【KS5U解析】广东省深圳市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

1、深圳高中联考联盟2019-2020学年第一学期期末考试试题高二数学本试卷4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2b铅笔将试卷类型（b）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2b铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和

2、涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第i卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线过点，则此直线的倾斜角是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用两点斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角.【详解】解：设直线的倾斜角为，则，故选：a.【点睛】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，考查两点斜率公式，是基础题.2.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则（ ）a. 4b. c. 2d. 【答案】a【解析】【分析】确定，利用长轴长是短轴长的两倍列式求出.【详

3、解】解：由已知，因为，则，即，故选：a.【点睛】本题考查椭圆简单几何性质，要先定位，再定量，是基础题.3.设双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析：根据题意可求得a和b的关系式，进而利用c=求得c和b的关系，最后求得a和c的关系即双曲线的离心率解答：解：依题意可知=，求得a=2bc=be=故选c4.若向量，且，则实数的值是（ ）a. b. 0c. d. 1【答案】c【解析】【分析】先求出的坐标，利用可得，代入坐标计算即可.【详解】解：由已知，由得：，故选：c.【点睛】本题考查数量积的坐标运算，其中是解题的关键，是基础题.5.与

4、圆外切，又与轴相切圆的圆心的轨迹方程是（ ）a. b. （）和c. （）d. （）和（）【答案】d【解析】圆化为，圆心，半径，设动圆的圆心为，半径为，则根据题意，且，即，当时，化简有，即，当时，化简有，即，故选择d.点睛：对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点满足定义，它到准线的距离为，则，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.另外在对方程化简的过程中注意分类讨论思想方法的应用，考查学生划归转化能力.6.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为( )a. b. c. d.

5、 【答案】d【解析】【分析】设圆心坐标为，根据圆与直线相切可求出，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程【详解】由题意设圆心坐标为，圆与直线相切，解得a=2圆心为，半径为，圆c的方程为（x2）2+y2=4，即故选d【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度7.设为等差数列的前项和，则（ ）a. -6b. -4c. -2d. 2【答案】a【解析】【详解】由已知得解得故选a考点：等差数列的通项公式和前项和公式8.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（ ）a. 若

6、，则b. 若，则c. 若，则d. 若，则【答案】c【解析】对于a、b、d均可能出现，而对于c是正确的9.设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ）a. b. c. 24d. 48【答案】c【解析】【详解】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知,所以,所以,所以.所以.故选：c【点睛】本题主要考查了焦点三角形以及椭圆的定义运用,属于基础题型.10.如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶高于水面，水面宽为，当水面宽为时，水位下降了（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，并设拱桥所在抛物线

7、为，根据题意得出点在抛物线上，可求出的值，并设拱顶高于水面，可知点在抛物线上，代入抛物线方程可解出的值，由此可得出水面下降的高度.【详解】建系如图，设拱桥所在抛物线为，点在抛物线上，得，抛物线方程为，当水面宽为时，设拱顶高于水面，由点在抛物线上，得，故水面下降了.故选：d.【点睛】本题考查抛物线方程的应用，建立平面直角坐标，将问题转化为抛物线方程来求解是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.11.数列中，已知对任意正整数，有，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先根据，得出，两式相减即可求出数列的通项公式，然后求出数列的通项公式，最后根据等比数列求和公式进行解答.【详解

8、】解：，（）-得，（）当时，满足，所以（），数列是以1为首项，4为公比的等比数列，故选b【点睛】本题主要考查了赋值法求数列的通项公式及等比数列的通项公式，还考查了等比数列前项和公式，考查计算能力，属于中档题12.已知抛物线，直线过的焦点，交于两点，且在轴上方，是的准线上一点，平行于轴，为坐标原点，若，则的斜率为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】设直线的方程为，设点，则点，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，计算直线和的斜率得知，三点共线，再由已知条件得出，代入韦达定理可得出的值，从而求出直线的斜率.【详解】解：设点，则点，如下图所示，抛物线的焦点为，设直线的方程

