二次函数的最值问题总结(完整资料).doc

1、【最新整理，下载后即可编辑】二次函数的最值问题二次函数丁 =然+瓜+，（。工0）是初中函数的主要内容，也是高 中学习的重要基础.在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变 量不取任意实数时的最值情况（当。时，函数在X =-母处取得最 小值与无最大值；当。时，函数在处取得最大值 4aza竺了，无最小值.4。本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内 取值时，函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在 实际生活中的简单应用.二次函数求最值（一般范围类）例1.当-2W2时，求函数）=炉-21-3的最大值和最小值.分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象 的最高点和最低点，由此

2、得到函数的最大值、最小值及函数取到 最值时相应自变量x的值.解：作出函数的图象.当x = l时，=4,当x = 2时，k =5.例2.当时，求函数丫 = -£-犬+ 1的最大值和最小值.解：作出函数的图象.当x = l时，=-1,当x = 2时，）占=-5.由上述两例可以看到，二次函数在自变量工的给定范围内， 对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的 最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的 图象形状各异.下面给出一些常见情况：【最新整理，下载后即可编辑】例3.当xNO时，求函数y = r(2-x)的取值范围.解：作

3、出函数y = -x(2-冷=一一2%在”之0内的图象.可以看出：当X = 1时，)蕊=-1,无最大值.所以，当XNO时，函数的取值范围是yN-1.例4.当Yxwz + 1时，求函数丁 = ；/一工一2的最小值(其中，为 常数).分析：由于X所给的范围随着，的变化而变化，所以需要比较 对称轴与其范围的相对位置.解：函数y = 12-x-1的对称轴为X = 1.画出其草图.(1)当对称轴在所给范围左侧.即“1时： 当x = f时，1 ,5 .X =1-r-3,t<0 2 当对称轴在所给范围之间.即YlKf + lnOKf时：当 x = l 时，=1xl2-l-1 = -3 ；(3)当对称轴在

4、所给范围右侧.即f + l<l=>f<o时：当 x = /+时，= - (z +1)2 - (r +1) - - = -r2 - 3 .综上所述：y = <-3,0<r <11 ,5-r122>1在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题: 二次函数求最值(经济类问题)例1.为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活， 鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴.规 定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台 数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图所示的一次 函数关系.随着补贴款额工的不断增大，销售量也不断增

5、加，但 每台彩电的收益z （元）会相应降低且z与x之间也大致满足如 图所示的一次函数关系.（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益 额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台 数y和每台家电的收益Z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益卬（元）最大，政府应 将每台补贴款额工定为多少？并求出总收益w的最大值.分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为 800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的 点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益=商场销 售彩电台数X每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得

6、到二 次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为800x 200 = 160000 （元）；（2）依题意可设尸&/+800 , Z = k2x+2Q0，二有400%+ 800 = 1200 , 200 + 200 = 160 ,解得尤=1, &=一/. 所以 y = x+800, Z = -1x+200 .（3） w = yZ = （x + 800）. -lx+200 =-i（x-100）2+ 162000 ,政府应 将每台补贴款额X定为100元，总收益有最大值，其最大值为 162000 元.说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考， 不可顾此失

7、彼.例2.凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时 间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包 房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提 高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方 法变化下去.（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为力 （元），但会减少丫2间包房租出，请分别写出力、丫2与X之间的 函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒 店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y与x之间的函数 关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费 收入，并说明理由.分析：（1）提价后每

8、间包房的收入=原每间包房收包房费+ 每间包房收包房提高费，包房减少数=每间包房收包房提高费数 量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入=提价后每间包房 的收入X每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y取得最大 值时X的值.解：（1）弘=100 + x, y2 = X （2）y = （100+x）e（100-lx）y=-1（x-50）2 +11250 ,因为提价前包 房费总收入为100X100=10000,当x=50时，可获最大包房收入 11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间 包房晚餐应提高40元或60元.说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的

9、角度 来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该 更好.例3.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销 售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这 种水产品的每千克售价弘（元）与销售月份工（月）满足关系式必 =-3+ 36,而其每千克成本为（元）与销售月份工（月）满足的 O函数关系如图所示.（1）试确定从C的值；（2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x（月） 之间的函数关系式；（3）“五 一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润 最大？最大利润是多少？分析：（1）将点（3, 25）, （4, 24）代入求b、C的值；（2） y=yK； （3）

