微分中值定理中辅助函数的构造方法

1、科技信息高校理科研究例炎微分巾值定理由辅助函数的构造方法盐城师范学院数学科学学院左飞摘要】函数是进行科学研究和解决实际问题的必要工具之一，在数学证明中，尤其在微分中值定理中的证明及应用中，经常要构造辅助函数。作为一种解题的技巧，用辅助函数解决问题是常用的方法。本文归纳总结了微分中值定理中构造辅助函数的几种基本方法。关键词辅助函数原函数法构造法引言辅助函数是解决很多数学问题的有效工具，如何才能找到合适的辅助函数，许多教科书和教学参考书中常常是直接给出辅助函数。只要对这一类问题深入分析，就可以找出它们的一般规律。例如：拉格朗日中值定理与柯西中值定理的证明都使用了辅助函数的方法。构造辅助函数的方法很

2、多，构造出的辅助函数也可以有各种不同的形式。本文以分析与证明微积分中几个典型的例子来说明如何寻求辅助函数的几种常见方法。原函数法在利用微分中值定理（尤其是罗尔定理）求解介值（或零点）同题时，要证明的结论往往是某一个函数的导函数的零点，因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数，其步骤可以总结为：（）将要证结论中的（或）换成茹；（）通过恒等变换，将结论化为易积分（或容易清除导数符号）的形式；（）用观察法或凑微分法求出原函数（必要时，可在等式两端同乘以非零的积分因子），为简便起见，可将积分常数取为零：（）移项，使等式一边为零。则等式的另一边即为所需的辅助函数。例设函数）在【，：连续以），（）。证明

3、存在手（。，），使得知）蛾）。于是，分析一踟以皲瓣知。端单，哦石记，协）且竺茹旬并对茹）在【，】上应用罗尔定理。再证由于）二二一）项）啦朐，所以荆在处右连续。而石）在（，】上连续是显然的。因此唯）在【，】上连续。此外，髫）在（，）可导。且，（），只）（）因此由罗尔定理知，存在乎（，），使得，亭伽塑二丝鲨，毫，即）如句话）。例若函数，在：连续。在心）内可微，且刷邪）曲，证明存在一点（皿），使人手）可。）。分析将结论中的换成菇，有，（膏）厂（并）。问题关键在于如何将上式的左边换成某一函数因此可设辅助函数（并）的导数形式。而等式左边不是某个函数的导数，因此可以联想到所学的函数只有的导数是其本身。则不

4、妨在上式的两边同乘以矿，得到纷）玎），则【）】。即可以确定辅助函数）巧耳）。证令，（善）颤髫），显然，）在心】上连续。在（仃，）内可导，且风口）州），满足罗尔定理的条件，所以在池）内至少存在一点（），使。）。即。售）锁）毛，消去，则有，）。总结罗尔定理的许多应用问题中，常常会遇到诸如求证至少存在一点宇（，），使（）（抓亭）皓）（）将式中的改为省得（茗）状茹）：协），（）则（）是一个一阶微分方程。若扛）和以）是连续函数，则（）的通解为）：（咖。出。）。，卅，即似）。一鼬妇。取，则）一）“一，由此，若要证明结论（）。只要构造辅助函数瞰）：）一瞰）一伽）。伽）。出出即可。中值定理法利用辅助函数来解决

5、问题是高等数学中一种“高明”的方法。而对这一我们不太熟悉的思维方式。却可以通过拉格朗日定理的证明使我们得以认识，并从中揣摩其构造方法以及证明方法入手点。不管最初定理证明时是否如此引入辅助函数，但这几种入的方法却引导我们去思考、去设想、去判断、去验证，从而合理模拟，从中体会到数学证明新的创意。例设，在【，】上连续，在（，）内可导，且，。任），求证存在，“），使得，售）与知。（，）。分析待求的有，田两个，先固定一个譬如，问题归结为，。倍）与警了似），即矿皓）（彬伽）。在似）中存在解删对方程的两边关于茗积分得皓）商声（神，伽）出。即皓）（口）（口）以）了口）。删血挫掣哗磐。这样可得以下证明。证根据拉

6、格朗中值定理。在（口，）中存在亭，使得，售）掣笋（）掣。字。一口一一再根据柯西中值定理知，存在，（口，），使以§笾垒）；垃于是得皓）罢警了（，）。以上构建辅助甬数的方法在一类证明题中应用非常广泛，并且行之有效，值得一用。在应用该方法构建辅助函数时应注意以下两点：（）如果在所证的等式中只有一个变量只要对照公式，找出）和（），计算出辅助函数即可；（下转第页）一高校理科研究图光电耦合器工作原理图门电路门电路选用公司生产的管。管的英文全称叫（），即金属氧化物半导体型场效应管属于场效应晶体管中的绝缘栅型。因此，管有时被称为场效应管。在一般电子电路中，管通常被用于放大电路或开关电路。、程序编写程

7、序设计内容打开开关后，每隔的时间输出一个持续信号。其中包括两部分输出口：（）芯片接口的输出；一（）单片机接口的输出；对于两组信号的输出，我们分别用两组循环。第一组循环是通过口控制外部扩展芯处的信号输出，一共有二十四个口，我们加入循环变量（）。第二组循环是单片机口直接输出，一共有八个口，我们加入循环变量图程序框图如图所示为程序的框图，其中为循环输出，为单片机循环输出。、结束语本文介绍了一种三十二路连续电点火触发装置的设计方案，从以上的方案中我们可以发现，该装置，抗干扰性好，可靠性高，可以实现点火触发时间的严格控制。参考文献【施荣，祝嘉喜，桑建平电子式同步移相触发点火装置的研制高压电器，【高卫东。

