哈工大非线性作业

1、实用文档非线性控制课程作业2015秋季学期姓 名：_学号：15S004001_专业：控制科学与工程_工业大学实用文档2016 年 1 月实用文档作业一1.动态系统：系统状态随时间而变化的系统或者按确定性规律随时间演化的系统，称为动态系统。动态系统是数学上的一个概念，是一种固定的规则，它描述一个给定空间（如某 个物理系统的状态空间）中所有点随时间的变化情况。在动力系统中有所谓状态的概念，状态是一组可以被确定下来的实数。状态的微小变动对应这组实数的微小变动。动力系统的演化规则是一组函数的固定规则，它描述未来状态如何依赖于当前状态的。这种规则是确定性的，即对于给定的时间间隔，从现在的状态只能演化出一

2、个未来的状态。其特点是：表示一个从U到M的映射，用t,x表示，称为“演变函数”，表示了系统状态随时间变化的规律。量t，M称为状态空间。x代表系统的初始状态，当初始状态固定时, 函数，函数经过x代表的状态点。动态系统也常用微分方程来描述，设系统状态向量为x，则有一下数学描述:x(t) f(x,t) x(0)xo式中x为状态变量矢量，t为时间，f 为确定性矢量函数，这个微分方程即动态系统的数学描述形式。=对微分动力系统的研究从理论上揭示了系统的许多基本性质。如对系统吸引子的研究说明了系统终态，即定常状态的种类（非平衡态）。又如对系统稳定性条件的研究和相空间拓 扑结构对参量依赖关系的研究都对系统的设

3、计具有重要指导意义。不用微分方程描述的动态系统模型中最简单的是映射，一般用差分方程或迭代方程表示。静态系统：与动态系统相对，系统状态不随时间变化的系统称为静态系统。系统中各个状态的量之间都有着已经固定的关系并且保持不变，动态系统的每一个平衡点都是一个静态系统。数学描述：用微分方程来描述静态系统，类比动态系统，可以有以下数学描述双t） f（x）f（x） o其中f（x） 0表示了系统中各个状态变量之间的关系，即满足这样的关系时静态系统才能 成立。（1）系统的状态变量是时间函数，即其状态变量随时间而变化；（2）系统状况由其状态变量随时间变化的信息来来描述；（3）状态变量的持续性。数学描述形式：一般的

4、，动态系统表示为一个元组T,M ,，其中:U T M M0,x xt2,tnxtlt2,x ,t1,t2,t1t2I x其中lx t T: t,x Ut,x表示了集合M中点的变化，这种变化依据于变t, x就变为了t的实用文档2.系统的齐次性和叠加性是不是独立的两个性质？如果一个系统具有叠加性，是否可以推断出该系统一定满足齐次性？写出你对该问题的理解。二者是独立的，二者只在有理数围等效；这个问题本身属于群论畴，尽管直观上讲，二者有一定关联。可以证明在有理数域，如果已知系统具有叠加性，那么它一定同时具有齐次 性。(1)在整数围证明，当aZ 由叠加性可以得到即满足齐次性：T az aT z当a 0显

5、然成立；当a 0时由可加性T az T az 0T az T az aT z简言之，式子最后可以分解为a个T(r)相加，即为a倍T(r)。此时可加性与齐次性表述了 同一条规则。将这一结论推广，可加性可以推出对于有理数的齐次性，(2)在有理数围证明b，其中b,c Z，c 0，由(1)中推出的结论知c，十十,十bb十bbbT z T bz T c zcT zT zT zcccc在有理数围存在T az aT z故齐次性与可加性在有理数围等效。但在无理数围及复数围该结论不一定成立，反例如下：(3)虽然实际中存在很多不同时满足齐次性与可加性的例子，但大多数非线性系统是同时不满足二者。具有齐次性的非线性映

