勾股定理典型练习题15

1、第 1页一总 18页 勾股定理典型例题分析 一、知识要点： 1、 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形 的两直角边为 a、b,斜边为 c，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b 2， b 2= c2-a2。 2、 勾股定理的逆定理 如果三角形 ABC的三边长分别是 a，b，c,且满足 a2 + b2= c2,那么三角形 ABC是直角三 角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： 已知的条件：某三角形的三条边的长度. 满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. 得到的

2、结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角 如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、 勾股数 满足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数 或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3, 4, 5 ）（5，12，13 ） （ 6, 8，10 ） （ 7, 24, 25 ） （ 8, 15, 17 ）（9， 12， 15 ） 4、 最短距离问题：主要运用的依据是 两点之间线段最短。 考点一：利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.

3、 学优100网 www xueyoulOO. net 中小学视频课程卞载网 、考点剖析 第 1页一总 18页 2. 如图，以 Rt ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半中小学视频课程下载网 第 2页一总 18页 3 学优100网 www xueyou100+ net 圆的面积之间的关系. 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S、S、S,则 它们之间的关系是（ ） A. Si- S2= S3 B. Si+ S2= S3 C. S2+S31）,那么它的斜边长是（ ） A、2n B、n+1 C、n2 1 D n2 1 7、 在 Rt ABC 中, a

4、,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ） A. a2 b2 c2 B. a2 c2 b2 C. c2 b2 a2 D.以上都有可能 8、 已知 Rt ABC 中，Z C=90 ，若 a+b=14cm C=10cm,贝 U RtABC 的面积是（ ） A、24cm2 B、36 cm2 C 48cm2 D 60cm2 2 2 2 9、 已知 x、y 为正数，且| x -4 | + （y -3 ） =0,如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三 角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ） A、5 B、25 C、7 D 15 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高学优1

5、00网 中小学视频课程下载网 www xueyoulOO. net 第 3页一总 18页 5 学优100网 www xueyoulOO. net 中小学视频课程卞载网 例、如图 1 所示，等腰 中, 是底边 上的高，若 ,求AD 的长；厶 ABC 的面积. 第 11页一总 18页 6 考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 2 ，3，4 C. 11 ，12，13 D. 8 ，15，17 2、 若线段 a，b，c 组成直角三角形，贝尼们的比为（ ） A、2 : 3 :

6、4 B、3 : 4 : 6 C、5： 12： 13 D 、4 : 6 : 7 3、 下面的三角形中： 厶 ABC 中，/ C=ZA-Z B; 厶 ABC 中, Z A:Z B:Z C=1: 2: 3; 厶 ABC 中, a： b: c=3: 4: 5; 厶 ABC 中，三边长分别为 8，15，17. 其中是直角三角形的个数有（ ）. A. 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个 4、 若三角形的三边之比为 :1 :1，则这个三角形一定是（ ） 2迈 A.等腰三角形 B. 直角三角形 C.等腰直角三角形 D. 不等边三角形 2 2 2 2 2 5、 已知 a，b，c ABCE 边

7、，且满足（a b）（a +b -c） = 0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 &将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（） A.钝角三角形 B. 锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 7、若厶 ABC 的三边长 a,b,c满足a2 b2 c2 200 12a 16b 20c，试判断 ABC 的形状第 11页一总 18页 7 鶯豔鷲。豐中小学视频课程下载网 8 ABC 勺两边分别为 5,12，另一边为奇数，且a+b+c是 3 的倍数，则 c 应为 _ 此三角形为 _ 。 例 3:求 (1) _ 若三

8、角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是 _ 度。 (2) 已知三角形三边的比为 1 _ 3 : 2，则其最小角为 。 考点五：应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题第 11页一总 18页 8 某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中 , ，因某 种活动要求铺设红色地毯，则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 _ .学优100网 www xueyoulOO. 中小学视频课程卞载网 米, 学优100网 中小学视频课程下载网 www.xueyoulOO. net 6 第 8页一总 18页 9 3、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为 8 米，如果梯

9、子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端 的滑动距离 _ 1 米，（填“大于”，“等于”，或“小于”） 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想） 1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1米，当他把绳子的下 学优100网 中小学视频课程下载网 www.xueyoulOO. net 5 第 9页一总 18页 3 10 8 学优100网 中小学视频课程下载网 www.xueyoulOO. net 5 第 9页一总 18页 3 11 8 6、如图：有两棵树，一棵高 8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的 树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 _ 米. 7、如图 18-15

10、 所示，某人到一个荒岛上去探宝，在 A 处登陆后，往东走 8km,又往北走 2km, 遇到障碍后又往西走 3km,再折向北方走到 5km 处往东一拐，仅 1km?就找到了宝藏，问：登 陆点（A处）到宝藏埋藏点（B 处）的直线距离是多少？4、在一棵树 10 m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处；？另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外，距离以 直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？ 5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位： mm 计算 两圆孔中心 A 和 B 的距离为 RA I A ； 第5题图7 第

