微分几何测试题集锦含答案-16精选文档

1、第1页微分几何测试题（一）一. 填空题：（每小题2分，共20分）1.向量N（t） =t,3t,a具有固定方向，则a= t。2.非零向量r（t）满足r,r；r的充要条件是以该向量为切 方向的曲线为平面曲线3.设曲线在P点的切向量为，主法向量为 V ,则过P由：确定的平面是曲线在P点的密切平面_。4.曲线z（t）在点r（to）的单位切向量是1,则曲线在r（to）点 的法平面方程是_。5.曲线N =Z（t）在t = 1点处有+=2，则曲线在t = 1对应的点处其挠率（1）=_ _2_。&主法线与固定方向垂直的曲线是_一般螺线_ _7.如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的

2、比是_常数_。9.曲面z =zx在点（X。，y。，z。的法线方程是第2页二. 选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是A、直线B、平面曲线C、球面曲线D、圆柱螺线12、曲线M=M（t）在P（t）点的曲率为k ,挠率为 j 则下列式子A不正确I =Edu +2Fdudv +Gdv , EG F D_。A、0B、：0 C、岂0D、一0三. 计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、 已知圆柱螺线r =：cost,sint,tf，试求在点0,1二的切线和法平面。I 2丿13、 对于曲面的第基本形式Brrr 第3页曲率和挠率。22、 对于圆柱面in，试

3、求的第一、第二基本形式；在任意点处沿任意方向的法曲率；V在任意点的高斯曲率和平均曲率；试证V的坐标曲线是曲率线。微分几何测试题(二)一.单项选择题(2 X 10=20分)1.若向量函数r=r(t)的终点在通过原点的一条直线上，则()A.r (t)是定长的；B.r(t)是定向的;C.r (t)|=1；D.r(t)|=2.2.对于向量函数r(t)，若r(t) _ r (t)，则()A.r (t)是疋长向量；B.r (t)疋长向量；C.r (t)是定向向量；D.r (t)是定向向量.3.设a,b均为非零向量，且ab二0， 贝卩()A.a, b线性相关；B .a, b线性无关；C .a可以由b线性表示

4、；D.b可以a由线性表第4页示.4.挠率.=0,曲率k = 2的曲线是()A.半径为4的圆；B.半径为-的圆；4C.半径为2的圆；D.半径为-的圆.25.空间曲线的形状由()决定第5页11A.1;B. 2；C.- ；D. 4.249.圆柱螺线r二acost,asint,bt在任一点的切线与z轴的夹角:（）A.由曲率和挠率；C.仅由挠率；6.曲率是常数的曲线（）A.一定是直线；C.一定是球面上的曲线;对.7.设S是球面，则（）B.仅由曲率；D.由参数的选取.B.一定是圆；.答案A,B,C都不C. S上的圆的1指向球心; 向球心.8.若曲面S在每一点的高斯曲率为 的球面贴合B.S上每一点是抛物点；

5、D. S上的测地线的1指1,则它可以与半径为（）第6页A.为；90B.0；C.与t有关；D.与b有关.A. C在每一点1/n;C. C在每一点/n； D. C判断题(2X 10=20分)1 .向量函数r =r t满足r t dt,r t , r t =0,则必有一常向量a, 满足a丄r t.2.如果曲线C：r訂t的所有向径共面，则F t必与某一固 定向量垂直.3.曲线的形状只由曲率和挠率决定.()4.直纹面上的直母线一定是曲率线.()5.若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为r0汀空R的 圆C相切，则C是S上的测地线.6.如果两个曲面Si与S2之间的一个对应关系，使得它们在 对应点有相同的高

6、斯曲率，则Si与S2等距等价.10.设非直线的曲线C是曲面S：r=r （u,v）上的测地线，则有B. C在每一点n;第7页7.设曲面S:r=r u,v,如果L:E=M:F,则v线是曲率线.()8.设曲面S:r=r u,v，如果L: M :N二E:F:G，则曲面上的所有曲线都是曲率线.9. 曲面上任意两点的连线中，测地线段最短.()10. 球面上的曲率线是大圆.()二.计算题(10X 4=40分)1.求曲线C:r=!at,bt2,ct3”上在t=0处的密切面方程.2.已知曲线C:r=r s(s是弧长参数)的曲率和挠率分别是 和，且是不为零的常数，求曲线C:r=s) (s)ds的T曲率和挠率.3.

