数值分析考试复习总结

1、第一章1误差相对误差和绝对误差得概念 例题：当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时，一般要经历哪几个阶段？在 哪些阶段将有哪些误差产生？答：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果在这个过程中存在一下几种误差：建立数学模型过程中产生：模型误差参数误差选用数值方法产生：截断误差 计算过程产生：舍入误差传播误差6 设a 0.937关于精确数x有3位有效数字， 计f (a)对于f(x)的误差和相对误差.解a的相对误差：由于12估计a的相对误差.对于f(x),估|E(x)| x a10 3Er(x)Er(x)10 22 918 10 2(Th1)f(a)对于f(x)的误差和相对误差.|E(f)|W

2、'1 x 71 a| =| Er(f)| 104 10 3=102 0.252有效数字基本原则:1两个很接近的数字不做减法：2:不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)例题：4.改变下列表达式使计算结果比较精确：(1)11 x对| x1 2x1 x '(2)Jx x '卜7'对x(3)1 cosx对x0，|x|1x1)2x7(1 x)(12x).(2)1 cosxsin2 xsin x11；11 cosx解x x(1 cosx)1；x 1 xJx l/x) 第二章拉格朗日插值公式（即公式（1）插值基函数（因子）可简洁表示为其中：n（x）jn(X Xj ),0n

3、xi(XiXj).n=1时，线性插值公式P(x) yo(X X1)(X0 X1 )yi(X X0)(X1 X0)n=2时，抛物插值公式牛顿（Newton）插值公式由差商的引入，知（1）过点X0 , X1的一次插值多项式其中(2)过点X0,X1,X2的二次插值多项式为重点是分段插值： 例题：1.利用其中解：方法一可得:由Lagrange 插值公式L3（x）X2(x 1/2)-101/21-3-1/201-101/21-3/2001/2Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）方法二.由L3（1)1L3（1） 2，定AB （称之为待定系数法）15.设 f（X）距节点，且32

4、X2，求f（x）在区间0,1上的分段线性插值函数fh（x），并估计误差，取等h 1/10.f (X)X2，Xiih ， i 0,1,10， h *0设xixxi 1 ，贝U:误差估计:|f(x) fh(x)|riXmxax(X ih)(x (i 1)h).第三章最佳一致逼近:(了解)最佳平方逼近 主要分两种情形:1.连续意义下在空间L2a,b中讨论2.离散意义下在n维欧氏空间Rn中讨论，只要求提供f的样本值1.最佳逼近多项式的法方程组设 L2a,b的 n 1 维子空间 Pn=span1,x,x2, xn,其中1,x,x2 ,xn是L2a,b的线性无关多项式系.(fL2a,b，设其最佳逼近多项式

5、*可表示为:*, ) 0,Pnj0(xi,xj)a* (f小 i 0(1)n(*2)n a*xii 0其中称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组(或正规方程组)由xiin0的线性无关性，可证明G正定，即 上述法方程组的解存在且唯一.11、求f (x) cos x ， x 0,1的一次和二次最佳平方逼近多项式. 解： 设 P1*(x) a0 a1x ， p2 (x) b0 b1x b2x2分别为f(x)的一次、二次最佳平方逼近多项式。内积(f, g) : f(X)g(x)dx计算如下内积:(1,1)1 ,(1, x) %(lx2)13(X,x)%(x, x2)z 22 (x , x )(1, f

6、)(X, f)(x2, f)公式特点：节点预先给定，均匀分布，系数wi, i0（1）n待定建立法方程组:ao(1)12a1于是12a0P1*(x)（%）a1,得:a。122,a1242A2解得:2bo3b012b0 23b14b1b15b22422,b2 0 ,于是:P2(x)12224x.第四章?常用哪些公式，方法？Simpson复化求积公式.定义若求积公式baf(x)dxnwi f (xi)( * )对所有次数i 0m的多项式是精确的，但对m1次多项式不精确，则称（*）具有m次代数精度。1为什么要进行数值积分 答：梯形复化求积公式和2:方法好坏的判断：代数精度误差分析1.代数精度的概念等价

7、定义若求积公式（* ）对1, x, x2, xm是精确的，但对xm 1不精确，则（* ）具有m次代数精度。3:误差1等距剖分下的数值求积公式：利用插值多项式Pn（x）近似代替f（x），即得插值型求积公式Newton-Cotes公式Gauss2给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式:求积公式公式特点：系数wi,i 0（1）n和节点xi,i 0（1）n均待定3分段插值多项式n（x）近似代替f（x）（分段求积）复化求积公式复化求积公式通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值分而治之： 分段+低次求积公式称为复化求积法两类低次（n 4）求积公式:1. Newton-

8、 Cotes 型：矩形、梯形、Simpson、Cotes 公式分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式2. Gauss型： 一点、两点、三点 Gauss求积公式称为复化一点、两点、三点 Gauss公式复化梯形公式（Tn）f (xn 1) f(Xn)复化Tn 2 f(x。)f(X1)f(X1)f(X2)hn 1-f (a)2 f (Xk) f (b),2k 1辛甫生公式：（每个ek上用辛甫生公式求积）Sn 66f(a)f (Xo) 4f(X1)f(X1) f (X1)2f (Xn 1)4 f (Xn *) f (Xn)nn 14 f(xk 1)2 f (Xk) f (b)k 12k 1(X3)