6、射， 只能在不满足可加性的无理数集中去寻找。如果不要求为连续函数，定义抽象函数如下例，即为一个满足齐次性而不满足可加性的系统：(x)0(x为有理数)T az T z zz aT zT az T az，由上面堆出的结论可知T(az) T(a 1)z z T(z) T(a 1)zT(z) T(z) LT(z) aT(z)由于有理数a总可以写成分数形式f (X)(X 为无理数)实用文档即为满足齐次性对数乘封闭f(cx) cf(x)而不满足可加性f(x y) f (X) f (y)的实例。(4)设a为复数，若系统满足T iz iT z其中z R，则可以推导出齐次性，但是一般的线性系统不满足这个性质。若

7、变量与常数都可在复数域取值，由于复数运算的特殊性，叠加性与齐次性之间不一定等价。比如当k为复数时，实用文档f (x) Re x,f (kx) Re kx齐次性不成立但是叠加性仍然成立。线性系统 Simulink 仿真模型（蓝色曲线）非线性系统 Simulink 仿真模型（红色曲线）（1 ）对于初值Xi（0）20，两种系统的状态轨迹如下两图所示:X2（0）0X1X23.状态空间表达式如下,Simulink 仿真比较线性、非线性模型。%X2XiX2XiX2X2kX2m实用文档9ID当角度很小时，两系统的状态轨迹基本是相同的。(2 )对于初值为(0)X2(0)4，两系统状态轨迹如下:0X1X2当初始

8、角度偏大时，近似的模型与实际模型的状态轨迹出现了偏差。对于初值Xi(0)X2(0)2，两系统状态轨迹如下:0X1X2当单摆初始状态水平放置时，两个系统的状态轨迹相差比较大。实用文档78，两系统状态轨迹如下:0X1作业二(4 )对于初值人(0)X2(0)X2实用文档1.对两种稳定性的理解。& f(x,t)假设f是n维连续向量场。这样可以保证对于每个初始状态X。，都有至少一个经典解x(t)。(1)Lyapunov稳定性针对平衡位置定义：&f (x,t)系统对任意选定实数0，都存在(，t。) 0，使得当X)xe( ,t0)时，从任意初态X。出发都满足X(t) Xe，便可以确定Xe为平衡点，且此时称这

9、个平衡点在 Lyapunov 意义下稳定。实用文档若平衡点为零点，则| x q实质即在一定条件下可以满足是系统响应有界，系统响应x(t)(t,Xo,to)存在边界S()，而根据边界即可确定出初始状态X。所在超球域S()。初值的选取取决于对系统状态围的限定，通过限定初值围保证系统状态在要求围之。(2)Lagrange 稳定性也叫解的一致有界性，从 Lagrange 稳定性中只能得到状态在时刻t0之后是有界的。即给定R 0,我们总可以找到一个S 0,当|x0R时，有|xtS。2.解对初值具有连续依赖性与不稳定性的理解。解对初值的连续依赖性是指，对于非线性系统& f(t,x)，假设y(t)为定义在t

10、o,ti上的唯一解，满足初 始条件y(t0) y0,对于任意给定 的0，存在，上述方程在t0,ti上存在满足初始条件z(t)Z的唯一解z(t)，且z t y t , Z0t,ti。t0,ti上,即使是不稳定的系统，在一个已知时间围也是存在解的，只要满足在确定时间点上的解关于初值连续变化就说明解对初值有连续依赖性。因此对初值的连续依赖性与系统不稳定不矛盾。即解对初值的连续依赖性与系统是否稳定无关,3.该系统平衡点唯一，因为如果有除了原点的另一平衡点x，那么若取初值x0 x，根据平衡点的定义，x(X0,t) X，与条件不符。但不能说平衡点0 是渐进稳定的，状态收敛,但是并不一定符合 Lyapuno