8、辛友顺，韩彦征单片机原理与实践北京：北京航空航天大学出版社。（啪）。程序框图（上接第页）（）如果待证的微分等式含有多个变量，可以先固定其中的若干个变量，然后再用类似的方法构造辅助函数。旨÷六日中值定理知，存在点茹。（，），使得（），）（鲫），即（）南瑙由于）在【，】上连续，在停，）内可导，所以由拉格朗日即侧证明不等式差万旦孟一缸，行）。上）“。中值定理知，存在点施（手，），使得贝）了皓）可（施）（），证令）。），剐，）生粤。当口，时，显然，协）在【，】上满足拉格朗日定理条件，所以在，）内至少存在一点，使得上，综合（）（）可得。，。协，。而：，一。（）（）。一口“一乞等【一（肘）】粤）

9、；（）生毕生了一。，、”亡（肘）则综合（）和（）知原不等式成立。，口。矿例设函数）在【。】上连续。在（，）内可导，且（）贝）。试证明本文归纳总结了微分中值定理中构造辅助函数的原函数法、中值定理法这两种基本方法和一般规律。构造辅助函数没有什么万灵的方法，它是一种创造性的思维过程，具有较大的灵活性。运用基本的数学思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出辅助函数是解题的关键。“辅助函数法”是微积分学里经常用来证明等式和不等式的霞要方法，但是如何作辅助函数，这是解题的关键，也是高等数学的重要而常用的数学思维的体现。将一般的过程转化为特殊，将复杂问题化为简单问题。除了以上的方法外，根据问题的不同还有很多

10、其他的一些辅助函数的好方法值得我们进一步研究。参考文献【】钱昌本高等数学解题过程的分析与研究【】北京：科学出版社。【装礼文数学分析中的典型问题与方法【】河北：高等教育出版社。【】熊惠萍引进辅助函数的一个方法介绍江西教育学院学报】，（）【陈传璋，金福临，朱学突，欧阳光中煽数学分析【】上海：高等教育出版社【】江泽坚，昊智泉，周光亚合编教学分析【】北京：人民教育出版社，【陆征一微分学基本定理论证的积分辅助函数法高等数学研究。，（），（）存在点（，），使得彤）；（）存在点，（，），尹打厂去了。分析（）利用连续函数的截止定理证明存在点（，），使得艄；（）在区问【，胡和【，】上分别应用拉格朗日中值定理即可

11、证得存在点菇，砘（。），使南南哦，伽。）。，：）证（）由于）在（）上连续，所以由连续函数的介值定理知，对（，）。使得彤）。（）于）在【，翱上连续，在（，）内可导，所以由拉格朗一加一 例谈微分中值定理中辅助函数的构造方法作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期：被引用次数：左飞盐城师范学院数学科学学院科技信息（学术版）SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2008，""(210次参考文献(6条1. 钱昌本 高等数学解题过程的分析与研究 19992. 裴礼文 教学分析中的典型问题与方法 19933. 熊惠萍 引进辅助函数的一个方法介绍期刊论文

12、-江西教育学院学报 2002(024. 陈传璋. 金福临. 朱学突. 欧阳光中 数学分析 19885. 江泽坚. 昊智泉. 周光亚 数学分析 19786. 陆征一 微分学基本定理论证的积分辅助函数法期刊论文-高等数学研究 2003(04相似文献(8条1.期刊论文 李国成. LI Guo-cheng 利用微分中值定理解题中辅助函数的构造 -江西教育学院学报2009,30(6文章介绍了常用的微分中值定理:罗尔定理、拉格朗口中值定理、柯西中值定理,论述了利用这三种定理在解题过程中辅助函数构造的常用方法:原函数法、常数K值法、利用函数增量构造辅助函数.2.期刊论文 王玲. 赵敏 高等数学中辅助函数的构

13、造方法 -黑龙江科技信息2008,""(14辅助函数在高等数学中有着广泛的应用,总结了三种常见的构造辅助函数的技巧零值定理法、原函数法和常数值法.3.期刊论文 常兴邦. 李娜. CHANG Xing-bang. LI na 辅助函数的构造方法及其应用 -商丘职业技术学院学报2009,8(2我们将主要介绍构造辅助函数的四种典型方法:参数变易法,原函数法,常数K值法和微分方程法.这四种方法在证明不等式和证明有关介值(或零点存在性问题有极其广泛和重要应用.4.期刊论文 陈小亘 浅析辅助函数的构造及应用 -湛江师范学院学报2009,30(6阐述了辅助函数的基本特征与构造辅助函数的原

14、则,并介绍几种较为典型的构造辅助函数的方法应用.5.期刊论文 孙立群 微分中值定理中构造辅助函数的原函数法 -太原城市职业技术学院学报2008,""(1微分中值定理是微分学的基本理论,在证明拉格朗日中值定理与柯西中值定理时都要作辅助函数,然后再利用罗尔中值定理加以证明.利用寻找原函数构造辅助函数的方法证明微分中值定理及求解证明题.6.期刊论文 尹必华 运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法 -高等函授学报（自然科学版）2002,15(6本文给出了构造辅助函数的三种特殊方法,通过实例分析拓宽了用中值定理证明等式或不等式的思路.7.期刊论文 惠凤莲 关于Lagrange中值定理证明的探讨 -纺织高校基础科学学报1999,12(3探讨了Lagrange中值定理证明中辅助函数构造方法.用几何直观