八个无敌模型全搞定空间几何的外接球和内切球问题

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2R2 a2 b2 c2 ，即2R a2 b2 c2，求出 R例1 1各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，那么这个球的外表积是C A. 16B . 20C . 24D . 322假设三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为.3，那么其外接球的外表积是 9解：1 V a2h 16 , a 2 , 4R2 a2 a2 h2 4 4 16 24 , S 24，选 C；2 4R2 3 3 3 9 , S 4 R2 93 在正三棱锥S ABC中，M、

2、N分别是棱SC BC的中点，且AM MN , 假设侧棱SA 2、.3,那么正三棱锥S ABC外接球的外表积是 。36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下:如图3 -1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH ,SHAB ,ACBC ,AD BD ,CDAB ,AB 平面SCD ,ABSC ,同理：BCSA,ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，那么H是底面正三角形 ABC的中心,SH 平面ABC ,此题图如图3 -2 ,AM MN , SB/MN ,CAM SB, AC SB, SB 平面 SAC,SCBAC 120, SA AC2, AB 1,那么该四面体

3、的外接球的外表积为(A.11B.7c.10SB SA, SB SC, SB SA, BC SA,SA 平面 SBC, SA SC ,故三棱锥S ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2 (2 .3)2 (2.3)2 (2.3)2 36，即 4R2 36 ,正三棱锥S ABC外接球的外表积是36(4) 在四面体S ABC 中，SA 平面ABC ，(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的外表积是(6)某几何体的三视图如下图，三视图是腰长为 1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，那么该几何体外接球的体积为 解析：(4)在 ABC 中，BC2 AC2 AB2

4、2AB BC cos120 7，BC 7，ABC的外接球直径为2rBC72 7sin BAC .3、3(2R)2(2r)2 SA2403C(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c( a,b,c R )，那么ab 12bc 8， abc 24 ， a 3 ， b 4 ， c 2 ，(2r)2 a2 b2 c229 ，ac 62S 4 R 29，(6) (2r)2 a2 b2 c23， R23， R _342V 4 r3 4 L33338类型二、垂面模型一条直线垂直于一个平面1.题设：如图5,PA平面ABC解题步骤: 第一步：将 ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径

5、AD，连接PD，那么PD必过球心O ；第二步：Oi为ABC的外心，所以OOi平面ABC，算出小圆Oi的半径OiD r 三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得abci A2r , OOiPA;sin A sin B sinC2步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2PA2 (2r)22RPA2 (2r)2 ;R22 2 2 2 r OOiR r OOi2.题设：如图6, 7, 8, P的射影是ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱锥P ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点 解题步骤: 第一步：确定球心0的位置，取 ABC的外心Oi，那么P,O,Oi三点共线;

6、第二步：先算出小圆Oi的半径AOi r，再算出棱锥的高POi h 也是圆锥的高；第三步：勾股定理：OA2方法二：小圆直径参与构造大圆。2 2 2 2OiAOiOR (h R)例2 一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体外接球的外表积为CA. 3B. 2C.旦 D .以上都不对3解：选 C, 、. 3 R2 1 R2, 3 2 3R R21 R2,4 2、3R 0,23，S 4 R2163类型三、切瓜模型两个平面互相垂直1 .题设：如图9-1 ,平面PAC 平面ABC，且AB BC 即AC为小圆的直径第一步：易知球心0必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC 2r ;第

7、二步：在PAC中'可根据正弦定理聶bsin Bcsi nC2R，求出R2.如图9-2，平面PAC 平面ABC，且ABBC 即AC为小圆的直径3.如图9-3，平面PAC 平面ABC，且ABBC 即AC为小圆的直径，且P的射影是ABC的外心 三棱锥P ABC的三条侧棱相等三棱P ABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取 ABC的外心01，那么P,O,O1三点共线;第二步：先算出小圆O1的半径AO1 r，再算出棱锥的高PO1 h 也是圆锥的高；第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r2，解出 R4.如图9-3，平面

8、PAC 平面ABC，且AB BC 即AC为小圆的直径，且PA AC，贝y利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)2 2RPA2 (2r)2 ； RD.解：001'R2 r2 r2 OO12 R . r2 00例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为1,底面边长为2.,3，那么该球的外表积为。(2)正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为. 2，各顶点都在同一个球面上，那么此球的体积为解：(1)由正弦定理或找球心都可得2R 7，S 4 R2 49 ，(2)方法一：找球心的位置，易知r 1 , h心 ABCD 处，R 1 , V 3方法二：大圆是

9、轴截面所的外接圆，即大圆是1，hr，故球心在正方形的中SAC的外接圆，此处特殊，43(3)在三棱锥P ABC中，PA PB PC 3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为Rt SAC的斜边是球半径，2R 2 , R 1 ,60，那么该三棱锥外接球的体积为(A.B. -3C. 4D.3解：选D,圆锥A,B,C在以r 的圆上,2(4)三棱锥S ABC的所有顶点都在球0的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且SC那么此棱锥的体积为(类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任

