二轮复习排列组合、二项式定理

1、排列组合二项式定理教学过程一、考纲解读该部分在高考试卷中一般是1 到 2 个小题，分值在5-10 分。主要考查两个基本原理、排列组合的基础知识和方法，考查二项式定理的基础知识及其简单应用.在复习中要在解一些常规题型上下功夫，需要掌握基本的解题方法.在平时的复习中要能够体会计数原理在概率分布中的应用，特别是用排列组合解决的大题.对于二项式定理，重点考查二项式定理的通项.以及二项式系数和项的系数.二、复习预习（ 1 ）分类加法计数原理、分步乘法计数原理 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理； 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（ 2）排列与组合 理解排列、组合的

2、概念. 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 能解决简单的实际问题.（ 3）二项式定理 能用计数原理证明二项式定理. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.三、知识讲解考点 1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题考点 2 排列与组合理解排列、组合的概念.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式能解决简单的实际问题考点3二项式定理能用计数原理证明二项式定理.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题四、例题精析 例1 2014全国1卷4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加

3、公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率()A.-B.3C.5888D.-8【规范解答】 解法1.选D (直接法)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有24=16种,8 6 716 一 8周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：一天一人一天三人有c4a；=8种；每天2人有22-C4c2 =6种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为解法2 .选D (间接法)4位同学都在周六或周日参加公益活动有选D.2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为16-2716 一 8【总结与反思】 (1)本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该 概率模型

4、是不是古典概型，再要找出随机事件 A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.是 道基础题。(2)解题步骤：求得 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可.解法2更好一些，正难则反的思想来解决。(3)近几年往往将排列组合、概率相结合考查，都是以考查基本概念、基础知识和基本运算为主，能力 要求主要是以考查分析问题和解决问题为主。例2 2014全国1卷(xy)(x + y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)【规范解答】 解法1 ：填-20(x+y)8展开式的通项为Tr小=C；x8上yr (r =0,1,川

5、,8),八7 7c 76 2 62 6 丁8 二 C8 xy = 8xy , T7 = C&x y = 28x y(x y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的项为 x 8xy7 y'28x2y6 =-20x2y7,故系数为一20。解法2：填-20（xy）（x + y）8= （x2 y2 ）（x + y）7则要产生含x2y7的项必须从（x+y）7中的展开项提取 y7和x2y5这两项，所以x2y7的系数为C0C5=20【总结与反思】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力，为容易题。解法1由题意依次求出（x + y）8中xy7, x2y6两项的系数，求和即可

6、.解法 2中是先用平方差化简，再用二项 式通项公式解决，比解决1运算题稍少一点。利用定理求展开式的特定项， 其实上就是抓通项公式来求解 特定项问题，这类问题在一般出现在前四题的位置，通常考查常数项、有理项的问题比较多。例3 2014上海卷为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 。（结果用最简分数表示），“1【规范解答】 。 15一一81选择连续3天的种数为8种，则概率为 -o C1015【总结与反思】考查结合排列组合知识考查古典概型的概率计算.属于容易题.例4 2014全国大纲卷有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，

7、1名女医生组成一个医疗小组， 则不同的选共有（）（A）60 种 （B） 70 种（C）75 种 （D） 150 种【规范解答】 选（C）.（求解对照）由已知有6名男医生从中选出2名，有C： =15种;5名女医生，从中选出1名，有C5=5种。则6名男医生，5名女医生，从中选出 2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选共有21C6 C5 =75 （种） 选（C）.【总结与反思】本题考查考生运用分步计数原理分析、解决问题的能力，考查有条件排列以及排列数公式的应用，考查考生利用排列组合知识经济实际问题的能力和逻辑推理能力。以现实生活中的情境为素材，强调数学在现实生活中的应用性，在考查数学基础

8、知识的同时，激发考生对数学知识的学习兴趣， 有利于中学数学教学。例52014北京卷把5件不同产品摆成一排，若产品 A与产品C不相邻，则不同的摆法有 种. 【规范解答】36先只考虑A与产品B相邻.此时用捆绑法，将A和B作为一个元素考虑， 共有A4 =24种方法.而A 和B有2种摆放顺序，故总计 24丈2=48种方法.再排除既满足 A与B相邻，又满足 A与C相邻的情 况，此时用捆绑法，将 A, B, C作为一个元素考虑，共有 A3=6种方法，而A, B, C有2种可能的 摆放顺序，故总计 6 m 2=12种方法.综上，符合题意的摆放共有 4812=36种.【总结与反思】分类讨论过程中如果正面很复杂

