【KS5U解析】江苏省常州市2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

1、常州市教育学会学生学业水平监测高三数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题一第14题）、解答题（第15题一第20题）.本卷满分160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2b铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律

2、不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.参考公式：棱锥的体积，其中是棱锥的底面积，是高.样本数据，的方差，其中.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】求出集合b，即可得出【详解】集合集合集合故答案为：.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.若复数满足（是虚数单位），则的实部为_.【答案】-1【解析】【分析】设，再代入已知等式中计算解得，的值，即可求出的实部.【详解】设 ，故答案为：.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部与实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.

3、下图是一个算法的流程图，则输出的的值是_.【答案】10【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】经过第一次循环得到结果为，此时不满足判断框的条件；经过第二次循环得到结果为，此时满足判断框的条件.执行输出，即输出10故答案为：10.【点睛】本题主要考查了循环结构，在解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律，属于基础题4.函数的定义域为_【答案】【解析】【分析】由题意得，解不等式求出的范围后可得函数的定义域【详解】由题意得，解得，函数的定义域为故答案为【点睛】已知函

4、数的解析式求函数的定义域，实质上就是求解析式中自变量的取值范围，解题时要根据解析式的特点得到关于自变量的不等式（组），解不等式（组）后可得结果5.已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是_.【答案】2【解析】【分析】先求出该组数据的平均值，再根据方差的公式计算即可.【详解】一组数据17，18，19，20，21的平均数为该组数据的方差为：故答案为：2.【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为_.【答案】【

5、解析】分析】先求出基本事件总数为，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为，由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，基本事件总数为，该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为.该同学“选到文科类选修课程”的概率是.故答案为：.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7.已知函数，则_.【答案】【解析】【分析】先求出,则，由此能求出答案.【详解】函数故答案为： .【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力

6、，是基础题8.函数，取得最大值时自变量的值为_.【答案】【解析】【分析】令，解得，再根据，即可确定自变量的值.【详解】令，解得.故答案为：.【点睛】本题考查的知识要点为正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型9.等比数列中，若，成等差数列，则_.【答案】64【解析】【分析】根据题意设等比数列的公比为，再根据，成等差数列结合等比数列的通项公式，即可求出q的值，从而可求出的值.【详解】设等比数列的公比为.，成等差数列故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题10.已知，则_.【答案】【解析】【分析】

7、利用诱导公式化简三角函数式求得的值，再利用二倍角的正切公式，求得结果【详解】故答案：.【点睛】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式、二倍角的正切公式的应用，属于基础题11.在平面直角坐标系中，双曲线：右顶点为，过作轴的垂线与的一条渐近线交于点，若，则的离心率为_.【答案】2【解析】【分析】求出右顶点，以及双曲线的渐近线方程，令，求得的坐标，由两点的距离公式和离心率公式，可得所求值【详解】双曲线：的右顶点为，且双曲线的渐近线方程为根据渐近线方程的对称性，设其中一条渐近线为.过点作轴的垂线与的一条渐近线交于点故答案为：2.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能

8、力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)12.已知函数，互不相等的实数，满足，则的最小值为_.【答案】14【解析】【分析】由对数的运算性质可得，再把转化为，借助于基本不等式即可求解.【详解】函数，互不相等的实数，满足，即，且.，当且仅当时取等号.的最小值为14.故答案为：14.【点睛】本题考查最值求法，注意运用对数的运算性质和基本不等式的最值求法.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正

9、，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.13.在平面直角坐标系中，圆：上存在点到点的距离为2，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题意，求得圆的圆心与半径，求出以点为圆心，半径为2的圆的方程，分析可得，若圆：上存在点到点的距离为2，则圆与圆有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得答案【详解】圆：，其圆心，半径.点到点的距离为2点的轨迹为:又在上圆与圆有交点，即.或实数的取值范围是故答案为：.【点睛