11、v 意义下的稳定性，即对于任意的0不一定能够找到一个当|x。时，有x t，直观上说，就是在状态收敛的过程中可能出现先发散再收敛的现象，虽然最后状态收敛但不能确定系统的稳定性。0使得对于Z。x ?n| xy0由于连续依赖性定义在有不稳定的解的系统也可以对初值具有稳定性。如1 1y(t) t,z(t) t -，-存在。实用文档作业三1.根据平衡点定义可得实用文档X2(1(XiX12)0X2)(1X12)解得X11,X2c, c ?或X1X2近似线性化方法:由于X12X1X2，X2X.)，xi2X1X21，-X22X1在平衡点X10, X20附近有近似线性系统:X2X1X2线性近似系统矩阵A1 i、

12、3于，由于Re(知该平衡点稳定。在平衡点X11,X2c附近,首先进行坐标变换1cT则对于系统状态，有下式成立:f1(y)f2(y)由于2(y2c)(y1(y2c)(1(y1y21)，(y11)2)c)(1(y11)2)(%1)2，f2y2-3y14y12(y?1 c)(%1)，-f2y /(y11)21，在平衡点附近有近似线性系统&2cy1&(2 c2)y1y2近似系统矩阵A2c012c,21，当 c 0 时平衡点是稳定的，2c 21否则平衡点是不稳定的,在平衡点x11,X2c， 同理可以得到y2& 2cy1&(2 c 2)y1y2实用文档实用文档近似系统矩阵A2c02c 2，12c,21，当

13、 c 0 时平衡点是稳定的，否1则平衡点是不稳定的。Lyapunov 直接方法：对于平衡点x10,X20，2 2取V(x) XiX2，则V(0)0，V(x) 0,0 x，V&x) 2x1( x1x-|X2)2xf(1x：),对于平衡点附近的区域Dx|x11，有V&(x)0成立，因此平衡点xi0,X20是稳定的。由于是在平衡点邻域的，当r20.5时，可以得到V&0，即系统在平衡点是渐进稳定的。讨论系统的稳定性可以解出系统的相应为x2terx20，Xt 1 efX20 Xi，解得XitXi0 exp t eX20，通过X| t，X2t解的形式可以很明显的看出系统是稳定的，即limxt0但该平衡点并

14、不是全局渐进稳定的，由于该系统平衡点不唯一。对于平衡点Xi1,X2c，用类似的方法可以得到结果。平衡点也不是全局渐进稳定。取V xx： X；，& 2x-ix-ix-iX2x；2. 不可以，该系统状态的围为实数域，也就是说复数不可能成为系统状态，X2j,X3j不是系统合理的平衡点，又因在实数围i x 0，因此该系统平衡点只有x 0。实用文档3. 取V(x) ln(i x2) y2，则易知V(x)全局正定，则有V&(x)x xy) 2y( y)i x2x22x2y 2y22x2y2i x2考虑g(x,y) 2x 2x y 2y 2x y的极值，首先找到驻点g(X, y)4x 4xy 4xy20，g

15、(X, y)2x24y 4x2y 0，得到驻点为实用文档元函数取极大值g(0,0) 0，由于函数全局可导，只有一个驻点，说明函数最大值为0,当且仅当x y 0时取得最大值，因此可以得出V&(x)0,又因为V(x)为径向无界函数，所以该系统全局渐进稳定。作业四201.对于集合Mix ? | Xi0,x20，若x(0) M1，即x(0)0 ，可以得到&0,&20，因此x(0)为系统的一个平衡点，因此为不变集。对于区域Dx?2|1 3x22x；0，取V(x) x2- xf，Brx?21 x-，定义33UxBr|V(x)0，可以得到在U V(x)4x；(13x22x2)0，又存在任意接近3原点的点Xo

16、，V(x0) 0，由 Chetaev 定理可知该平衡点不稳定。2 2 2y 0,检验2g(x，y)xy2g(x, y)2x2g(x, y)2y4，可以得出驻点处实用文档M2x ? |13x12x22.将uR1BTPx代入系统得& (A BR1BTP)X，令V(x) xTPx，则X1X223X2X-!X2(1.3cossin23x22xf)V3，当x(0) y时，0状态轨迹满足13x22x2解得该系统的状态轨迹为0，因此对于该系统，集合M2是一不变集。选取V(x)2X1，可知该不变集是稳定的。3实用文档V(x)XPx xTP)&T1 T TT1 Tx (A BR B P) Px x P(A BR