9、 f(X2)2其中 hba , xk 1/2为ek的中点n复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。常采用其等价形式:复化柯特斯公式b a其中，h , xk 2为Xk 1,Xk的中点,n2xk 1，xk 3为Xk 1,X订的四等分的分点自适应复化求积法计算时，要预先给定n或步长h，在实际中难以把握因为，h取得太大则精度难以保证，h太小则增加计算工作量.自适应复化梯形法的具有计算过程如下:步 1 n 1,h b a, T1|_-f(a)f(b)判断|T2 Ti |?若是，则转步5；n 2n ,hh/2, TiT2，转步 2；1：常用方法：(1).直接解法：Gauss第五章逐步(顺序)消去法、 Gau

10、ss 主元素法、矩阵分解法等；(2).迭代解法：构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解 .经典迭代法Jacobi 迭代法、Gauss Seidel迭代法、逐次超松弛(SOR迭代法等； .Krolov子空间的迭代法根据A的对称性，又分为： A对称正定共轭梯度法A非对称BICG 、GMRes最小残量法) .解一类特定背景问题的迭代法多重网格法2:几类迭代法优缺点比较：3:迭代方法目标:求解Ax b 其中，A非奇异。基本思想:把线性方程组Ax b的解X ,化为一个迭代序列极限解关键：构造迭代序列所满足的公式：迭代格式。构造迭代格式基本步骤：1 .将A分裂：A: B C，其中，B非奇异2.构造迭代格式其

11、中G B 1 C，称之为迭代矩阵,g B 1b其中，bAx(k% x(k)的残余向量此时，GB 1A,1b常用的迭代方法将A (aj)分裂为a 120a In其中0a 21a n1an ,n 1a n 1,n0Jacobi迭代方法若aii0，迭代格式x(k 1)GJx(k)其中Jacobi迭代矩阵:Gj1(LU)式可写为分量形式x(k1) a-b'aijX(k), k0.(*1)方法(*1 )或称为Jacobi迭代方法.Gauss Seidle迭代方法若aii 0，迭代格式x(k 1)Gg x(k) g其中,Gauss-Seidel迭代矩阵：Gg(DL) 1U其分量形式(k 1)1 亠

12、Xi baii1(k 1)aijXj1(k)aij Xj , i 1,2, ,n.1(*2)即,在计算新分量Xi（k1）时，利用新值才1）, j 1,2, ,i1。迭代法（*2 ）或称为Gauss-Seidel迭代方法。超松弛方法（SOR）方法定义SOF方法的迭代格式如下:7 (k 1)zi1i 1I r _(kbia ij X ja iij 11)(k)Ta ij X j,1(k 1)XiZi(k 1)(1 (k)Xi1,2,n(*3)称为松弛因子,1即为GS方法.其矩阵形式其中,SOR 法的迭代矩阵：G(D L)1(1)DUg (D L) 1b .第七章1:解非线性方程与方程组的方法：1.

13、准确方法如：用求根公式对n 4次的代数多项式求根。5次的代数多项式并无求但：绝大多数的方程并无准确方法可用。如： 根公式。2. 数值方法（实际中大多采用）基本思想：设法找到一个能收敛到方程的解的序列。（1）.区间套法一一二分法。（2）.迭代法：.Newton迭代法;.简单迭代法；®.加速算法。2:收敛条件： 二分法无条件 简单迭代法条件:定理1如果 （X）满足以下条件：1)X a,b,(X)a,b;2)常数L: 0 L 1,使得对任意两点x1,x2a,b,都有(X1 )(X2)LX1 X2 ,则：方程（*）在a,b上的解 存在唯一，且对任给的初值X0,由迭代过程（* *）所产生的序列

14、Xk收敛到例题：2.为求方程X3建立相应的迭代公式：（1）（2）（3）X3X2XX2 1 0 在 X01.5附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并1 1/X2，迭代公式1 X2，迭代公式1/（x 1），迭代公式XnXn 1Xn 111/X2(1 x；)1'3，11/(Xn 1)1/2试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快?解：取X01.5的邻域1.3, 1.6来考察(1)（X）11/X2（X）2/X32/1.330.901 1，故迭代公式（1）收敛.（X）(1 X2)%,(X)2x/3(122/3iX )2 1.6/3(1 1.32)2/3 0.5515,故迭代公式

15、（2）也收敛。（X）1/（x1)1/2故迭代公式（3）发散.由于（X0）越小，越快地收敛于根，故（2）式收敛最快。第八章解一阶常微分方程的常用方法：Euler方法Run ge-Kutta 方法2阶常微分方程边值问题的差分方法1.三类边值问题）第一类边值问题:y (X) f (x,y(x), y (x), a(3.1 )y(a)y(b) 。(3.2)）第二类边值问题:y (X) f (x,y(x), y (X),(3.3)y (a)y(b)(3.4)3 )第三类边值问题:y (x)f (x,y(x), y (x),(3.5 )y (a)oy(a)1, y(b)0y(b)(3.6)其中,0, 00

16、,0002.差分格式的建立针对方程(3.1 )而言.Step 1取a,b的离散节点：aX0X1Xn b,第步步长hmXm Xm1, 一般可取等步长：hm h , m 1,2, N.Step 2 将y (Xm)用二阶差商、y (Xm)用一阶差商近似:y (Xm)y(Xm i) 2y(Xm)y(Xm l)y (Xm)h2m 1,2,y(Xm1) y(Xm 1)2h1,2,理由：由Taylor两式相加得展开，有y(Xm) g2y(Xm) y(Xm 1)h21,2, N 1其中， Xm 1 mXm .两式相减得y(Xm) WXmJ WXmJ2hh27y(m), m 1,2, N其中,Xm 1m Xm .Ste p 32略去O(h )项，并记ym y(Xm),则由方程(3.1)有：(3.7)所以得到第一边值问题(3.1)-(3.2) 的差