9、为，将直线的方程与抛物线的方程联立，得，由韦达定理得，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，三点共线，则，所以，则，得，结合图形可知，直线的斜率为正数，所以，因此，直线的斜率为.故选：d.【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题.第ii卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在正项等比数列中，则_.【答案】5【解析】【分析】利用可得结果.【详解】解：由等比数列的性质，所以（负值舍去），故答案为：5.【点睛】本题考查等比数列的性质，是基础题.14.在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为_.【答案】【解析】【分

10、析】以d为原点，da为x轴，dc为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】解答：解：以d为原点，da为x轴，dc为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，在长方体中，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查运算求解能力，是基础题.15.已知数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】由得为等差数列，利用等差数列的通项公式求出，进而可得.【详解】解：由已知得，故答案为：.【点睛】本题考查递推式求通项公式，考查观察能力，是基础题.16.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等

11、于 【答案】20【解析】【详解】三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列（）是公差不为0的等差数列，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件，代入等差数列的基本量列方程求解即可；（2）用裂项相消法求和.【详解】解：（1）设的公差为.因为成等比数列，所以，即，化简得，又，且，解得，所以有；（2）由（1）得：，所以.【点睛】本题考查等差数列基本量计算以及裂项相消法求和，考查计算能力，是基础题.18.已知圆的圆心在轴上，且经过点.（1）求圆的标准方程；（2）过点直线与圆相交于两点，且，求直

12、线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；（2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.【详解】解：（1）设的中点为，则，由圆的性质得，所以，得，所以线段垂直平分线方程是，设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，所以圆的标准方程为；（2）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；当直线的斜率存在

13、时，设的方程，即，由题意得，解得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.19.在三棱锥中，是正三角形，面面，、分别是、的中点（1）证明：；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，由等腰三角形三线合一的性质得出且，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出面，从而得出；（2）利用面面垂直的性质定理证明出平面，以为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦值【详解】（1）取的中点，连接、，且又，面，又面，；（2）由面面，平面

14、平面，平面，可得面.故以为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系：则， ，.，设为平面efc的一个法向量由，取，则， .又为面的一个法向量，由如图知二面角的余弦值为.【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.20.某企业年的纯利润为万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年（年）起每年比上一年纯利润减少万元，今年初该企业一次性投入资金万元进行技术改造，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第年（今年为第一年）的利润为万元（为正整数）（1）设从今

15、年起的前年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元（须扣除技术改造资金），求，的表达式；（2）以上述预测，从今年起该企业至少经过多少年后，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【答案】（1）， ；（2）4年【解析】【分析】（1）根据等差数列前项和公式可得的表达式，利用分组求和与等比数列前项和相结合可得的表达式；（2）作差，利用函数的单调性，即可得到结论详解】（1）依题设，；（2），因为函数在上为增函数，当时，；当时，仅当时，。至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润【点睛】本题主要考查建立函数关系式、数

16、列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题.21.在梯形中，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）线段上存在点，且【解析】【分析】（1）推导出，从而四边形为平行四边形，推导出，由此能证明平面；（2）建立空间直角坐标系，设，利用向量法能求出线段上存在点，且时，使得cq与平面bcd所成角的正弦值为.【详解】（1）证明：因为在梯形中，为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，因为线段与交

17、于点，所以为线段的中点，所以中，因为平面，平面，所以平面.（2）解：平行四边形中，所以四边形是菱形，垂足为，所以，因为平面，平面，所以是二面角的平面角，因为二面角为直二面角，所以，即.可以如图建立空间直角坐标系，其中，因为在图1菱形中，所以，所以，所以，设为平面的法向量，因为，所以，即，取，得到，所以；线段上存在点使得与平面所成角的正弦值为，设，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查满足线面角的正弦值的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题.22.已知是椭圆上的两点.（1）求椭圆的离心率；（2）已知直线过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若以为直径的圆经过点，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将a和b点的坐标代入椭圆g的方程，列出方程组求出的值，再求出和离心率；（2）由（1）求出椭圆g的方程，对直线的斜率进行讨论，不妨设直线的方程，与椭圆g的方