【100所名校】2020届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学(文)试题(解析版)

1、2020届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 .非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。4 .考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1 .已知集合="町0<%<4="则|刘<2,则PUQ =A. 2,4 B

2、(一2,旬 C. (-00,4 D. (0,42.命题“R/-3%<0”的否定为A. "VxeR,3一?%>。''C. 43x0 e/?,x03-3x0 >0"3. cos学的值为B. G /?,x3 -3% > 0”D.汨& 兄与3 - 3g v o,A. -B. -iC. D. i22224.函数y= "2 +吧的图象大致为BS.5 .如图，从高为人的气球(4)上测量待建规划铁桥(BC)的长，如果测得桥头(8)的俯角是防桥头(C)的俯角是6，则桥BC的长为八 h sin(a-/?) b 卜 co8(aS) q h

3、 sin(a-/?) 口 人 cos(a-B) sinasin/?sinasin/?cosacos/?cosacos/?6 .已知册是公差为2的等差数列，S”为aj的前九项和，若Ss= S3,则的 =A. -4B. -3 C. -2 D. -17 .已知平面向量2,3满足|£|=面=1,若|2d 3加=近，则向量£花的夹角为A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°8 .已知函数f(x) = sin®x + *)(3 > 0, (p < ?)的部分图象如图所示，则“32 r 39 .设函数f(x)

4、= x(ex + e-x),则f(x)A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上有极小值C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上有极大值10 .设函数7(刈=5皿2” +今的图象为。，下面结论中正确的是A.函数f(x)的最小正周期是27rB.图象C关于点(£,0)对称 6C.图象C可由函数g(x) = sin2x的图象向左平移3个单位得到D.函数f(x)在区间(一套,占上是增函数11 .点M为448C的重心，力8 = 2,BC = 1,乙48c = 60。，则病就 =A. 1B.C. 2D.3第4页(共#页)12 .函数f(x) = ?ax在R上有三个零点，贝灯

5、的取值范围是A. (a?) B. J。 C. (9,+8) D,(三,+8)二、填空题13 .函数f(x) = sin(2x -)的单调递减区间是.614 .函数f(x) = Jlog2(x - 1)的定义域为.15 .已知数列是递增的等比数列，且。送4 = 8,。2 +。3 = 6,则。6的值等于16 .在同一坐标系中，y = log2%与y = log”的图象关于“轴对称 2函数y = log,三是奇函数函数y =言的图象关于(一2,1)成中心对称 Xi乙函数y = (-的最大值为g以上四个判断正确有.(写上序号)三、解答题17 .已知非零向量£工满足同=2,且(Z+初 (

6、63;- 3) = 3.(1)求而(2)若£ = (2,0),求区一小的取值范囿18 .已知函数f(x) = loga(l - g)(。>0且。工1),(1)若a = 2,解不等式f(x) < 2：(2)若函数f(x)在区间(0, 3上是单调增函数，求实数a的取值范围.19 .已知函数/'(%) = V3sin2x + 2cos2x + 1(% E R).(1)求f(x)的最小值及取得最小值时所对应的工值：(2)求f(x)的单调递减区间.20 .已知数列aj是公差为一2的等差数列，若的 + 2,%，。4成等比数列.(1)求数列%J的通项公式;(2)令勾=2&quo

7、t;-1 一册,数列儿的前n项和为S”,求满足S” > 0成立的n的最小值.21 .如图：在4/8C中，b2 = a2 + cz-ac,点D在线段力C上，JUD = 2DC.(1)若力C = 2,力8 =唐,求4D8C的面积：(2)若48 =2,8。=求8c的长.22 .已知函数f(%) = ax2 + (a 2)x - Inx, (a e R.(1)讨论f(x)的单调性：(2)若对任意x>0,都有f(x)NO成立，求实数a的取值范同2020届吉林省长春市实验中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学答案参考答案1. B【解析】【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合Q,再利用并集的定

8、义求PUQ.【详解】由题意得，P = xGZ?|0<x<4 = 0,4>Q =x e 町卜| < 2 = % G | - 2 < % < 2 = （-2,2）,PUQ = （-2,4 > 故选 B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集 合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合4或属于集合B的元素的集合.2. C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得结果，做题过程注意量词的互换.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，0"的否定为fxo WA,Xo3-3xo>

9、O”.【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定 的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写 为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3. D【解析】【分析】根据诱导公式，结合特殊角的三角函数即可得结果.【详解】化简cos?"3=cos(4tt - 9 = cos (- 9 = cos g =：，故选 D.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要 正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导

10、公式，以便提高做 题速度.4. C【解析】【分析】利用排除法，当x = l时排除8；当 = 1时，排除力：当 = L时，排除D,从而可得结果. e【详解】当 =1时，函数尸="2 +亭!=1,所以选项8不正确：当”=一1时，函数/=/+蜉=1,所以选项4不正确：当 =:时» 函数y = x2 += (：) e V 0,所以选项。不正确，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方而入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的特征点，排除不合要求的

11、图象.5. A【解析】【分析】分别在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出CD与8D,由CD BD求出8c的长即可.【详解】第14页(共14页)由题意得：/-ACD =/,ABD =a,AD = h.在RtA4CD中，tan4力CD =终，即tan/?=占,整理得：CD=tan/?在Rt/力BD 中，tan4力BD = 即tana = 土,整理得：BD= tana则 BC = CD-BD =-一一 tan/? tana* hsina /第12页(共14页)故选A.sinacos(3-cosasinP ,sin(a-13)1=r sinasinPsincxsinP【点睛】此题属于解三角形题型，

