 若AB为。0的直径，则/ APB二 若。0半径为1 , AB=J2 ,求/ APB的度数(2)已知。2为eO1外一点，以。2为圆心作一个圆与 eO1相交于A、B两点，/APB为eOi上关于点A、B的滑动角，直线 PA PB分别交eO2于点M Ng M与点A、点N与如图，连接AB OA OB在4AOB中，. OA=OB= 1 AB=<12 , oA+oB=aBoA A AOB=90 。根据勾股定理的逆定理可得/ AOB=90 ,再

42、分点P在优弧Ab上；点P在点B均不重合），连接AN,试探索/ APB与/MAN /ANB之间的数量关系。【答案】解：（1）900。. /MAN =APB吆 ANPW APB+ （180° / ANB , /APB至 MAN +AN5 180° 。【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90。即可得/ APB=90°。当点P在优弧 AB上时（如图1）, / APB=1 / AOB=45 ;2当点P在劣弧AB上时（如图2）,，一 1 ，。 ，一 。/APB、（360 /AOB =135 。2（2）根据点P在

43、。0 1上的位置分为以下四种情况.第一种情况：点 P在00 2#,且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3,. / MAN=APB吆 ANBAPB至 MAN- / ANB第三种情况：点 P在。2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5,/ APB吆 ANB廿 MAN=180 ,，/APB=180 Z MAN- Z ANB第四种情况：点P在。2内，如图6,/APB至 MAN +ANB第二种情况：点P在00 2#,且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4,劣弧Ab上两种情况讨论即可。(2)根据点P在。0 1上的位置分为四种情况得到/ APB与/MAN /AN

44、B之间的数 量关系。10. (2012四川宜宾10分)如图，OOk。2相交于P、Q两点，其中。0 i的半径ri=2, OO2的半径r2=J2.过点Q作CDLPQ分别交。0 1和。0 2于点C. D,连接CP、DP,过点Q任作 一直线AB交。0 1和。0 2于点A. B,连接AR BR AC. DB,且AC与DB的延长线交于点 E.PA 一(1)求证：PA 应；PB(2)若PQ=2试求/E度数.【答案】(1)证明：1的半径n=2,。2的半径2=血，. PC=4 PD=2V 2 o CDL PQ / PQC= PQD=90。1 中，/ PAB至 PCD,在。2 中, .PCPD分别是。0 1、。2

45、的直径，在。0/ PBA至 PDC .PAH APCIDPA PB PA ，即PC PD ' PBPCPDPQ 1(2)解：在 RtPCQ中，PC=2r1=4, PQ=2，cos/CPQ= - o /. Z CPQ=60。 .在 RtPDQ中,PD=2r2=2y2, PQ=2 . .sin Z PDQ=PQ o Z PDQ=45 。PD 2/ CAQ= CPQ=60 , / PBQ= PDQ=45 。又. PD是。0 2 的直径， ./ PBD=90 。 /ABE=90 / PBQ=45。在4EAB 中，./ E=180° - / CA& / ABE=75。答：ZE的

46、度数是75°。【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义， 特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。PA【分析】（1）求出PG PD,证APABAPCID得出 _ PCPB而，从而而丽理，得出PA PC 4(2)由 cos/CPQ更 工，求出/ CPQ=60°PC 2同理求出/ PDQ=45°由圆周角定/ CAQ= CPQ=60 , / PBQ= PDQ=45 , 求出 / PBD=90,求出/ ABE=45根据三角形的内角和定理求出即可。11. （2012四川广安9分）如图，在4ABC中，/ABCWACB以 AC为直径的。0分别交

47、AB BC于点 M N,点P在AB的延长线上，且/ CAB=Z BCP(1)求证：直线CP是。0的切线.(2)若 BC=2j5, sin/BCP=g,求点 B 至ijAC 的距离.(3)在第（2）的条件下，求 ACP的周长.A037 / 60【答案】 解：(1) /ABCW ACB 且/CAB=2 BCP 在 4ABC 中，ZABC+ BAC+ BCA=180 ,2ZBCP+2 BCA=180 。 . / BCP+BCA=90 ,即/ PCA=90 。又AC是。0的直径，直线 CP是。0的切线。（2）如图，作BDLAC于点D, . PCIACBD/ PG ，/PCB=DBC . C=2y5 ,

