一元二次方程压轴题[含答案解析]

1、一元二次方程1 .(北京模拟)已知关于 x的一元二次方程x2+px+ q + 1 = 0有一个实数根为 2.( 1 )用含 p 的代数式表示q；(2)求证：抛物线 yi = x2+ px+ q与x轴有两个交点；(3)设抛物线yi = x2+px+q的顶点为M,与y轴的交点为E,抛物线y2=x2 + px+q+1的 顶点为N,与y轴的交点为F,若四边形FEMN的面积等于2,求p的值.2 .设关于x的方程x2-5x-m2+1 = 0的两个实数根分别为 “、应试确定实数m的取值范围, 使| ”|十|日W6成立.3 .(湖南怀化)已知 xi, X2是一元二次方程(a-6)x2 + 2ax+a= 0的两

2、个实数根.(1)是否存在实数 a,使-x +xx2= 4+X2成立若存在，求出 a的值；若不存在，请你说明 理由；(2)求使(刈+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.4 .(江苏模拟)已知关于x的方程x2- (a + b+ 1)x+ a= 0 (b>0有两个实数根xi、x2,且xi»2.(1)求证：x1 < 1x21(2)右点A (1, 2) , B (2, 1), C (1 , 1),点P (x，口 在 ABC的三条边上运动，问5 .是否存在这样的点 P,使a+b=4右存在，求出点 P的坐标；右不存在，请说明理由.y2= 4xx= x1 x= x25 .(福建模拟

3、)已知方程组有两个实数解和 ,且xx2W 0, xwx2.y= 2x+ by = y1 y= y2(1)求b的取值范围；(2)否存在实数b,使得1+,=1若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.x1 x26 .(成都某校自主招生)已知 a, b, c为实数，且满足 a + b + c=0, abc=8,求c的取值范围.7 (四川某校自主招生)已知实数x+ y= 3a 1x、y满足2十丫2_4j2a+2，求xy的取值范围.8.(福建某校自主招生)已知方程(aX+1)2= a2(1-X2) (a>1)的两个实数根XI、X2满足X1VX2,求证：-1<XK0<X2<1.(答

4、案)(1) 北京模拟)已知关于 x的一元二次方程x2+ px+ q + 1 = 0有一个实数根为 2.(1)用含p的代数式表示q；(2)求证：抛物线 yi = x2+ px+ q与x轴有两个交点；(3)设抛物线yi = x2+px+q的顶点为M,与y轴的交点为E,抛物线y2=x2+px+q+1的 顶点为N,与y轴的交点为F,若四边形FEMN的面积等于2,求p的值.解：(1) ;关于x的一元二次方程 x2+ px+ q+1 = 0有一个实数根为 2/.22 + 2p+ q+ 1 = 0,整理得：q=2p 5(2) = p2-4q=p2-4(-2p-5) = p2+8p+20=(p+ 4)2+4无

5、论p取任何实数，都有(p+ 4)2>0无论p取任何实数，都有(p + 4)2 + 4>0, .-.A>0抛物线y1 = x2+px+ q与x轴有两个交点(3) ;抛物线y1 = x2+px+q与抛物线y2= x2+px+q+1的对称轴相同，都为直线x= -2,且开口大小相同，抛物线y2=x2+px+q+1可由抛物线y1 = x2+ px+ q沿y轴方向向上平移一个单位得到.EF/ MN, EF= MN = 1四边形FEMN是平行四边形 由题意得S四边形FEMN= EF | -2| = 2,即|p|=2p= ±42.(安徽某校自主招生)设关于 x的方程x2-5x-m,

6、1 = 0的两个实数根分别为“、3,试确定实数m的取值范围，使| ”|十| W6成立.解：= 52-4(-m2+1)=4m2+21，不论m取何值，方程x2-5x- m2 + 1 = 0都有两个不相等的实根x2- 5x- m2 + 1 = 0,a+ 3= 5, a 际 1 m2.| a|+| 日 W6,，十自十 2| a P<36,即(升 3)2-2 a 方 2| a |3< 36.25-2(1-m2) + 2|1 -m2| <36当 1 m2>0,即1WmW1 时，25W36 成立 当 1 m2<0,即 mv 1 或 m >1 时，得 25 4(1 -m2)

7、< 36解得一"wmw45157. 15< mv-1 或 1vmw万一综合、得:1515223.(湖南怀化)已知 x1，x2是一元二次方程(a-6)x2 + 2ax+a=0的两个实数根.(1)是否存在实数a,使-*1+*仅2=4+*2成立若存在，求出 a的值；若不存在,请你说明理由；（2）求使 保十1）（X2+1）为负整数的实数a的整数值.解：（1） - xi, X2是一元二次方程（a 6）x2 + 2ax + a=0的两个实数根a6w0aw62/ /、C 即 一4a 4a(a 6)>0 a>0假设存在实数 a使一Xi+X1X2= 4+X2成立，则 4 + (