7、求曲面z二xy2上的渐近线.4.求圆环面S:r= (b+acos )cos二,(b+acos )sin , asin 第8页0汀乞2二，0乞2二 上的椭圆点，双曲点和抛物点.三.证明题(10X 2=20分)1.证明：如果曲线的所有都经过一个固定点，则曲线是以固定点为圆心的圆第9页2.设C是半径为R的球面上半径为r O：rR的圆， g是曲率.证明:B单项选择题(2X 10=20分)1.设a= 1,0-3,b = -2,x,6，若a/b则()1A.x;B.x - -2;C.x=0;D.x为任意 实数.2.设曲线C：满足r (t) =1则()A. C是单位球面上的曲线；B.t是C的弧长参数；C.变向

8、量r(t)具有固定方向；D.变向量r(t)具有固定长度.3.若向量函数r = r(t)对于任意t都有r(t) =1.则()第10页A.r (t)是定向的向量； 量;C.r t r t =0；4.可展曲面上每一点都是A.椭圆点；B.r (t)是定长的向D.r t r t =0.()B.抛物点；第11页平点I八、5.若曲线C的曲率k=2=0则（）A. C是半径为2的圆；B. C是半径为1的圆;2C.C是半径为2的圆；D. C是半径为1的V2圆.6.曲面上与u线正交的曲线满足（）A.C在每一点，/n;B. C在每一点，n;C. C在每一点，1/n;D.C在每一点，1 n .8在曲面S：r=r （u,

9、v）上，u线的微分方程是（）A.dudv=0;B.du=0;C.dv = 0;D.du = dv.C.圆点;D.A.Ldu Mdv = 0;B.Edu Fdv二0;C.Ldu Ndv = 0；D.Edu Gdv = 0.7.设曲面S上一条非直线的曲线C是S上的测地线，则第12页9.若两个曲面等距等价，则（）A.它们有相同的第一基本形式；B.它们有相同的第二基本形式；C.它们有相同的第三基本形式；D.把其中一个经过连续的弯曲变形，就能和另一个贴合.10.若曲面S：r =r（u,v）上任一点，都有F二M = 0，则（）A.参数曲线网是渐近线网；B.参数曲线网是曲率线网；C.参数曲线网是测地线网；D

10、.答案A,B,C都不对.二. 判断题（2X 10=20分）1.向量函数r =r t满足r t , r t , r t = 0,则必有一常向量a，满足a丄r t.（）2.如果曲线C：r = rt的所有向径共面，则C就在通过原点的一个平面上.（）3.曲线C:r=r s与曲线C:r=：s在s=s0处有相同的曲第13页率第14页4.曲率是常数2的曲线一定是半径为丄2的圆.()5.设S是平面，则S上每一点, 都有 1=2 =0.()6.球面上的圆的指向球心.()7.可展曲面上没有 双曲占八、()8.高斯曲率30的曲面一定是某一条曲线的切线曲面.()9若曲面S与一个半径为R的球面沿一个半径为rOrR的圆C

11、相切，则S在C上每一点，沿着C的方 向，都有，| 二r.()10.两个常高斯曲率曲面一定等距等价.()三. 计算题(10X4=40分)第15页挠率.1.求曲线Cr=討,存曲畐cost的曲率和第16页2.设曲线C:r=acost,asint, f t dt堤平面曲线，求f（x）.3.求圆柱面r二Rcosu,Rsinu,v在（u0,v0）处的切平面方程，并说明，沿任意一条直母线，只有一个切平面.4.求曲面S:r=au v , b u -v ,uv1 a 0,b 0的高斯曲率.四. 证明题（10X 2=20分）1.证明：如果一条曲线C:r=r（s） （s是弧长参数）的所 有从切面都经过一个固定点，则

12、C的挠率和曲率之比是s的一次函数.2.1证明：可展曲面上的直母线是曲率线2证明：如果可展曲面S上有两族直母线，则S是平面.微分几何测试题（三）.填空题：（每小题2分，共20分）1._r*（t）具有固定方向的充要条件是_。2._挠率 的曲线其副法向量是常矢。3.曲线r二:在p（t。）点的主法向量是，则曲线在P点的从切面方程是4.如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向5._曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是_。6.曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为第17页。7.半径为R的球面的高斯曲率K=_.8.一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的_恒等于零

13、。9.曲面上_坐标网是平面上极坐标网在曲面上的推广。10.在可展曲面上，测地三角形的三内角之和_-。第18页选择填空题：(每小题3分，共30分)1、圆柱螺线x = cost,y=si nt, z=t在点(1,0,0)的切线为_X -1yzA、=B、y z =0011x -1yzC、D、y z = 01002、 曲面的三个基本形式之间的关系为_。A、川+2H II +K I =0B、川-2H H +K I =0C、川-2K H +H I =0D、川-2H H -K I =04 4443、 在直纹面r =a(u) vb(u)(b(u)为单位向量)中，导线a(u)是腰曲线 的充要条件是。A、a b：