48、 sin Z BCP=5 1 sin BCP sinDCDBCBCDC 5,斛得：DC=22 55由勾股定理得:BD=4 .点B至ij AC的距离为4。（3）如图，连接AN,CE 1，一，CN在 Rt ACN中，AC= sin DBCCNsin BCP5 二=-=-=5 ，55又 CD=2 .1. AD=AG CD=5- 2=3。 BD/ CP . .ABAACIPBDPCADAC43-，即_o PCPC 5203在 Rt ACP 中，AP JaC2+PC2220 2255 + - -33.ACP的周长为 AC CP AP20 255+ + 20。【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等

49、腰三角形的性质，勾股定理，相似三角 形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）根据/ABCW AC 且/CAB=Z BCP 在 4ABC 中/ABC廿 BAC廿 BCA=180 ,得到2/BCP+Z BCA=180 ,从而得到/ BCP廿BCA=90 ,证得直线CP是。0的切线。(2)作BDLAC于点D,得至ij BD/ PC从而利用DC sin BCP sin DBC BCDC2 5求得DC=2再根据勾股定理求得点B至ij AC的距离为4。(3)先求出AC的长度，然后由BD/ PC求得4AB中AACP利用比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出 AP的长度，从而求得 ACP的周长。

50、作。aAC于点E,P.12. (2012四川达州7分)如图，C是以AB为直径的。0上一点，过过点A作 00的切线交OE的延长线于点F,连结CF并延长交BA的延长线于点(1)求证：PC是。0的切线.（2）若 AF=1, OA=2j5,求 PC的长.【答案】解：(1)证明：连结OC OaAG . . AE=CE FA=FC .Z FAC至 FCA -. OA=OC-.Z OAC= OCA / OAC+ FAC至 OCA+ FCA 即 / FAO= FCO,FA 与。0 相切，且 AB 是。0 的直径，.FAI AB，/ FCO= FAO=90 。又OC是。0的半径，PC是。0的切线。PA AFoP

51、C CO(x 2<2)2 ，解得:(2) .PC是。0 的切线，/ PCO=90。而/FPA4 OPC Z PAF=90 , .PAQAPCO o /. CO=OA2A2, AF=1, PC=2T2 pa 。设 PA=x,贝U PC=2 2x在RtPCO中，由勾股定理得，(272x)2 (272)2PC 16 o7【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】(1)连接OC根据垂径定理，利用等角代换可证明/ FAC至FCA然后根据切线的性质得出/ FAO=90 ,然后即可证明结论。(2)先证明APAQAPC(O利用相似三角形的性质得出PC与PA

52、的关系，在RtAPCO中，利用勾股定理可得出 x的值，从而也可得出 PC得长。13. (2012四川德阳14分)如图，已知点C是以AB为直径的。0上一点，CHLAB于点H, 过点B作。O的切线交直线 AC于点D,点E为CH的中点，连结并延交 BD于点F,直线CF 交AB的延长线于G.求证：AE- FD=AF EQ求证：FC=FB若FB=FE=2求O O的半径r的长.【答案】（1）证明：: BD是。0的切线，/ DBA=90 。. CHLAB,CH/ BD . .AEaAAFtDAE EC。AE?FD=AF?ECCE AE EHDF AF BFAF FD(2)证明：CH/ BD AE6 AAFt

53、D AAHtE AABF. CE=EH E 为 CH 中点)，BF=DF. AB 为。0 的直径，./ACBM DCB=90。. CF=DF=BF 即CF=BF(3)解：. BF=CF=DR已证),EF=BF=2 ，EF=FC . . / FCE至 FEC / AHEW CHG=90 ,/ FAH吆 AEH=90 , / G+/ GCH=90 。 / AEHW CEF/ G=Z FAGA F=FG . FBIAG . - AB=BG连接OC BC. BF切。0 于 B,，/FBCh CAB . OC=OA CF=BF /FCB至 FBC /OCAWOAC / FCB至 CAB . /ACB=90 , . ACO+ BCO=90。 . . / FCB+ BCO=90 ,即OCL CG .CG是。0切线。 GBAOO 害U线，FB=FE=2 由切割线定理得：（2+FG）2=BG<AG=2bG,【注，没学切割线定理的可由 AG。ACGB求得】在 RtBFG中，由勾股定理得：BfG"- BF", fG"- 4FG- 12=0。解得：FG=6 FG=-2 （舍去）。由勾股定理得