17、 B P)x xT( QPTBRTBTP)XXTQX(BTPX)TRT(BTPX)由于R对称正定，则若V&(x) 0,只有x 0,根据 LaSalle 定理，可以得出E xcV(x) 0中最大不变集为0，其中cx Rn|V (x) c,c 0，以因此c中任意点为初值，系统解都趋向于0,可以得出系统渐进稳定。作业五1.充分性：f(x)二阶连续可导，根据微分中值定理，存在介于知如下极限存在：g(x)0, x 0，如果系统(2)是指数稳定的则有x|Rei(A) 0,i 1,2,., n，因此对于给定的正定矩阵QRn n，Lyapunov 方程ATP PA Q 0有正定对称解P。取系统(1)的 Lya

18、punov 函数为V(x) xTPx，贝UV(x)XTQX2xTPg(x)fi(x)fi(0)丄归由于fi(0)0，有fi(x)伯xx迴Xxfi(z)xx, i 1,2,., nxgi(x)f (x) Axg(x)，其中Af(x)x,g(x) g1(x) g2(x) .x 0Tgn(x)，fi(z)xx，显然gi(x)满足gi(x)x由连续性可0 和x的zRn，使得xfi(z)实用文档min(Q)x22x P g(x)实用文档由极限定义可知，对于给定的0，存在k 0，使得IXk时g(x，则llxllV(X)min(Q) X 2x P选取，则V(X) (min(Q)2|P| ) X，因此系统(1

19、 )是指数稳定的。2|P| 1必要性：由充分性证明过程得，f(x) AXg(X),其中，A丄凶Xx 0对g(x)，有肌腐0，由于系统(1)是指数稳定，即存在V(X)Ci,i故可令g(x) h(x)x，1,2,3, 4，使Gx2C2X2,V(X)C3X2,V(x)X所以存在正定对称矩阵使得V(X) XTPX,max(P)C1,min(P) C2，则，V(x)& Px XTP&(Ax g(x)TPx xTP(Axg(x)又由于存在z，使得f (X)f(0)f(x)X由于f (0)0，故f (x)f(x)XX Ax g(x)，X z故有g(x)f(x)XAxf(x)X实用文档所以ATPPA半负定，系

20、统(2)指数稳定。V&(x) xTATP PAh(x)TPPh(x)ATP PA hTP Ph x2由于V(x)C3x，ATP PA hTP Ph半负定,（2）作业六Q r 0，系统可以看作输入uh(t, y)，输出为y的系统,由 KYP 引理证明过程可知，取V(X)由于G(s)严格正定，则有uTy V&1V& uTyxTPxhT(t,y)y1212xTPx,xTPx 0由于P 0,故V(x)径向无界系统全局渐近稳定,系统全局指数稳定。作业七且闭环系统为线性系统1.( 1)dh看做微分型则LxdhhTdLxhXiXn2hx1x2M2hXnXindai(x)i 1Xi2hX1XnM2hXnXnai(X). an(X)因此LXdh dLXhQI(X)MQ2(X)2h2hQ1X1MQ1XnMX2XnQX2QnXnX1X2M2hXnXiX1XnM2hXnXnX2XnQ1X1MQnX2Q1XnMQnXn实用文档Xd)= CTM)呵?(C)X5 勺勺人勺x|勺人Xpe勺 5人勺XXXXSMAMX乙，,-X勺,勺XM21,人X人XX人勺-X勺X勺，乙，人勺xU人，u尅兀宙逅0 %戈右3二口刃（2）2.f2f1f2f1XX0X3X2X1X3X2000