【KS5U解析】江苏省苏锡常镇四市2020届高三第二次教学情况调研数学试题 Word版含解析

1、江苏省20192020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题第i卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合a1，2，b1，a，若ab1，a，2，则a_.【答案】1【解析】【分析】根据集合中的元素，判断出的值.【详解】集合a1，2，b1，a，且ab1，a，2，a1.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据并集的结果求参数，属于基础题.2.若复数z满足(1i)z1i，其中i是虚数单位，则z的实部为_.【答案】0【解析】【分析】利用复数的除法运算求得，由此求得的实部.【详解】，z的实部为0.故答案为：【点睛】本小

2、题主要考查复数的除法运算，考查复数实部的概念，属于基础题.3.某校100名学生参加知识竞赛成绩均在50，100内，将学生成绩分成50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在80，90)内的学生人数是_.【答案】30【解析】【分析】用减去成绩在以外的学生的频率，将所得结果乘以，求得成绩在以内的学生人数.详解】.故答案为：点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图进行计算，属于基础题.4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的y的值为_.【答案】1【解析】【分析】运行循环结构代码，由此计算出输出的的值.【详解】运行程序，第一

3、步：y2，x2；第二步：y1，x1；退出循环，输出的y的值为1.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序代码计算输出结果，属于基础题.5.某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_.【答案】2【解析】【分析】根据“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，求得男生和女生人数的比值.【详解】“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，男生人数与女生人数的比值为2.故答案为：【点睛】本小题主要考查概率的概念，属于基础题.6.函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】由函数有意义，得到，即可求

4、解，得到答案.【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为.故答案为.【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中根据函数的解析式，得出函数解析式有意义的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.在平面直角坐标系xoy中，抛物线y24x的焦点是双曲线的顶点，则a_.【答案】1【解析】【分析】先求得抛物线的焦点坐标，根据抛物线的焦点是双曲线的顶点，求得的值.【详解】抛物线y24x焦点是(1，0)，双曲线的顶点为(1，0)，故a1.故答案为：【点睛】本小题主要考查抛物线的焦点、双曲线的顶点，属于基础题.8.已知等比数列的前n项和为，则_.【答案】2或8

5、【解析】【分析】根据已知条件进行化简，对是否为零分成两种情况进行分类讨论，由此求得的值.【详解】为等比数列，当时，此时；当时，此时，综上所述，2或8.故答案为：或【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式和前项和公式的基本量计算，属于基础题.9.已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为6，点m是对角线a1c上靠近点a1的三等分点，则三棱锥cmbd的体积为_.【答案】24【解析】【分析】利用顶点转化的方法，由计算出几何体的体积.【详解】.故答案为：【点睛】本小题主要考查三棱锥体积的求法，属于基础题.10.已知定义在r上的奇函数的周期为2，且x0，1时，则ab_.【答案】0【解析】【分析】根据函数的

6、奇偶性、周期性求得的值，由此列方程，解方程求得的值，进而求得的值.【详解】为定义在r上的奇函数，函数的周期为2，由，得.故答案为：【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.11.已知锐角满足，则_.【答案】2【解析】【分析】利用二倍角公式化简已知条件，并转化为只含的表达式，由此求得的值，进而求得的值.【详解】，化简得，两边同时除以得，为锐角，0解得，.故答案为：【点睛】本小题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，属于基础题.12.如图，在abc中，abc，ab1，bc3，以ac为一边在abc的另一侧作正三角形acd，则_.【答案】4【解析】【分析】取的中

7、点，连接，则.根据平面向量的线性运算以及数量积运算，将转化为，由此求得的值.【详解】取ac中点e，连接，则，则.故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算、数量积运算，考查了化归与转化的数学思想方法，属于基础题.13.在平面直角坐标系xoy中，ab是圆o：x2y21的直径，且点a在第一象限；圆o1：(xa)2y2r2(a0)与圆o外离，线段ao1与圆o1交于点m，线段bm与圆o交于点n，且，则a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据判断出四边形为平行四边形，由此求得圆的方程以及的长，进而判断出点在圆上，根据圆与圆的位置关系，求得的取值范围.【详解】四边形ono1m为平行四边形，即

