专题10圆锥曲线综合问题专项训练解析版

1、I221 .已知双曲线C与椭圆亦+y9 = 1 有相同的焦点，并且经过点n_IU-直线I:y=kx 1 与C的左支有两个相异的公共点，求k的取值范围.【答案】见解析2故双曲线的标准方程为4 2= 1. II _1一y=kx 1,由x2y2412=1p3宀 0,2 2 2A= 4k+ 52(3 k) = 156 48k0,2kX1+X2= 3k2023)2=1(ab0)的右焦点为F(1,0)，且点P1,2在椭圆C上，O为_r-r专题 10 圆锥曲线综合问题(专项训练)2 2x y【解析】(1)依题意，双曲线C的焦点坐标为 R( 4,0) , H(4,0)，设双曲线的标准方程为a2b?= 1(a0

2、,l_lLJb0)，则 2a=a2= 12.lL1_1_5+ 42+ 3 322+ +2J- 5 42+ 3 32= 4,即卩a= 2,又因为c= 4,所以b2=c222U- 1-1_I-(1)求G的标准方程;n_ r._n5空2，U得(3 k2)x2+ 2kx- 13= 0,设该方程的两根分别为xi,X2,则解得；3k0,所以k4,则Xi+X2=黍+3,xiX2=冢+3因为/AOB锐角，所以OA OB_- i- 1IEZ42 20，即xiX2+yiy2 0,所以xiX2+ (kxi+ 2)(kx2+ 2) 0,所以(i +k)xiX2+ 2k(xi+X2) + 4 0,即(i +k) 4+3

3、1 Inr ri nnnnn nn 1-2k qk?1；” 40,解得kv4.又k4，所以1vk4，解得,3k g 或 2b 0)过点Pa b|_| |_|n_n_, i ,点F是椭圆的右焦点. 3L(1)求椭圆方程;是否存在x轴上的定点D,使得过D的直线I交椭圆于A B两点设点E为点B关于x轴的对称点，且A,F,E三点共线？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】 见解析【解析】(1)将圆M的一般方程x2+y2 6x 2y+ 7= 0 化为标准方程为(x 3)2+ (y 1)2= 3,圆M的圆心:I:x为M3,1)，半径为r = 3.由A(0,1) ,He,0)(c=Q a2 1

4、)得直线AF：-+y= 1,即x+cyc= 0.由直线AF c2与圆M相切得13+：C|=v 3.所以c=2 或c= 72(舍去).所以a=73，所以椭圆C的方程为弓+y2=VC+ 131.x=my t,my+ t,联立x2y2+= 1,43消去x,得(3 吊+ 4)y2+ 6mty+ 3t2 12 = 0,所以6mtyi+y2=3FT+ 4，23t 12yiy2= 3m+ 4，A 0.所以FE= (x2 1, y2),FA= (x 1, y，则由A,F,E三点共线，得(X2 1)y1+ (x 1)y2= 0,即“ 2(my+t 1)y1+ (my+1 1)y2= 0,即 2myy2+ (t

5、1)(y1+抽=0,所以 2m-+十(t 1) +4 = ,解得t= 4,所以存在定点D(4,0)满足条件.5.如图，已知椭圆C：y2= 1(a 1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M x2+y2 6x 2y+ 7= 0相切.(1)求椭圆C的方程；n_n若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P, Q两点，且AP- AQ=0,求证：直线I过定点，并求出该定点N的坐标.【答案】 见解析f f证明：由AP- AQ=0 知APL AQ从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+I-51x2221，直线AQ的方程为y=kx+ 1(k丰0)，将y=kx+ 1 代入椭圆C的方程

6、3+y= 1 并整理，得(1 + 3k)x+2-6kx=0,解得x=0 或x=-1:亡因此P的坐标为一_6；k2，-1+k3k2+1,即2式中的k换成-1得Qk身3，：2-3.所以直线I的方程为y=直线I的方程为y=k4-1x-2.因此直线I过定点NO， 2 .k2+31+3k26k6kk2+31+3k211Ik2- 31-3k216k1 - 3k1 + 3k2, 1 + 3k21 1 16kk2- 32+2.将上x2 2y x6. (2019 湖南师大附中期中)已知椭圆 C：?+泾=1(ab0)的短轴长为 2，且椭圆C的顶点在圆M x厂* I_1_1 i_i+y2=1上.D u1(1)求椭圆

7、C的方程;过椭圆的上焦点作相互垂直的弦AB CD求|AB| + ICD的最小值.【答案】 见解析【解析】(1)由题意可知 2b= 2,b= 1.又椭圆C的顶点在圆M上，贝U a= 2，故椭圆C的方程为；+x2= 1.(2)当直线AB的斜率不存在或为零时，|AE| + |CD=3-S;当直线AB的斜率存在，且不为零时，设直线ABy=kx+ 1,的方程为y=kx+ 1，A(X1，y，0X2，y)，联立y222+x= 1,消去y，整理得(k2+ 2)x2+ 2kx- 1 = 0,则X1+X2皋，X1X2 吕，故 |AB=Rr(X1+X2)2-4X1X2=半丁.同理可得 |2 2(k+1)，所以 |AB+1CD=6、/2(k2+ 1)2k2+ 1d l_l L6 2t2(2t- 1)(t+ 1)n1 12-f1+f2(2k2+ 1)(k2