9、，而反面情况相对较简单，我们可以从反面入手.此为，正难则反.从反面考虑.是一种常用的解题思路.例62014辽宁卷6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）A. 144 B. 120 C. 72 D. 24【规范解答】解法 1选（D）（插空法）第一步：3人全排，有A3 =6种方法，第二步：3人全排形成4个空，在前3个或后3个或中间两个空中插入椅子，有4种方法，第三步：根据乘法原理可得所求坐法种数为6X4=24种.解法2选（D）（直接法）将6把椅子依次编号为1,2,3, , 4,5,6,故任何两人不相邻的做法，可安排：“1,3,5, ”“1,3,6,” “1,4,6,” “2,

10、4,6号位置就坐，故总数为 4A；=24.【总结与反思（1）涉及到计数原理、排列、乘法原理等基本知识点；（2）解法1涉及到3个步骤：3人全排，插空，求结果；解法 2涉及到了：编号，排座，得结果；（3）排列、组合是高考数学考查的热点，常常和概率、期望等问题放在一起考查，单独作为考题时有出现，都属于过度类型的题目，难度一般处于中档偏易例72014四川卷六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共 有（）A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种5. 14【规范解答】 当最左端为甲时，排法有 人种，当最左端为乙时，排法有C4八4种，所以共有_ 5_ 1_

11、4_ . _A5+C4A4=216种.故选 B.【总结与反思】本题考查计数原理、排列组合的应用，以及分类思想及运算能力，难度中档.例82014浙江卷在8张奖券中有一、二、三等奖各 1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人， 每人2张，不同的获奖情况有 种(用数字作答).【规范解答】 分两种情况：一种是有一人获得两张奖券，一人获得一张奖券，有c3a4=36种；另一种是三人各获得一张奖券，有 A3=24种.故共有60种获奖情况.【总结与反思】(1)本题考查了分类加法计数原理与分步乘法计数原理以及排列组合的概念、排列数和组合数的计算等知识点.(2)排列组合问题一般解决方法较多，但分类和分步的问题

12、是常见的排列组合问题.本题的切入点是根据获奖人数分类，解决的步骤是先分类再分步，注意点是5张无奖的奖券是相同元素.(3)涉及分类与整合的基本数学思想.例92014重庆卷某次联欢会要安排 3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.3【规范解答】 先排歌舞，有 A3种不同排法，再插入小品和相声，若小品插入两边，则不合题意；若两个小品插入中间的两个空，NXX,则1个相声可以插入中间和两边6个位置的任意一个，有 A2A1种；若两个小品插入2个中间位置中的1个和两边中任意一个位置， 则1个相声只能插入2个中间位置中的另一23

13、 . _ 2 _ 1. _ 2 .个，有4A2 ,由加法原理和乘法原理得，共有A3(A2A6 +4A2)=120。【总结与反思】本题考查加法原理、乘法原理、排列、组合，涉及分类讨论，属中档题。易错提醒：排列组合问题最易多或少。如：先排2个小品，再插入1个相声，再插入3个歌舞，得A2A1A3八-2.13或A2A3A4,都是错误的。正确分类是解决这类问题最常用的方法。例102014福建卷用a代表红球,b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由(1+a11 + b )的展开式1+a + b + ab表示出来，如：“1表示一个球都不取、也”表示取出一

14、个红球，面3b”用表示把红球和篮球都取出来 .以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A. (1+a+a2a3 a4a5 1 b5 1 c5 b. 1 a5 1 b b2 b3 b4b5 1 c 5C. (1 +a 5(1 +b +b2 +b3 +b4 +b5 (1 +c5 ) d. (1 +a5 /1 +b 5(1 + c + c2 +c3 +c4 +c5 )【规范解答】 由题意得，从5个无区别的红球取出若干个球对应于1+a+a2+a3+a4+a5；从5个无区别的蓝球中取球，且所有的蓝球都取出或都不取出对应于b5 +1 ；从5个有区别的黑球中取出若干个球(可分为5类不同的黑球)对应于(1+c)(1+c)(1+c)(1+c)(1+c),根据乘法原理，故选 A。【总结与反思】本题以 母函数”为背景，考查 母函数”在排列组合问题中的应用.主要通过新定义问题考查创新意识.课程小结1 .排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真 审题，弄