8、onmo1r1，所以圆的方程为，且on为abm的中位线am2on2ao13，故点a在以o1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，故与x2y21在第一象限有交点，即2a4，由，解得，故a的取值范围为(，4).故答案为：【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.14.已知a，br，abt（t为常数），且直线yaxb与曲线（e是自然对数底数，e2.71828）相切.若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数t的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，根据切点在切线和曲线上，以及导数与切线的斜率的关系列方程组，由此求

9、得关于的表达式，构造函数，利用研究的单调性，由此求得的取值范围.【详解】设切点为(，)，有唯一解，构造函数，(，2)2(2，1)1(1，)00递减递增e递减注意到时，故有唯一解时t的取值范围为(，)e.故答案为：【点睛】本小题主要考查导数与切线问题，考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，且bsin2aasinb.（1）求a；（2）求cos(b)sin(c)的最大值.【答案】（1）（2）1【解析

10、】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简已知条件，由此求得，进而求得的大小.（2）用表示出，将所求表达式化为，结合三角函数最值的求法，求得所求最大值.【详解】（1）bsin2aasinb，2bsinacosaasinb，由正弦定理，得，又三角形内角a，a；（2）由（1）a，又abc，得c，b，cos(b)sin(c)b，当，即时，取最大值1，cos(b)sin(c)的最大值为1.【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形内角和定理，考查三角函数最值的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.已知在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是菱形，且平面a1add1平

11、面abcd，da1dd1，点e，f分别为线段a1d1，bc的中点.（1）求证：ef平面cc1d1d；（2）求证：ac平面ebd.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）连接，通过证明四边形是平行四边形，证得，由此证得平面.（2）通过证明，结合面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，由菱形的性质得到，从而证得平面.【详解】（1）连结cd1，四棱柱abcda1b1c1d1中，a1b1c1d1，bb1c1c是平行四边形，a1d1/b1c1，bc/b1c1，且a1d1b1c1，bcb1c1，又点e，f分别为线段ad，bc的中点，ed1/fc，ed1fc，所以四边形ed1cf是平

12、行四边形，ef/cd1，又ef平面cc1d1d，cd平面cc1d1d，ef/平面cc1d1d.（2）四棱柱abcda1b1c1d1中，四边形aa1d1d是平行四边形，ad/a1d1，在da1d1中，da1dd1，点e为线段a1d1的中点，dea1d1，又ad/a1d1，dead，又平面a1add1平面abcd，平面a1add1平面abcdad，de平面a1add1，de平面abcd，又ac平面abcd，deac，底面abcd是菱形，bdac，又bdded，bd，de平面ebd，ac平面ebd.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

13、17.在平面直角坐标系xoy中，椭圆c：(ab0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3.（1）求椭圆c的标准方程；（2）过点p(0，1)的直线l与椭圆c交于两点a，b.己知在椭圆c上存在点q，使得四边形oaqb是平行四边形，求q的坐标.【答案】（1）（2）q(1，)或(1，)【解析】【分析】（1）结合椭圆离心率以及右焦点到右准线的距离，以及，求得，进而求得椭圆的标准方程.（2）首先判断直线斜率不存在时，四边形不可能是平行四边形，不符合题意.然后设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出根与系数关系，求得点坐标并代入椭圆方程，由此求得的值，进而求得点坐标.【详解】（1）设焦距为2c，椭圆c的

14、离心率为，右焦点到右准线的距离为3，由，解得a2，c1，故b2a2c23，椭圆c的标准方程为，（2）当直线l斜率不存在时，四边形oaqb不可能平行四边形，故直线l斜率存在直线l过点p(0，1)，设直线l为：，设a(，)，b(，)，由四边形oaqb是平行四边形，得q(，)，化简得：，q(，)，点q在椭圆c上，解得，代入q的坐标，得q(1，)或(1，).【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.18.某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以c为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路oe，of，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点a，b.

15、现规划修建一条新路（由线段mp，线段qn三段组成），其中点m，n分别在oe，of上，且使得mp，qn所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点p，q，所对的圆心角为.记pca（道路宽度均忽略不计）.（1）若，求qn的长度；（2）求新路总长度的最小值.【答案】（1）qn的长度为1千米（2）【解析】【分析】（1）连接，通过切线的几何性质，证得四边形是正方形，由此求得的长度.（2）用表示出线段，线段的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】（1）连接cb，cn，cm，omon，om，on，pm，qn均与圆c相切cbon，caom，cpmp，cqnq，cbcapc