10、】本题考查实数值、两平行线间的距离的求法，考查直线与直线平行的性质、两平行线间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.在中，点满足，且对任意，恒成立，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意，设，则，由向量模的定义以及向量减法的几何意义分析可得，即，进而可得、的值，结合余弦定理计算可得答案【详解】根据题意，在中，点满足.设，则.对任意，恒成立，必有，即，如图所示.，.故答案为：.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，涉及向量加减法的几何意义以及余弦定理的应用，属于综合题二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中

11、，角，的对边分别为，已知，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，可得,再根据，即可求出；（2）由余弦定理可得：，即可推出，从而求得的值.【详解】（1）在中，则，因为，所以.在中，所以，所以.（2）由余弦定理得，则，所以，因为，所以，即.【点睛】本题主要考查余弦定理，根据条件建立边角关系是解决本题的关键.解三角形问题的技巧：作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦定理、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”（即

12、“统一角、统一函数、统一结构”）是使问题获得解决的突破口.16.如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，点，分别是线段，的中点.求证：（1）平面；（2）.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取，的中点，连结，利用三角形的中位线性质可证，可证四边形是平行四边形，可证，进而利用线面平行的判定定理即可证明平面；（2）利用线面垂直的性质可证，又，利用线面垂直的判定定理可证平面，可证，又证，利用线面垂直的判定定理可证平面，进而利用线面垂直的性质可证【详解】证明：（1）取，的中点，连结，三角形中，为，的中点，所以，；三角形中，为，的中点，所以，因为四边形是矩形，所以，从而，所以四边

13、形是平行四边形.所以，又平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为四边形是矩形，所以.又因为，平面，平面，所以平面.又平面，所以.因为，为的中点，所以，又因为，平面，平面，所以平面.又平面，所以.【点睛】本题主要考查了三角形的中位线性质，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题17.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的左右焦点分别为，椭圆右顶点为，点在圆：上.（1）求椭圆的标准方程；（2）点在椭圆上，且位于第四象限，点在圆上，且位于第一象限，已知，求直线的斜率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意知，的

14、值，及，之间的关系求出椭圆的标准方程；（2）设，的坐标，设直线的方程，由向量的关系可得，三点关系，直线与圆联立求出的坐标，直线与椭圆联立求出的坐标，再由向量的关系求出参数，进而求出直线的斜率【详解】（1）圆：的圆心，半径，与轴交点坐标为，点在圆：上，所以，从而，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由题，设点，；点，.则，由知点，共线.直线的斜率存在，可设为，则直线的方程为，由，得，或，所以，由，得，解得，或，所以，代入得，又，得，所以，又，可得直线的斜率为.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转

15、化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用18.请你设计一个包装盒，是边长为的正方形硬纸片（如图1所示），切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，再沿虚线折起，使得，四个点重合于图2中的点，正好形成一个正四棱锥形状的包装盒（如图2所示），设正四棱锥的底面边长为.（1）若要求包装盒侧面积不小于，求的取值范围；（2）若要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的容积.【答案】（1）（2）当时，包装盒容积最大【解析】【分析】（1）结合已知可建立侧面积关于的

16、函数关系，然后由侧面积不小于，可建立关于的不等式，即可求得的取值范围；（2）先利用表示出的函数关系，结合导数可求其最大值【详解】（1）在图1中连结，交于点，设与交于点，在图2中连结，因为是边长为的正方形，所以，由，得，因为，即，所以.因为，由，得，所以.答：的取值范围是.（2）因为在中，所以，设，所以，令，得或（舍去）.列表得，8+0-极大值所以当时，函数取得极大值，也是最大值，所以当时，的最大值为.答：当时，包装盒容积最大为.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解极值及最值在实际问题中的应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题19.已知函数.（1）若曲线在处的切线的斜率为2，

