《三角函数的应用》导学案北师版

1、1.5三角函数的应用教学目标(一 )教学知识点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明 .(二 )能力训练要求发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.(三 )情感与价值观要求1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气 .2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望 .教具重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识

2、和解决问题的能力.教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学方法探索发现法教具准备多媒体演示教学过程 .创设问题情境，引入新课师 直角三角形就像一个万花筒， 为我们展现出了一个色彩斑澜的世界 .我们在欣赏了它神秘的“勾股” 、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.下面我们就来看一个问题( 多媒体演示 ).海中有一个小岛 A，该岛四周 10 海里内有暗礁 .今有货轮由西向东航行， 开始在 A 岛南偏西55°的 B 处，往东行

3、驶 20 海里后，到达该岛的南偏西 25°的 C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的 ?与同伴进行交流.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗) .讲授新课师 我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?生 应该是“上北下南，左西右东”.师 请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.生 首先我们可将小岛 A 确定，货轮 B 在小岛 A 的南偏西 55°的 B 处， C 在 B 的正东方，且在 A 南偏东 25°处 .示意图如下 .第1页共5页师 货轮

4、要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?生 根据题意，小岛四周10 海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A 的最短距离大于10 海里，则无触礁的危险， 如果小于10 海里则有触礁的危险.A 到 BC 所在直线的最短距离为过A 作 AD BC ， D 为垂足，即AD 的长度 .我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10 海里比较 .师 这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD 如何求 .根据题意，有哪些已知条件呢?生 已知 BC ° 20 海里， BAD 55°， CAD 25°.师 在示意图中， 有两个直

5、角三角形RtABD 和 Rt ACD. 你能在哪一个三角形中求出AD 呢?生 在 Rt ACD 中，只知道 CAD=25 °，不能求AD.生 在 Rt ABD 中，知道 BAD=55 °，虽然知道BC 20 海里，但它不是Rt ABD的边，也不能求出AD.师 那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?生 我发现这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边.而且 BC 是这两个直角三角形 BD 与 CD 的差，即 BC BD-CD.BD 、CD 的对角是已知的， BD 、CD 和边 AD 都有联系 . 师 有何联系呢 ?BD生 在 Rt ABD 中，ta

6、n55°ADCD ADtan25 ° .，BD=ADtan55 °；在 Rt ACD 中，tan25° CD ，AD生 利用 BC BD-CD 就可以列出关于AD 的一元一次方程，即ADtan55 ° -ADtan25 ° 20.师 太棒了 ! 没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.下面我们一起完整地将这个题做完.师生共析 解：过 A 作 BC 的垂线，交 BC 于点 D. 得到 Rt ABD 和 Rt ACD ，从而 BD=ADtan55&

7、#176;， CD ADtan25 °，由 BD-CD BC ，又 BC 20 海里 .得ADtan55 °-ADtan25 ° 20.AD(tan55 ° -tan25° ) 20，AD=20 20.79(海里 ).tan 25tan55这样 AD 20.79 海里 >10 海里，所以货轮没有触礁的危险.师 接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.多媒体演示第2页共5页想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔CD 的高度 .他在 A 处仰望塔顶，测得仰角为

8、 30°，再往塔的方向前进 50m 至 B 处 .测得仰角为60° .那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)师 我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、 60°的仰角分别指哪两个角 ?生 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指DAC ，60°的仰角指DBC.师 很好 !请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)生 首先，我们可以注意到CD 是两个直角三角形Rt ADC 和 RtBDC 的公共边，在Rt AD

9、C 中， tan30° = CD ，AC即 ACCD在 Rt BDC 中， tan60° = CD ,tan30BC即 BCCD，又 AB=AC-BC 50 m ，得tan60CDCD- =50.tan 30tan60解得 CD 43(m) ，即塔 CD 的高度约为43 m.生 我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD 的高度时应考虑小明的身高.师 这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变， 此时塔的高

10、度为多少?你能画出示意图吗?生 示意图如右图所示，由前面的解答过程可知CC43 m ，则 CD 43+1.6 44.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.师 同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下 .多媒体演示：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由 40°减至 35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)第3页共5页请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)生 在这个问题中，要注意调整前后的梯楼的高度

11、是一个不变量 .根据题意可画示意图 (如右图 ).其中 AB 表示楼梯的高度 .AC 是原楼梯的长， BC 是原楼梯的占地长度； AD 是调整后的楼梯的长度， DB 是调整后的楼梯的占地长度 . ACB 是原楼梯的倾角， ADB 是调整后的楼梯的倾角 .转化为数学问题即为：如图， AB DB ， ACB 40°， ADB 35°， AC 4m.求 AD-AC 及 DC 的长度 .师 这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧!AB生 解：由条件可知，在RtABC 中 ,s

12、in40°AC长 BC 4cos40°m.，即 AB 4sin40°m，原楼梯占地调整后 ,在 RtADB 中， sin35°4 sin 40DB=m.tan35调整后楼梯加长AD-AC 4sin 40DB-BC=-4cos40° 0.61(m).tan35AB ，则 ADAB4sin 40m. 楼梯占地长ADsin 35sin 354sin 40-4 0.48(m) ， 楼 梯 比 原 来 多 占DC sin 35 .随堂练习1.如图，一灯柱AB 被一钢缆 CD 固定， CD 与地面成 40°夹角，且DB 5 m，现再在 C 点上方

13、 2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少?解：在 Rt CBD 中， CDB=40 °，DB=5 m ，sin40°=BC ，BC=DBsin40 °=5sin40 °DB(m).在 RtEDB 中， DB=5 m ，BE=BC+EC 2+5sin40° (m).根据勾股定理，得DE=DB 2BE 252(25sin 40 ) 2 7.96(m).所以钢缆 ED 的长度为7.96 m.2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD ，坝顶 AD 6 m，坡长 CD 8 m.坡底BC 30 m， ADC=135 ° .第4页共5页(1)求 ABC 的大小：?(结果精确到 0.01 m3)(2)如果坝长 100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料解：过 A、D 分别作 AE BC，DFBC，E、F 为垂足 .(1)在梯形 ABCD 中 . ADC 135°， FDC 45°， EF AD=6 m. 在 Rt FDC 中， DC 8 m.DF FC CD.sin45 ° =42(m). BE=BC-CF-EF=30-42 -6=24-4 2 (m).在 RtAEB 中， AE DF=42(m).tanA