16、a，pcq，qcb，此时四边形bcqn是正方形，qncq1，答：qn的长度为1千米；（2）pca，可得mcp，ncq，则mp，nq设新路长为，其中(，)，即，当时取“”，答：新路总长度的最小值为.【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19.已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对任意n，恒成立.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，已知，(2ij)成等差数列，求正整数i，j.【答案】（1）证明见解析；（2）i4，j5【解析】【分析】（1）根据题目所给递推关系式证得数列是等差数列

17、，由此得到.利用求得数列的通项公式.（2）由（1）求得的表达式，由成等差数列列方程，分成和两种情况进行分类讨论，由此求得整数.【详解】（1），数列各项均为正数，等式两边同时除以，得，故数列是等差数列，首项为2，公差为0，即，求得，(n2)，得，即，又，对任意n，数列是以2为首项，2为公比的等比数列故数列的通项公式为；（2），(2ij)成等差数列，变形得(*)，当时，令(i3)，则(i3)，数列单调递减，故，故时*式不成立，当时，*式转化为，解得i4，故j5.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查等差中项的性质，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数

18、学思想方法，属于难题.20.已知函数，m，nr.（1）当m0时，求函数的极值；（2）当n0时，函数在(0，)上为单调函数，求m的取值范围；（3）当n0时，判断是否存在正数m，使得函数与有相同的零点，并说明理由.【答案】（1）函数有极大值1，无极小值;（2）m的取值范围为0;（3）存在正数m，使得函数与有相同的零点，详见解析.【解析】【分析】（1）当时，利用研究函数的单调性，由此求得函数的极值.（2）当时，由或恒成立，将分成，和四种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.（3）设为相同的零点，由此得到，进而得到，.通过构造函数法，结合零点存在性定理，证得能同时成立，由此证得存在符合题意的正数.【详

19、解】（1）当m0时，令，解得x1，列表如下：x(0，1)1(1，)0单调递增单调递减当x1时，函数有极大值1，无极小值；（2）当n0时，函数，要使函数在(0，)上为单调函数，则对(0，)，或恒成立，令，或恒成立当0m2时，(0，)(，)时，(，)时，不符题意；当m0时，(0，)(，)时，(，)时，不符题意；当m2时，(0，)时，(，)时，不符题意；当m0时，此时恒成立，函数在(0，)上单调递减，符合题意，综上所述，m的取值范围为0；（3）函数与有相同的零点，不妨设为相同的零点则，得，由（1）知，故，令，又，故当(1，n3)时，式有解，且能满足，存在正数m，使得函数与有相同的零点.【点睛】本小题

20、主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查函数零点问题的研究，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.第ii卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括a，b，c三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.已知点m(2，1)在矩阵a对应的变换作用下得到点n(5，6)，求矩阵a的特征值.【答案】矩阵a的特征值为4或1【解析】【分析】首先根据矩阵变换列方程组，解方程组求得的值，也即求得矩阵，然后根据特征值的求法，求得矩阵a的特征值.【详解】点m(2，1)在矩阵a对应的变换作用下得到点n(5，6)，则，解得，a，令，得

21、，解得，矩阵a的特征值为4或1.【点睛】本小题主要考查矩阵特征值的求法，考查矩阵变换，属于基础题.22.在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为(为参数).以原点o为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线c的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点p是曲线c上的动点，求p到直线l的距离的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用求得曲线的普通方程，由直角坐标和极坐标转化公式，求得直线的直角坐标方程.（2）设出点的坐标，根据点到直线的距离公式，求得到直线的距离的表达式，根据三角函数最值的求法，求得到直线的距离的最小值.【详解】（1）由题意，曲线

22、c的普通方程为，由得，化简得直线l的普通方程为.（2）设p(2cos，sin)，则p到直线l的距离所以当1时，dmin所以p到直线l的距离的最小值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用参数求最值，属于中档题.23.已知a，b，c是正数，求证：对任意r，不等式恒成立.【答案】证明见解析；【解析】【分析】先由基本不等式求得的最小值，然后根据绝对值三角不等式证得不等式成立.【详解】对于正数a，b，c，由均值不等式得，当且仅当abc时取“”，任意，由绝对值不等式得当且仅当x1时取“”，对任意，都有不等式成立.【点睛】本小题主要考查基本不等式和绝对值三角不等式，属于中档题.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.24.如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，ab2，adap3，点m是棱pd的中点.（1）求二面角macd的余弦值；（2）