【KS5U解析】北京市延庆区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析

1、延庆区20192020学年第二学期期末试卷高二数学第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设全集，集合，则集合（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据补集以及并集概念直接求解.【详解】因为，所以，因为，所以故选：a【点睛】本题考查集合的补集与并集，考查基本分析求解能力，属基础题.2.焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根据焦点位置确定抛物线方程形式，再根据焦点到准线的距离确定结果.【详解】因为焦点在轴的

2、正半轴上，所以抛物线的标准方程可设为，因为焦点到准线的距离为，所以故选：d【点睛】本题考查抛物线标准方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3.已知向量，.若，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算，求得，再求即可.【详解】解：因为，所以，所以，所以.故选：c.【点睛】本题考查向量垂直时的坐标运算，向量模的求解，是基础题.4.设，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可比较大小.【详解】，由，所以，所以.故选：b【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题.

3、5.在下列函数中，定义域为实数集的奇函数为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】分析】利用奇函数定义进行验证可得.【详解】选项a:定义域为,满足 所以是奇函数；正确选项b:定义域为,满足 所以是偶函数；排除选项c:定义域不为,排除；选d:定义域为, 所以是非奇非偶函数；故选：a【点睛】本题考查函数奇偶性问题.其解题思路：常利用函数奇偶定义或图象关于原点对称进行判断6.圆截轴所得弦的长度等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】在圆方程中令，解得，即可求出弦长.【详解】在圆方程中令，得因此弦长为故选：a【点睛】本题考查圆中弦长，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知

4、两条不同的直线和两个不同的平面，下列四个命题中错误的为（ ）a. 若，则b. 若，则c. 若，且，则d. 若，则【答案】d【解析】【分析】根据线面平行性质定理以及面面垂直判定定理判断a; 根据平面法向量判断b;根据线面平行判定定理与性质定理判断c;根据线面位置关系判断d.【详解】若，则,因为，所以，故a正确；若，所以法向量相同或平行，因为，所以，故b正确；若，则；若，则,所以，进而有，又，所以，则，故c正确；若，则或，故d错误；故选：d【点睛】本题考查线面位置关系判断、线面平行判定定理与性质定理、面面垂直判定定理，考查空间想象能力以及判断能力，属基础题.8.已知函数，则“在上单调递减”是“”的

5、（ ）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】b【解析】【分析】先根据在上单调递减确定，再根据范围包含关系确定充要关系.【详解】因为，且在上单调递减，所以即从而因为是必要而不充分条件，所以“在上单调递减”是“”的必要而不充分条件，故选：b【点睛】本题考查充要关系判断、由三角函数单调性求参数范围，考查基本分析求解判断能力，属基础题.9.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象的函数解析式为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先根据题意做平移变换，再利用诱导公式进行化简即可.【详解】由题意知，将函数的图象向左平移个单位长

6、度得，所以函数解析式为：故选d【点睛】此题主要考查三角函数图象的变换平移，属于中低档题，也是常考考点.在此类问题中，由函数沿着轴向左平移个单位时“左加”，向右平移个单位时“右减”，即可得函数的图象；沿着轴向上平移个单位时“上加”，向下平移个单位时“下减”，即可得函数的图象.10.已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：对任意的，且，都有；是偶函数；若，则， 的大小关系正确的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由可得函数在上单调递减；由可得函数的周期；由由可得函数的图象关于对称，从而可比较大小【详解】因为对于对任意的，且，都有，即函数 在上单调递减； 由可得函数的周期；由是

7、偶函数可得函数的图象关于对称， 所以， 所以， 则 故选：c【点睛】本题主要考查了函数的单调性，周期性及对称性在比较函数值大小中的应用，属于中档试题第卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知复数，则_.【答案】【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可求得.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查复数的模的计算，同时也考查了复数的除法，考查计算能力，属于基础题.12.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】根据离心率公式和双曲线的的关系进行求解【详解】由题知：，双曲线的渐近线方程

8、为故答案为【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质13.数列中，. 若其前项和为，则_.【答案】5【解析】【分析】根据等比数列定义确定数列为等比数列，再根据等比数列求和公式列式求结果.【详解】因为，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列，因此其前项和为故答案为：5【点睛】本题考查等比数列定义、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14.在中，则边上的高等于_.【答案】【解析】【分析】先根据余弦定理求，即得，再根据直角三角形求边上的高.【详解】边上的高为,故答案为：【点睛】本题考查余弦定理、同角三角函数平方关系，考查基本分析求解能力，属基础题.15.已知函

9、数： 函数的单调递减区间为； 若函数有且只有一个零点，则； 若，则，使得函数恰有2个零点，恰有一个零点，且，.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据绝对值定义分类讨论函数单调性，即可判断；结合函数图象以及利用导数求切线斜率可判断；根据函数图象得，即可确定，进而可判断.【详解】当时单调递增；当时单调递减，所以函数的单调递减区间为；即正确；由图可知分别与以及相切时，有且只有一个零点，设与切点为，因为；同理可得与相切时，因此错误；由图可知,则，所以正确；故答案为：【点睛】本题考查函数单调性、函数图象与零点、导数几何意义，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.三、解答

10、题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知是公差为的无穷等差数列，其前项和为. 又，且，是否存在大于的正整数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】存在，8【解析】【分析】利用等差数列前项和公式求出,再建立方程求值.【详解】存在正整数，使得. 理由如下：在等差数列中， 又，.所以由 得 所以. 令，即.整理得.解得或. 因为，所以. 所以当时，.【点睛】本题考查解决等差数列基本量求值问题.等差数列基本量计算问题的思路：与等差数列有关的基本运算问题，主要围绕着通项公式和前项和公式，在两个公式中共涉及五个量：，已知其中三个量，选用恰当的公式，利用方

