《3.2等比数列的前n项和》导学案1

1、3.2等比数列的前n项和导学案1课程学习目标1. 掌握等比数列的前 n项和公式的推导方法.2. 应用等比数列的前 n项和公式解决有关等比数列的问题 .3. 会求等比数列的部分项之和 .第一层级知识记忆与理解知识体系梳理创设情境印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨班达依尔，并问他想得到什么样的奖赏.大臣说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦子数增加一倍， 直到把每一小格都摆上麦子为止，并把这样摆满棋盘上六十四格的麦子赏给您的仆人.”国王认为这位大臣的要求不算多，就爽快地答应了.国王能实现他

2、的诺言吗？知识导学问题1:等比数列的前n项和公式：当 q=1 时，S=;当 q m 1 时，S=.问题2:我们来帮国王计算下要多少粒麦子，把各格所放的麦子数看成是一个数列an,它是一个a1=1, q=2, n=64的等比数列，问题转化为求数列an的前64项的和，可求得 S=_=264- 1,而264- 1这个数很大，超过了 1.84X1019，所以国王根本 实现不了这个诺言问题3:用错位相减法来推导等比数列的前n项和公式：设等比数列an的公比为q,它的前n项和是$=a+a1q+aq2+, +旳"1. Xq得 qS=aq+aiq2+, +a1qn-1+aiqn.-得(1 -q) S=.

3、当q=1时，该数列是常数列，S=;当qz 1时，该等比数列的前 n项和公式为：S=.即S=.问题4:用等比数列的定义推导等比数列的前 由等比数列的定义，有=n项和公式：:=q.根据等比的性质，有峻好他=_丸杠：*检.：? (1 -q) S=ai-anq，即 S=：.：_】teg=q.基础学习交流1. 在等比数列an(nN+)中，若ai=1, a4=，则该数列的前10项和为().!A.2-B.2-C.2-D.2-2. 等比数列的前4项和为1，前8项和为17,则这个等比数列的公比q等于().A.2 B. -2C.2或-2 D.2 或 13. 等比数列an的公比q>0，已知a2=1, an+2

4、+an+1=6an,则an的前4项和S=4. 求等比数列1, 2a, 4a2, 8a3,的前n项和S第二层级思维探究与创新重点难点探究探究一考查等比数列的前n项和公式设数列an是等比数列，其前n项和为$,且Ss=3a3,求此数列的公比q.探究二考查分组求和法 已知an是各项均为正数的等比数列，且ai+a2=2( +)=8( + ).© 4<3 4(1)求an的通项公式；(2)设bn=.+log 2an,求数列 bn的前n项和Tn.探究三对变量的分类讨论S是无穷等比数列an的前n项和，且公比qM 1,已知1是S和$的等差中项，6是2$和3 1 JS的等比中项.(1) 求 S2和

5、S3；(2) 求此数列 an的前n项和公式.思维拓展应用应用一在等比数列an中，已知S3= , S6=，求an.应用二求数列1+ , 2+ , 3+ ,的前n项和S.应用三等差数列an中，公差dz0, a2是a与a4的等比中项，已知数列ai, a3,於，处，处， 成等比数列.(1) 求数列kn的通项kn；(2) 求数列 的前n项和S.第三层级技能应用与拓展基础智能检测1. 设S为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0,则 等于().&A 11B. 5C.- 8D- 112. 在各项都为正数的等比数列an中，首项a1=3，前3项和为21,则as+a4+a5等于().A 33B. 72C

6、 84D. 1893. 已知等比数列 an的首项为8, S是其前n项和，某同学经计算得S2=24, Ss=38, S=65，后 来该同学发现其中一个和算错了，则算错的是 ，该数列的公比是 .4. 在等比数列an中，若 a1= , a4=-4，求公比 q和 |a1|+|a 2|+ , +|an|.全新视角拓展(2013年全国大纲卷)已知数列 ®满足3an+i+an=0, a2=-，则an的前10项和等于().A.-6(1-3-10) B. (1 - 310)C.3(1 -3-10)D.3(1 +3-10)i考题变式(我来改编)：第四层级总结评价与反思思维导图构建rfiai（5=l）箋比

7、数列的五牛冷曲沖,4, 能够山其中 求另外学习体验分享第7课时等比数列的前n项和知识体系梳理问题2:一"714问题 3: a1-a 1qn问题4:基础学习交流1. B设数列an的公比为q,则q3=,二q=，二数列an的前10项和为一 =2了.i i"5" ?2. C一.=q4,所以 q=±2a 对札:3華 由 an+2+a+i=6an，得 qn+1+qn=6qn-1，即 q2+q-6=0，解得 q=2或-3(舍去)，又 a2=1，所以 ai=，2Js=_=；总24.解：t公比为q=2a,当q=1，即a=时，Sn=n；$=脚.当qz 1,即az时，贝U2陆

8、重点难点探究探究一：【解析】当q=1时，S3=3a1=3a3,符合题目条件；2当qz 1时，砸册T3a1q，因为 a1 z 0,所以 1-q 3=3q2(1 -q),即 1+q+q2=3q2，解得 q=-.!综上所述，公比q的值为1或-;1【小结】对于等比数列来讲，必须要考虑q=1和qz 1两种情况探究二：【解析】(1)设等比数列an的公比为q,则an=aqn-1, 由已知得 a1+a2=2(+ ) = 一 .，仙比=2,由屮心+"辭旷旦疝2/a3a4=8q ,又 Tai>0, q>0.恋q = Z尉二&解得:;.- l.Aan=2"1.1?=1n i(

9、2)由(1)知bn=.+Iog 2an=4- +(n-i),%2n-1Tn=(1+4+4+, +4 )+(0+1+2+3+, + 门-1)=旳+妙=打+從；44 "F T "F【小结】求和时要注意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用探究三：【解析】(1)根据已知条件:X 35s = 36,整理得.-一解得3S=2S3=6，即 TqM 1,则 Fi(l + q)=£牡(1+q+q釘二 3.可解得 q=<|, a1=4,(3S2X2S? = 36,【小结】要熟记等比数列的前 n项和公式.思维拓展应用应用一 ：TS6 2 S3, Aq 1, 一 -I 土

10、强_翌扔由*得 1 +q3=9, q=2, 代入得 a1= , an=a1qn-1=2n-2.!应用二：由题意可知，该数列的通项公式为an=n+ ,? Sn=(1+)+(2 + )+, +(n+ ) =(1 +2+3+, +n) +( + + +, + )=鬧仃+1- 24?lit ? T ?应用三:(1)由已知得(a计d) =a*a1+3d),解得&=或d=0（舍去），所以数列an的通项是an=nd.因为数列ai, a3,成等比数列，勺哑*即数列d, 3d, kid, k2d, , , knd,成等比数列，所以公比 q=3, kid=32d, 即卩 ki=9,7所以数列kn是以ki=

11、9为首项，3为公比的等比数列，故 kn=9X 3n-1=3n+1.(2) s= + + +, +，-r ? 31s= + + +, + .，由-，并整理得s=(1- )-= -.4?4 4护1基础智能检测1. D 由 8a2+as=0得 8aiq+aiq4=0,q=-2,则 =-11.2. C 由 S3=a1(1 +q+q2) =21 且a=3，得q2+q-6=0，二 q=2(负根舍去)./.a3+a4+a5=q2( a +a?+a3) =22 -S3=84.3.S2设等比数列的公比为q,若S计算正确，则有q=2,但此时38, S丰65与题设不2符，故算错的就是 S2,此时，由Ss=38可得q=或q=-;当q=时，S=65也正确；当q=-时，SLLIII1不正确，舍去.所以