离散型随机变量的分布列一 人教版

1、离散型随机变量的分布列一【本章学习目标】在现实生活中，问题无处不存在如果解决某个问题有多种选择，我们想知道哪种选择对我们有利？对于某类数量较大的总体，想要了解总体的相应情况，我们面临的是如何入手？第一个问题涉及离散型随机变量，可用有关期望等知识来解决，属于概率论；第二个问题涉及数理统计知识通过本章的学习就能解决上述两类问题本章重点内容是：（1）随机变量、离散型随机变量的分布列（2）离散型随机变量的期望与方差（3）抽样方法：简单随机抽样；系统抽样；分层抽样（4）总体分布的估计（5）正态分布的意义和性质，生产过程的质量控制图（6）线性回归（7）实习作业本章难点内容是：（1）离散型随机变量的期望的概

2、念及意义（2）抽样方法“各个个体被抽取的概率相等”的理解（3）正态分布及其意义【基础知识导引】1了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义2理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列3掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单问题4理解二项分布的概念【教材内容全解】1随机变量在课本上的射击的随机试验中，可能出现的结果都可以用一个数即“环数”来表示，这个数在随机试验前是无法预先确定的在不同的随机实验中，结果可能有变化，就是说，这种随机试验的结果都可以用一个变量来表示在产品检验的随机试验中，结果也可以用“次品数”这个变量表示如果随机试验的结

3、果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示两点说明：（1）课本在介绍随机变量的概念时，不加定义地引入了“随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验（2）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的这与函数概念的本质是一样的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量x是实数

4、，而在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果例如，任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但仍可以用数量来表示它通常我们用来表示这个随机试验的结果：=0，表示正面向上；=1，表示反面向上2离散型随机变量如果随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出（可能取的值为有限个或至多可列个），这样的随机变量叫做离散型随机变量说明：（1）离散型随机变量可能取的值为有限个或至多可列个这里的“可列”不易理解，所以课本用比较浅显的语言“按一定次序一一列出”来描述比如取1，2，n，（2）教材中为了控制难度，所涉及到的离散型随机变量可能取的值的个数多数是有限

5、的3连续型随机变量有的随机变量，它可以取某一区间内的一切值例如，某一自动装置无故障动转的时间是一个随机变量，它可以取区间（0，+）内的一切值（不能一一全部列出）随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量4离散型随机变量的分布列对于随机变量的研究，我们不仅要知道随机变量取哪些值，随机变量所取的值表示的随机试验的结果，而且需要进一步了解随机变量取这些值的概率为了叙述和分析问题方便，通常用随机变量与这一变量所对应概率P的“二维表”表示，称这样的表为随机变量的概率分布，简称为的分布列在离散型随机变量的分布列中，由于概率一定非负，而且一次试验的各种结果是彼此互斥的，全部结果之和为

6、一必然事件，所以P行中的概率值，具有下列两个性质：（1）；（2）=1二项分布是常见的离散型随机变量的概率分布之一，也是本书重点研究的一种离散型随机变量的分布列在学习这个概念之前应先弄清以下两点：（1）在n次独立重复试验中某个事件发生的次数是一个随机变量（2）如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为：，其中k=1，1，n，q=1-p【难题巧解点拨】例1 设随机变量的分布如下：123npk2k4k求常数k的值分析 用离散型随机变量分布列的性质：=1来列等式，求待定系数k解 由离散型随机变量的分布列性质，得即点拨 从表格中可以看出，随机变量的分布列

7、有时可用通项型公式来表示，这样对有关计算带来很大方便例2 （2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数的概率分布分析 一批产品可以认为数量较大，从中任意地连续取2个元件，相当于2次独立重复试验，得到的次品数服从二项分布解 由题意，得到的次品数B（2，5%）因此，次品数的概率分布如下：012P0.90250.0950.0025点拨 把数学思想应用到实际问题中，并能顺利地提炼出数学模型是本题的切入点例3 罐中有5个红球，3个白球，从中每次任取一球后放入一个红球，直到取到红球为止用表示抽取次数，求的分布列，并计算P（1<3）分析 =

8、2，表示第一次取到白球，第二次取到红球解 当=2时，表示第一次取到白球，第二次取到红球，则类似地的分布列如下：1234P点拨 必须明确=4的含义，防止遗漏这种情况例4 一批零件中有九个合格品，三个次品安装机器时，从这批零件中随机抽取，取出的是废品则不放回，求在第一次取到合格品之前取到废品数的分布列分析 在取到合格品之前取到的次品数，其所有可能值为0，1，2，3，共四种情况=0表示在取得合格品之前取得的次品数为0，即表示第一次取的零件就是合格品；=1表示取得合格品之前取得的次品数为1，即表示第1次取得次品，第2次抽到合格品；以此类推解 由题意知可取0，1，2，3则的分布列如下：0123P点拨 =

9、0表示在取得合格品之前取得0个次品，确切的意义为取得的第一个零件就是合格品，剖析此类题的一般性原则是：上一次试验若取到一个废品，则下一次试验时，总量和废品数量都应减少一个；当取完全部废品后，下一次试验必取到合格品【课本习题解答】练习（P5）1（1）可取1，2，3，10=i表示取出第i号卡片；（2）可取0，1，2，3=i表示取出i个白球，3-i个黑球，其中i=0，1，2，3；（3）可取2，3，4，12若以（i，j）表示抛掷甲、乙两个骰子后骰子甲得i点且骰子乙得j点，则=2，表示（1，1）；=3，表示（1，2），（2，1）；=4，表示（1，3），（2，2），（3，1）；=12，表示（6，6）（4）