17、求函数的单调区间；（2）若函数在区间上有零点，求实数的取值范围.（是自然对数的底数，）【答案】（1）函数的单调增区间为，单调减区间为（2）【解析】【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解【详解】（1）函数的定义域为，则，所以，此时，定义域为，令，解得；令，解得；所以函数的单调增区间为，单调减区间为.（2）函数在区间上的图象是一条不间断的曲线.由（1）知，1）当时，对任意，则，所以函数在区间上单调递增，此时对任意，都有成立，从而函数在区间上无零点；2）当时，令，得

18、或，其中，若，即，则对任意，所以函数在区间上单调递减，由题意得，且，解得，其中，即，所以的取值范围是；若，即，则对任意，所以函数在区间上单调递增，此时对任意，都有成立，从而函数在区间上无零点；若，即，则对任意，；所以函数在区间上单调递增，对任意，都有成立；对任意，函数在区间上单调递减，由题意得，解得，其中，即，所以的取值范围是.综上可得，实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： 直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象

19、与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点20.设为正整数，若两个项数都不小于的数列，满足：存在正数，当且时，都有，则称数列，是“接近的”.已知无穷等比数列满足，无穷数列的前项和为，且，.（1）求数列通项公式；（2）求证：对任意正整数，数列，是“接近的”；（3）给定正整数，数列，（其中）是“接近的”，求的最小值，并求出此时的（均用表示）.（参考数据：）【答案】（1）（2）证明见解析（3）的最小值，此时【解析】【分析】（1）设等比数列公比为，由，可求得首项和公比，进而求得通

20、项；（2）只需证明成立，即可得证；（3）由题设可求得，根据定义进而得到对都成立，再构造函数求解即可【详解】（1）设等比数列公比为，由得，解得，故.（2）.对任意正整数，当，且时，有，则，即成立，故对任意正整数，数列，是“接近的”.（3）由，得到，且，从而，于是.当时，解得，当时，又，整理得，所以，因此数列为等差数列.又因为，则数列的公差为1，故.根据条件，对于给定正整数，当且时，都有成立，即对都成立.考察函数，令，则，当时，所以在上是增函数.又因为，所以当时，即，所以在上是增函数.注意到，故当时，的最大值为，的最小值为.欲使满足的实数存在，必有，即，因此的最小值，此时.【点睛】本题考查数列与函

21、数的综合运用，考查根据递推关系求数列通项及利用导数研究函数的单调性及最值，考查逻辑推理能力及运算能力，属于难题数学（附加题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷只有解答题，供理工方向考生使用.本试卷第21题有a、b、c三个小题供选做，每位考生在3个选做题中选答2题.若考生选做了3题，则按选做题中的前2题计分.第22、23题为必答题.每小题10分，共40分.考试时间30分钟.考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置

22、作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.4.如需作图，须用2b铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.5.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损，一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.21.已知点在矩阵对应的变换作用下得到点.（1）写出矩阵的逆矩阵；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设矩阵的逆矩阵为，根据，列方程求出的逆矩阵；（2）根据题意可得 ，得出，从而求出，的值和的值.【详解】（1）设阵的逆矩阵为，则.，解得.（2）点在矩阵对应的变换作用下得到点，所以，得.所以，所以，得.【点睛】本题考查了矩阵的逆矩阵和矩阵变换问题，也考

23、查了计算求解能力，是中档题22.求圆心在极轴上，且过极点与点的圆的极坐标方程.【答案】【解析】【分析】设圆的极坐标方程是，根据点在圆上，解得的值，从而求得圆的极坐标方程.【详解】因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是.又因为点在圆上，所以，解得.因此所求圆极坐标方程是.【点睛】本题主要考查圆的极坐标方程的求法，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.23.求函数的最小值.【答案】最小值为2.【解析】【分析】先求出函数的定义域，再将函数化简到，然后利用基本不等式即可求出最小值.【详解】函数的定义域为，.，当且仅当，即时取到“”.所以当时，函数的最小值为2.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相