11、程(组)可求出剩余的两个量17.已知函数.（）求函数的最小正周期和单调递减区间；（）若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）先根据二倍角正弦与余弦公式、辅助角公式化简，再根据正弦函数周期与单调性求结果；（）先根据正弦函数性质求在最大值，再根据不等式有解得结果.【详解】（）因为. 所以函数的最小正周期. 因为函数的的单调递减区间为， 所以， 解得， 所以函数的单调递减区间是.（）由题意可知，不等式有解，即. 由（）可知.当时， 故当，即时，取得最大值，最大值. 所以.故实数的取值范围是.【点睛】本题考查二倍角正弦与余弦公式、辅助角公式、正弦函数性质、

12、不等式有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.18.在天猫进行6.18大促期间，某店铺统计了当日所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（）将当日的消费金额超过2000元的消费者称为“消费达人”，现从所有“消费达人”中随机抽取3人，求至少有1位消费者，当日的消费金额超过2500元的概率；（）该店铺针对这些消费者举办消费返利活动，预设有如下两种方案：方案1：按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励金，每人分别为100元、200元和300元.方案2：每位会员均可参加线上翻牌游戏，每轮游戏规则如下：有3

13、张牌，背面都是相同的喜羊羊头像，正面有1张笑脸、 2张哭脸，将3张牌洗匀后背面朝上摆放，每次只能翻一张且每翻一次均重新洗牌，共翻三次. 每翻到一次笑脸可得30元奖励金.如果消费金额不超过1000元的消费者均可参加1轮翻牌游戏；超过1000元且不超过2000元的消费者均可参加2轮翻牌游戏；2000元以上的消费者均可参加3轮翻牌游戏（每次、每轮翻牌的结果相互独立）.以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少?并说明理由.【答案】（）；（）方案1，理由见解析.【解析】【分析】（）由图可知，消费金额在内的有8人，在内的有4人，利用组合可得这12人中抽取3人，共有种不同方法，再求出抽取

14、的3人中没有1位消费者消费超过2500元，共有种不同方法，根据古典概型的概率计算公式即可求解.（）方案1按分层抽样抽取“幸运之星”中的人数，从而求出奖励的总金额；设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，的可能取值为0，30，60，90，利用二项分布求出分布列，求出数学期望即可.【详解】（）解：记“在抽取的3人中至少有1位消费者消费超过2500元”为事件a. 由图可知，去年消费金额在内的有8人，在内的有4人，消费金额超过2000元的“消费达人”共有 8+4=12（人）， 从这12人中抽取3人，共有种不同方法， 其中抽取的3人中没有1位消费者消费超过2500元，共有种不同方法. 所以，. （）解：方

15、案1按分层抽样从消费金额在不超过1000元，超过1000元且不超过2000元，2000元以上的消费者中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的人数分别为， 按照方案1奖励的总金额为（元）. 方案2 设表示参加一轮翻牌游戏所获得的奖励金，则的可能取值为0，30，60，90. 由题意，每翻牌1次，翻到笑脸的概率为， 所以，.所以的分布列为：0306090 数学期望为（元）， 按照方案2奖励的总金额为 （元）， 因为由，所以施行方案1投资较少.【点睛】本题主要考查了组合数、古典概型、离散型随机变量的分布列、均值，考查了考生的分析能力，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，平面，为线段上一点（不是

16、端点），_.从；平面；这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（）求证：四边形是直角梯形；（）求直线与平面所成角正弦值；（）是否存在点，使得直线平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（）证明见解析；（）；（）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（i）选择，利用勾股定理求，再证明，结合即可得证；选择用勾股定理求，再证明，再根据线面平行性质定理即可解决.（）先在平面内过作，再以为原点，所在直线分别为轴，写坐标，计算即可；（）先假设存在，则，再根据线面平行与空间向量的运算关系求解即可.【详解】（）选择，连结，因为平面， 所以，

17、 因为，所以因为，所以，所以. 因为，所以， 所以四边形是直角梯形. 选择，连结，因为平面， 所以， 因为，所以 因为，所以，所以. 因为平面，平面，平面平面，所以， 所以四边形是直角梯形. （）在平面内过作，则平面，由（）知，所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，.则， 设平面的一个法向量，则即 令，则，则. 设直线与平面pcd所成的角为，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （）设，则 . 所以 ， 若平面，则， 即，所以. 因为，所以，线段上不存在点使得直线平面.【点睛】本题考查线面平行的性质定理，线面所成的角，存在性问题等，考查逻辑推理能力和运算求解能力，是

18、中档题.20.已知函数.（）求函数的单调区间；（）求证：当时，；（）当时，若曲线在曲线的下方，求实数的取值范围.【答案】（）增区间为，减区间为；（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）求得函数的定义域和导数，分析导数的符号变化，可得出函数的单调递增区间和递减区间；（）求得函数的导数，利用导数分析出函数在区间上单调递增，可得出，由此可证得结论成立；（）由题意可知，对任意的恒成立，构造函数，求得该函数的导数，分、两种情况讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证不等式在区间上是否恒成立，由此可求得实数的取值范围.【详解】（）因为，定义域，所以. 令，解得，令，解得.所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（）令，其中，由得， ，于是，故函数在上是增函数. 所以当时，即；（）若曲线在曲线的下方，则.令，则.当时，则对任意的，则，所以，函数在区间上单调递增，则，合乎题意；当时，由于，则，令