10、将（2）中的二次函数配方为顶点式，再利用二次 函数的增减性，在满足“五 一”之前的前提下求最大值.r 1、25 = - x32 +3Z? + cb = -l-解：（1）由题意：，:,解得<24 = - x 42 + 4/? + c88 .c = 29-21 - 26+X3 - 2+2X1 -8(2)y = yl-y2 = x+36-x2-x+29-o o o2(3)y = x-hx+ 6_ = (x* 12x+36)+4f6 = (x6)* + 11. 8228228,.,« = -<0,抛物线开口向下.在对称轴x = 6左侧y随x的 8增大而增大.由题意x<5,所

11、以在4月份出售这种水产品每千克 的利润最大.最大利润=-：(4-6尸+ 11 = 1(4 (元).82说明：本题在x=6,即6月份时取得最大值，但题目要求在 “五 一”之前，所以要将二次函数配方为顶点式，利用二次函 数的增减性来求解.例4.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现 这种商品每天的销售量加(件)与每件的销售价x(元)满足一次函 数机= 162-3x,30KxK54 .(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x 之间的函数关系式； 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定 为多少最合适？最大销售利润为多少？解： 由已知得每件商品的销售利润为(X-30)元

12、， 那么用件的销售利润为y = m(x-30),又m = 162 - 3x .y = (x-30)(162-3x) = -3x2 + 252x-4860,30 W 54(2)由知对称轴为x = 42,位于x的范围内，另抛物线开 口向下/.当 x = 42 时，y. =3x42?+ 252x42 4860 = 432.当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大 销售利润为432元.二次函数求最值(面积最值问题)例1.在矩形ABCD中，AB=6cm, BC=12cm,点P从点A出发， 沿AB边向点B以lcm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿 BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、

13、Q两点同时出发， 分别到达B、C两点后就停止移动.(1)运动第t秒时，APBQ的面积y(cm2)是多少？(2)此时五边形APQCD的面积是S(cm2),写出S与I的函 数关系式，并指出自变量的取值范围.(3) t为何值时s最小，最小值时多少？答案：(l)y = g(6 f ). 2f = t + 6/(2) S = 6xl2-(-/解：设花圃的宽为x米，面积为S平方米则长为：32-4工+2 = 34 - 4x（米）则：S = x（344x）=-4x2 + 34x当+绝 440<34-4x<1017 6 < x < .1<6,.S与；v的二次函数的顶点不在自变量x的

14、范围内，而当内，S随x的增大而减小，:当 x = 6 时，5皿口 = 一4（6一9）2 +等= 60（平方米）答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大.例3.已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如 + 6/) = /2-6r + 72(0</<6)(3);S = ("3)2+ 63.当f = 3时；S有最小值等f63例2.小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙， 为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他 买回了 32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏 花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的

15、通道及在左 右花圃各放一个1米宽的门（木质）.花圃的长与宽如何设计才 能使花圃的面积最大？图），其中AF=2, BF=1.试在AB上求一点P,使矩形PNDM 有最大面积.解：设矩形PNDM的边DN=x, NP=y, 则矩形PNDM的面积S=xy （2<x<4） 易知 CN=4-x, EM=4-y. 过点B作BHJLPN于点 则有AFBs/BHP.AF BH 可口 2 4-x .=,即一= ,BF PH 1 y-3 . 1 y = -x+,S = xy =+ 5x （2 < x <4）,此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5, 当x<5时，函数值y随x的增大而增大

16、，对于 2<x<4 来说，当 x=4 时，=-Ax42+5x4 = 12 .【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数 的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力.同 时，也给学生探索解题思路留下了思维空间.例4.某人定制了一批地豉，每块地豉（如图所示）是边长为 0.4米的正方形点石、下分别在边8c和 8上，XCFE、43万和四边形力均由单一材料制成，制成CFE、XABE 和四边形AE/77的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、 10元，若将此种地豉按图所示的形式铺设，且能使中间的阴 影部分组成四边形EFGH.判断图中四边形瓦G4是何形状，并说明理由;尽尸在什么位置时，定制这批地豉所需的材料自 解：四边形是正方形.'图可以看作是由四块图所示地