11、6题图 学优100网 中小学视频课程下载网 www.xueyoulOO. net 第 10页一总 18页 12 考点七：折叠问题 1 如图， 有一张直角三角形纸片， 两直角边 AC=6 BC=8 将厶 ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE 则 CD 等于（ ） 3、折叠矩形 ABCD 勺一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知 AB=8CM,BC=10C 求 CF 和 EG 4、如图，在长方形 ABCD 中, DC=5 在 DC 边上存在一点 E,沿直线 AE 把厶 ABC 折叠，使点 D 恰好在 BC 边上，设此点为卩，若厶 ABF 的面积为 30，求折叠的 A

12、ED 的面积A. 25 4 B. 22 C. D. 2、如图所示，已知 ABC 中, / C=90 ，AB 的垂直平分线交 BC?于 M 交 AB 于 N,若 AC=4 MB=2M，求 AB 的长. 第 11页一总 18页 13 5、如图，矩形纸片 ABCD 勺长 AD=9cm,宽 AB=3cm,将其折叠, 使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长是多少？ 6、如图，在长方形 ABC 冲，将 ABC 沿 AC 对折至 AEC 位置, (1)试说明：AF=FC(2)如果 AB=3 BC=4 求 AF 的长 7、如图 2 所示，将长方形 ABCDft 直线 AE 折叠，顶点 D 正好落在

13、BC边上 F 点处，已知 CE=3cm AB=8cm 则图中阴影部分面积为 . 学优100网 www.xueyou100+ net 中小学视频课程下载网 E D C CE 与 AD 交于点 F。 第 12页一总 18页 二 （）1网 中|学视频课程下载网 www xueyoulOO. net 8 如图 2-3，把矩形 ABCD&直线 BD 向上折叠，使点 C 落在 C的位置 上，已知 AB=?3 , BC=7 重合部分厶 EBD 的面积为 _ . 9、如图 5,将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E,交 BC 于 F,边 AB 折叠后与

14、 BC 边交于点 G 如果 M 为 CD 边的中点，求证：DE DM EM=3 4: 5 10、如图 2-5，长方形 ABCD 中, AB=3 BC=4 若将该矩形折叠，使 C 点与 A点重合，？贝朋 叠后痕迹 EF 的长为（） A. 3.74 B . 3.75 C . 3.76 D . 3.77 11、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD 长为 10cm,宽为 4cm 将你手中足够大的直角 三角板PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合）,在 AD 上适当移动三角板顶点 P: 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C?若能，请你求出这时 AP 的长；若

15、 不能，请说明理由. 再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B,另一 直角边 PF 与 DC 的延长线交于点 Q,与 BC 交于点 E,能否使 CE=2cr?若能，请你求出这时 AP的长；若不能，请你说明理由. 学优100网 中小学视频课程下载网 www.xueyoulOO. net 第 13页一总 18页 15 12、如图所示， ABC 是等腰直角三角形，AB=AC D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB AC 边上的点，且 DELDF,若 BE=12 CF=5.求线段 EF 的长 13、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且

16、/QPN= 30 ，点 A 处有一所中学，A= 160m。 假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行 驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h, 那么学校受影响的时间为多少秒? 考点八：应用勾股定理解决勾股树问题 1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中第 11页一总 18页 16 2、最大的正方形的边长为 5,则正方形A, B, C, D 的面积的和 为 _ 2、已知 ABC 是边长为 1的等腰直角三角形，以 Rt ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰

17、 ADE,依此类推， 是 . 考点九、图形问题 1、如图 1,求该四边形的面积 2、如图 2,已知，在 ABC 中, Z A = 45 , AC= ,：2,AB=3+1,则边 BC 的长为 _ 学优100网 www.xueyou100+ net 中小学视频课程下载网 Rt ACD 再以 Rt ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 第 n 个等腰直角三角形的斜边长 12 13 Rt 第 11页一总 18页 17 3、某公司的大门如图所示,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中 AB =2.3 m,BC =2m ,现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5 m ,宽为 1.6

18、 m，问这辆卡车能否通中小学视频课程卞载网 第 15页一总 18页 学优100网 www xueyoulOO. net 过公司的大门？并说明你的理由 4、将一根长 24 cm的筷子置于地面直径为 5 cm ,咼为 12 cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子 外面的长为 h cm，则 h 的取值范围 5、如图，铁路上 A B两点相距 25km C、D 为两村庄，DA?垂直 AB 于A, CB 垂直 AB 于 B, 已知 AD=15km BC=10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E,使得 C、D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站建在距 A 站多少千米处? 考点十：其他图形与直角

19、三角形 如图是一块地，已知 AD=8m CD=6rpZ D=90 ，AB=26m BC=24m 求这块地的面积。 :与展开图有关的计算 1、如图，在棱长为 1 的正方体 ABCA B C D的表面上，求从顶点 距离.題R图） 游23腿 学优100网 中小学视频课程下载 www xueyoulOO. net 第 16页一总 18页 19 2、如图一个圆柱，底圆周长 6cm 高 4cm 一只蚂蚁沿外壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最 少要爬行 cm 3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状， 目前正在全国各地农村进行电网改造, 某地有四个村庄 A B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架 设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案 考点十二、航海问题 1 一轮船以 16 海里/时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/时的速度从 A 港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距 _ 里. 2、如图，某货船以 24 海里/时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60的方向上。该货船航行 30 分钟到达 B 处，此时又测得该岛在北 偏东 30的方向上，已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该