14、=0B、ab C a b=0D、a/b4、 曲面的坐标网是正交网的充要条件是。A、M =0B、L = N = 0C、M = F = 0D、F = 05、 下列曲面中不是可展曲面。A、柱面B、锥面C、一条曲线的切线曲面D、正螺面6、 曲面上，不是曲面的内蕴量。A、两曲线的夹角B、曲线的弧长C、曲面域的面积D、在一点沿一方向的法曲率7、曲面7=r(s,t),n是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，_是 不正确的。4 4A、N =rttn9、 球面r= (Rcos cos，Rcos sin:, Rs in的坐标曲线构不成_。A、正交的渐近网B、共轭网C、曲率线网D、半测地坐标网10、 曲线；=：

15、(s)在P点的基本向量是,/,曲率为k(s)，挠率为(s)，则C、N =D、N =第19页三计算题：(1、2题各10分，3题8分，共26分)B、C、D、-亡第20页1、求螺线x=cost,y=si nt,z=t上点1,0,0的曲率和挠率。2、确定螺旋面x = ucosv, y =usinv,z =cv上的曲率线和在任一点的高斯 曲率。四证明题：（每小题8分，共24分）1证明：如果曲线的所有密切平面垂直于某个固定直线，那么它是平面曲线。微分几何测试题（四）一、填空题（每小题2分，共20分）1、变矢r（t）满足rxp=6的充要条件是_。2、曲线（C）上P点处的三个基本向量为:、 一，则过P点由和

16、确定的平面叫曲线（C）在P点的_。3、 若曲线在各点的曲率_，则曲线是直线。4、 曲线穿过_和密切平面，但从不穿过_。5、 一般螺旋线的切线和一固定方向成固定角，而它的主法线与这个固定方向6、 两个曲面间的变换是_的充要条件是适当选择参数后，它们有相同的第一基本形式。7、曲面在非直线的渐近曲线上每点处的切平面一定是渐近曲线的O9、曲面的高斯曲率为K测地曲率为可kg，G是单连通曲面域，G的边界 於 是条光滑闭曲线，则Kdb +_=2兀。G二、选择题（每小题3分，共30分）11、若曲面S上曲线（0是平面曲线，则一定有14、设o、B、帀是曲线（C）在一点的三个基本向量，则V =_（k,T分别表12、

17、在圆柱面上，圆柱螺线是。A、平面曲线B、曲率线C、测地线13在椭圆抛物面上， 咼斯曲率K。A、大于零B、小于零C、等于零A、法曲率knBC、测地曲率kgD、曲率kD、渐近线D、不确定恒等于零。、挠率T第21页示曲线在该点的曲率和挠率）第22页15、 曲面的曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是_。A、F= 0 B、M = 0 C、F = M = 0 D、L = N = 016、 曲面上的直线不- -定是_。A、渐近线B、曲率线C、测地线D、法截线19、下列直纹曲面中，_是可展曲面。A、锥面B、单叶双曲面C、双曲抛物面D、挠曲线的主法线曲面三、解答与证明题(22题、24题各9分，其余各8分)2t21

18、、求曲线r(t) = t , t, e 在t = 0点的密切平面和主法线。22、求曲线r(t) = a (1si nt) , a (1cost)，b t 的曲率和挠率。23、 证明：如果一条曲线的所有法平面包含常向量e,那么这条曲线是直线或平面 曲线。2 224、 求抛物面z = a ( x + y)在(0,0 )点的高斯曲率和平均曲率。25、证明挠曲线(C)的主法线曲面不是可展曲面。微分几何试题(五)一 填空题：(每小题2分，共20分)I1.变矢r(t)具有固定方向的充要条件是_。3._如果曲线在各点的曲率，则曲线是直线。4.曲线r =r(t)在P点有挠率 =3,则曲线r =r(t)在P点附

19、近的形状是。5.般螺线的切线和一固定方向成固定角，而它的副法线与这个固定方向。6._两个曲面之间的变换是的充要条件是适当选择参数后，_它们有相同的第I基本形式。7._曲面的第一类基本量是E、F、G,第二类基本量是2.设曲线(C的参数表示是:書(s),s是弧长，则叫作曲线(C)的第23页L、M N。则曲面上曲率线 的微分方程是_。8.在曲面上非直线的测地线除了测地曲率为零的点以外，曲线的_重合第24页于曲面的法线。9.曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的10._曲面上连接两点P、Q的是曲面上连接P、Q的曲线中弧长最短的曲线。二选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲面S上曲线（C）恒有法曲率Kn=0,则曲线一定是曲面上的_。A、渐近曲线B、平面曲线C、曲率线D、测地线12、 在圆柱面上，圆柱螺线是_。A、平面曲线B、曲率线C、测地线D、渐近线13、 在曲面上的双曲点，LN _M2_。A、大于零B、小于零C、等于零D、不确定14、 设贾甲是曲线（C）在一点的三个基本向量，则枚=_。（k,E分别表示曲线在该点的曲率和挠率）A、k_：i B、.戸C- D、弓15、 正螺面7=ucosv,u