8、Xl+X2)-X1X2= 02a a - /口-.,.4 +=0,得 a=24a-6 a-6- a = 24 满足 a > 0 且 a w 6二存在实数 a=24,使x +xx2= 4 + X2成立一 .2aa . a(2) . (X1 + 1)(x2+1)= (X1 + X2)+ X1X2+1 =7+7+1 = -7a-6 a-6a-6.要一使(X1+1)(X2+1)为负整数，则只需 a为7, 8, 9, 124.（江苏模拟）已知关于x的方程x2- （a + b+ 1）x+ a= 0 （b>0有两个实数根x1、x2,且X1»2.(1 )求证：X1 < 1x21.(

9、2)若点 A (1, 2) , B (2, 1), C (1 , 1),点P（X1, X2）在 ABC的三条边上运动，问5是否存在这样的点P,使a+b=4右存在，求出点解：(1)由根与系数的关系得：x + X2=a + b+1, a= X1X2, b = X1 + X2 X1X2 1,b>QX1 + X2_X1X2- 1 0 1 X1 X2 + X1X2W 0 (1-X1)(1-X2)<0又X1 a2, /. 1 -X1 >Q 1 -X2< 0即 XK, X2>1 -X1< 1x2P的坐标；若不存在，请说明理由.X1X2= a一5.9(2) . X1 + x

10、2 = a + b+1, a+b=4， - X1 + X2=4当点P (X1, X2)在BC边上运动时E-1则 2 a1W1, X2= 1- X1=X2 = 1 = F>1444故在BC边上不存在满足条件的点 P 当点P (X1, X2)在AC边上运动时 则 x1=1, 1«W2取 X2 = 5,则 X1+X2=9,即 a + b=54445故在ac边上存在满足条件的点p（1,5） 当点P（X1, X2）在AB边上运动时. 一 一则5a1W1, 1虫2WZ易知X2 = 2x1.,9.33- Xl + X2= 4, . X1=X2 = 2又= 1V 3<1，1 <3&

11、lt;22 42 33故在AB边上存在满足条件的点（4, 3）综上所述，当点 P (X1, X2)在 ABC的三条边上运动时，在 BC边上没有满足条件的点，而 53 3在AC AB边上存在满足条件的点，它们分别是(1, 5)和(4, 2)y2= 4XX= X1 X= X25.（福建模拟）已知方程组有两个实数解和 ,且X1X2W 0, X1WX2.y= 2x+ by = y1 y=y2(1)求b的取值范围;(2)否存在实数b,使得：十：=1若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.X1 X2解：(1)由已知得 4x= (2x+ b)2,整理得 4X2+(4b-4)X+ b2= 0o o 1 X1

12、WX2, . .> 0,即（4b4） 16b >0,解得 b<2b2又.X1X2W0, 了丰 0，-bw。，、一 .1 一综上所述，b< 2且bw 0 .b2 + 4b-4=0,解得 b= -2 + 272（2）X1 + X2=1 -b,X1X2 =4'11X1 + X2一 +一=X1 X2X1X24（1b）b21-2 + 2=2（-1）>2, . b= 2+242不合题意，舍去 .b= -2-2 啦6.（成都某校自主招生）已知 a, b, c为实数，且满足 a + b + c=0, abc=8,求c的取值范 围.8解：a+ b + c= 0, abc=

13、8, a, b, c都不为手，且 a+ b= -c, ab=_c .a, b是方程x2 + cx+8= 0的两个实数根 c人 2/8 = c2 4x ->oc当cv0时，c24X8>O恒成立c当c>0时，得c3总2, c*V4故c的取值范围是c< 0或c>234x+ y= 3a-17.(四川某校自主招生)已知实数x、y满足2握，2 0°,求xy的取值范围.x +y2=4a -2a+ 2解：- (x-y)2>0,x2 + y2>2xy1- 2(x2+ y2)> (x+y)2.2(4a2-2a+2)>(3a-1)2即 a2-2a-3<0,解得-1<a<31 2,2.2- xy = 2(x+y) (x +y )= 2(3a-1)2-(4a2-2a+2)=2(5a2- 4a 1)52 29=2("5)-而.当a=2时，xy有最小值g;当a= 3时有最大值16510.9 一. 10 女y 司68.(福建某校自主招生)已知方程(ax+1)2= a2(1-x2) (a>1)的两个实数根x1、x2满足x1<x2,求证： -1<x1<0<x2<1.证明：将原方程整理，得