10、可取1，2，3，4，=i表示前i-1次射击都未命中目标，第i次射击命中目标；（5）可取（-，+）中的数练习（P8）1设此运动员罚球一次的得分为，则的分布列为01P0.30.72设所取球的号数为，则是随机变量，其分布列为0123456789P取出的球的号数为偶数的概率为P（为偶数）3略4所以，的分布列如下：012345P习题11（P8）1（1）设所需要的取球次数为，则可取1，2，11=i表示前i-1次取出红球而第i次取出白球，这里i=1，2，11；（2）设所需要的取球次数为，则可取所有的正整数=i表示前i-1次取出红球而第i次取出白球，这里i=1，2，3，；（3）设所取卡片的数字之和为，则可取3

11、，4，11其中：=3，表示取出标有1，2的两张卡片；=4，表示取出标有1，3的两张卡片；=5，表示取出标有1，4或2，3的两张卡片；=6，表示取出标有1，5或2，4的两张卡片；=7，表示取出标有1，6或2，5或3，4的两张卡片；=8，表示取出标有2，6或3，5的两张卡片；=9，表示取出标有3，6或4，5的两张卡片；=10，表示取出标有4，6的两张卡片；=11，表示取出标有5，6的两张卡片；2设可取球的号数为，则的分布列为12320P3射击次数的分布为123nP0.90.090.0094抛掷一个骰子时将以相同的概率得到1，2，3，6这6个不同的点数抛掷甲、乙两个不同的骰子，两个骰子所得的点数的取

12、值是相互独立的，连续抛掷两个骰子，将以相同的概率得到以下36种结果之一：（1，1）（1，1）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）以上的（i，j）表示抛出的第一个骰子得i点且第二个骰子得j点设两个骰子的点数之和为，则的分布列为23456789101112P5根据离散型随机变量的分布列的性质，得k+

13、2k+nk=1所以6B(5，0.1)，的分布列为012345P0.590490.328050.07290.00810.000450.00001*7解：设，考察不等式如果得k6所以，当k6时，P(=k+1)P(=k)当k>6时，P(=k+1)<P(=k)其中，当k=6时，P(=k+1)=P(=k)所以，当k=6，7时，P(=k)取最大值一般地，如果B(n，p)，其中0<p<1，考察不等式（其中q=1-P）(n-k)Pq(k+1)所以 knP-q=(n+1)P-1（1）如果(n+1)P是整数，那么(n+1)P-1也是整数此时，可以使k=(n+1)P-1k+1=(n+1)P且

14、P(=k+1)=P(=k)即当k取(n+1)P或(n+1)P-1时，P(=k)取最大值（2）如果(n+1)P不是整数，那么不等式不可能取等号所以，对任何k，P(=k+1) P(=k)所以，当 k+1<(n+1)P时，P(=k+1) >P(=k)记小于(n+1)P的最大整数为(n+1)P，则当k=(n+1)P，P(=k)取最大值【同步达纲练习】一、选择题1有下列问题：某路口一天经过的车辆数为；某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数为；一天之内的温度为；某人一生中的身高为；射击运动员对某目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示运动员在射击中的得分上述问题中的的离散型随机变量的是

15、（ ）ABCD2若随机变量的概率分布如下表所示，则表中a的值为（ ）1234PaA1 B C D3设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第次首次测到正品，则P（=3）等于A BC D4抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为，则“>4”表示试验的结果为（ ）A第一枚为5点，第二枚为1点 B第一枚大于4点，第二枚也大于4点C第一枚为6点，第二枚为1点 D第一枚为4点，第二枚为1点5某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是（ ）AP（=2） BP（=3） CP（2） D

16、P（3）6若P（n）=1-a，P（m）=1-b，其中m<n，则P（mn）等于（ ）A(1-a)(1-b) B1-a(1-b) C1-(a+b) D1-b(1-a)二、填空题7随机变量的分布列为012345P则为奇数的概率为_8已知随机变量的分布列为12345P0.10.20.40.20.1若=2-3，则的分布列为P9抛掷一枚骰子5次，得到点数为6的次数记为，则P（>3）=_10一个口袋中装有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止没停止时总共取了次球，则P（=12）等于_三、解答题11设B（2，P）B（4，P），已知

17、有：求P（1）12有5支不同标价的圆珠笔，分别标有10元、20元、30元、40元、50元从中任取3支，若以表示取到的圆珠笔中的最高标价，试求的分布列13某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列14袋中有3个白球，3个红球和5个黑球，从袋中随机取3个球，假定取得一个白球得1分，取得一个红球扣1分，取得一个黑球得0分，求所得分数的概率分布参考答案【同步达纲练习】一、1D 2D 3C 4C 5B 6C6提示：由P(>n)=1-P(n)=1-(1-a)=a，P(<m)=1-P(m)=1-(1-b)=b所以P(mn)=1-P(>n)+P(<m)=1-(a+b)二、7；8-11357P0.10.20.40.20.19 ； 109提示：随机变量，则；10提示：=12，就是第12次取球时为第10次出现红球所以前11次取球中，必有两次取到白球，而余下的10次取到的是红球（包括最后一次）故三、11因为B（2，P），所以，k=0，1，2由，得，故，解得或（舍去），所以， 12的可能取值为30，40，50，分布列为304050