10、意三角形)第一步：确定球心0的位置，Oi是ABC的外心，那么OOi平面ABC ；第二步：算出小圆Oi的半径AOi r , OOi -AA -h ( AAi h也是圆柱的高)； 2 2第三步：勾股定理：OA2 O1A2 O1O2R2 (h)2 r2 R . r2 (；)2，解出 R例4(1)一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9，底面周长为3，那么8这个球的体积为解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，那么a底面积为 S 63 (-)2 3 3 , V柱 Sh428 柱R 1，球的体积为V 3直三棱柱ABC

11、AB1C1的9，h .3 ,R2 存)28 21)2点都在同一球面上，AB AC AA,2, BAC 120，那么此球的外表积等于解：BC 2 ._3，2r 一4 , r 2，R .5 , S 20si n120(3)EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60，那么多面体E ABCD的外接球的外表积为 。16解析：折叠型，法一：EAB的外接圆半径为r1 ,3，OO1 1，R 132 ；法二：O1M313牙，r2 O2D ，R23 134，R 2，S 164 4(4)在直三棱柱 ABC AB1C1 中，AB 4, AC 6, A4那么直三棱柱AB

12、C ABC的外接球的外表积为。解析:BC216 36 2 4 6 -28 , BC 2.7 , 2r22眉 472眉33，r 3，2R2r2竽228 . 40S 160333类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠如图11第一步：先画出如下图的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的 外心H1和H2 ； 第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为 球心0，连接OE,OC ； 第三步：解 0EH1，算出0比，在Rt OCH1中，勾股定理：OH； CH12 0C2例5三棱锥P ABC中，平面PAC 平面ABC， PAC和 ABC均为边

13、长为2的 正三角形，那么三棱锥P ABC外接球的半径为 .解析：2r12Jsin 604，R2.3，O2HO2H213法二：O2HAHR2 AO2 AH2 O1H2 QO215类型六、对棱相等模型补形为长方体 题设：三棱锥即四面体中，三组对棱分别相等，求外接球半径AB CD， AD BC， AC BD第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD BC x，AB CD y，AC BD z ,列方程组,2 2 2 a b x 222bey222e a z2 2,2 2(2R) a b ex22 y2补充：Va BCDabeabe 46abe3

14、根据墙角模型图12x22y2 z2R2 2 2 a b e1J22 2 2122 2R2x y zRxy z，求出R,88第三步例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6 1棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,假设过该球球心的一个截面如图，那么图中三角形正四面体的截面的面积是.2一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中 底面的三个顶点在该球的一个大圆上，那么该正三棱锥的体积是A.栄BCD .出43412解：1截面为PCO1，面积是2 ；1题解答图2高h R 1，底面外接圆的半径为R 1，直径为2R 2 ,设底面边长为a，那么2Rasin 60三棱锥的体积为V対子(3)在三棱锥

15、A BCD 中，AB CD 2, AD BC 3, AC BD 4,那么三棱锥 A BCD外接球的外表积为。一2解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a,b,c，贝S a2 b2 9，2 2 2 2 2 2 2 222b c 4 , c a 16 2(a b c ) 9 4 16 29 , 2(a b c ) 9 4 16 29 ,9 , 4R2 里,S 292 2 2BD 6, AD BC 7,那么该(4)如下图三棱锥 A BCD，其中AB CD 5,AC三棱锥外接球的外表积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为 a,

16、b,c , 2(a2b2c2)25 36 49 110 ,a2b2c255,4R255, S 55【55 ;对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为 2，那么该正面体外接球的体 积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体 中，2R 、3 ,.343.3. 3,V2382类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所 得三棱锥)模型题设：APB ACB 90，求三棱锥P ABC外接球半径(分析：取公共的斜 边的中点0，连接1 _ 、 一OP,OC，那么OA OB OC OP -AB , O为三棱锥P ABC外接球球心，然后 在OCP中求出半径)，

17、当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二 面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。例7 ( 1)在矩形ABCD中，AB 4 , BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，贝卩四面体ABCD的外接球的体积为(A.12512125125解：1 2R AC 5 , R - , V 4 R3 4 125，选 C233862在矩形ABCD中，AB 2 , BC 3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥A BCD的外接球的外表积为 .解析：2 BD的中点是球心0 , 2R BD ,13 , S 4 R2 13 ；类型八、锥体的内切球问题1. 题设：如图14,三棱锥P

18、ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。 第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心； 第二步：求DH -BD , PO PH r , PD是侧面ABP的高；3第三步：由POE相似于PDH，建立等式： 匹 竺，解出rDH PDDHC图15Oi"AJ _2. 题设：如图15,四棱锥P ABC上正四棱锥，求其外 接球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；第二步：求FH 1BC , PO PH r , PF是侧面PCD的高；2第三步：由POG相似于PFH，建立等式：OG 巴,HF PF解出3 .题设：三棱锥P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半彳方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个外表的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式：Vp ABC Vo abc Vo pab V。Pac V。PBc第三步：解出r3VpABCSo ABCSo PABSo pacSo pbc习题：1.假设三棱锥S ABC的三条侧棱两两垂直，且 SA 2，SB SC 4，那么该三棱锥的外接球半径为()A. 3B. 6C. 36D.9解：【A (2R)2 ,4 16 16 6 , R 3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】2. 三棱锥S ABC中，侧棱