12、涉及的知识有：锐角三角函数定义，两角和与差的正弦函数公式，以 及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及性质是解本题的关键.6. B【解析】【分析】由Ss = S3,结合公差为2利用等差数列的求和公式列方程求得首项的值，利用等差数列的通项 公式可得结果.【详解】由 $5 = 53，得 5% +四 X2 = 3%+咨 X2, x 2x 2解得的 = -7, a3 = -7 + 2X2 = -3» 故选 B.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，属于中档题.等差数列基本量 的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量的,d,几a”,S，,一般可以“知二求三

13、”，通过 列方程组所求问题可以迎刃而解.7. C【解析】【分析】由|223亩=近两边平方，结合=|山=1可求得£花的数量积，从而可得结果.【详解】由12d 3b = y/7，得4d2 - 12a 1 b + 9b2 = 7,1句=同=1, .可得 a g = jRP|a|b|cos(a, b) = cos(a, b) >2与3夹角为60。，故选C.【点睛】本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平而向量数量积公式有两种形 式，一是£ 6 = |旬向cos6,二是2 石=为必+人及，主要应用以卜几个方而：(1)求向量的夹角， cosO = (此时2 7往

14、往用坐标形式求解)：(2)求投影，a在至上的投影是尊；(3) a,b abb向量垂直则£ I = 0；(4)求向量m£ +九1的模(平方后需求日£).8. A【解析】【分析】先根据函数图象得到周期求出3=2,然后带特殊点求值即可.【详解】由图可知函数的周期为7 =箸一E=打，则3=2.则f(x) = sin(2x +夕)，将4咤代入解析式中得f=sin(2 X套+ *)=圣贝哈+*=?+2而,Z G z或者卷+夕=1+2麻,/c E z,解得=廿24n,k G z或者w=3+2Att,/c G z.因为191Vl则0=*选a【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质

15、.解题中注意给定三角函数值求角的问题中，除最大最小 值其它情况在一个周期内均有两个角与之对应.9. A【解析】【分析】由函数奇偶性的定义，可得函数外幻为奇函数，再由导数，得到f'(x)>0,判定函数在/?上的 增函数，即可得到答案.【详解】由题意，函数f(x) = x(e* + &-“)，则f(-x) = -x(ex + ex) = f(x),所以函数f(x)为奇函数，又由 f'(X)= ex + ex + xex - ex),当工 之 0时，ex > 1,0 < ex < 1,所以e* + 6一* > 0且 e-“)> 0,即尸(x

16、) > 0,所以函数f(x)在0,+8)为单调递增函数，又由函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)为R上的增函数，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的判定，其中熟记函数奇偶性的定义，以及利用导数判 定函数的单调性的方法，以及指数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有 一定的难度，属于中档试题.10. D【解析】【分析】直接根据正弦型函数的图象与性质，对选项中的命题真假性逐一判断即可.【详解】对于4函数f (x) = sin(2x +三)的最小正周期为7 =9=R,故4错误；对于8, X =看时，f(x) = sin(2 X看+9 = ?工其图象不关于点偿

17、0)对称，故8错误：对于C,函数以幻=sin2x的图象向左平移;个单位得sin2 (% +，) = sin (2x +y)»故C错误；对于D, “(，劫时,2x+“C者)，函数f(x)在区间(看，6上是增函数Q正确，故选D.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由函数丁 =出(3% + “)可求得函数的周 期为券 由3X + * ="+ g可得对称轴方程：由3+* =也可得对称中心横坐标.11. C【解析】【分析】由余弦定理求得=可得HCJL8C,从而得京,就=三(前+而)就=三就2+三通.333AC,进而可得结果.【详解】2h48c中，己知48 = 2,B

18、C = 1,乙力BC = 60°,由余弦定理可得= l + 4-2XlX2X-= 3fAC =百，2所以BC2 +AC2 =ab2 => AC lbc.设8c的中点为D,因为点M为/月8c的重心，所以病=|Zd = |（7c + cd）,可得万7 就=（AC + CD）- AC = 1AC2 +1 CD - AC=-AC2 =-X3 = 2,故选 C. 33【点睛】本题主要考查向量的几何运算及余弦定理的应用，属于难题.向量的运算有两种方法，一是几 何运算往往结合平而几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（1）平行四边形法则（平行四 边形的对角线分别是两向量的和与差）：（2 ）

19、三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向 量是和）：二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐 标运算比较简单）.12. D【解析】【分析】函数f（x）=三一 ax在R上有三个零点，转化为函数y =靖与y = ax?由三个交点，先判断a >0,可得当“V 0时，两图象必有一个交点，只需y = a,y的图象在y轴右边由两个交点，利用导X数研究函数的单调性与最值，结合图象可得结果.【详解】当a < 0时，函数f （x） = e" - ax2 > 0恒成立，不合题意,所以a > 0,作函数y = e”与y = a/的图象如图，由

20、图象可知，当XV 0时，两图象必有一个交点，第14页（共14页）故当x0时，两图象有两个交点，则e* = a/有两个lE根，即a =三有两个正根，y = a,y =，勺图象在y轴右边由两个交点，诳(幻=接(幻=勺，尸(外在(0,2)上递减，在(2,+8)递增，故尸(X)min =尸(2)=:，故a：时，两图象有两个交点： 4故若函数f (x)=产一 a/有三个不同零点，则a ：, a的取值范围是(彳,+8),故选D.【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初 等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉：另外，函数零点的几种等价形式：函数 y

21、 = f(x) 一 g(x)的零点Q函数y = /(%) 一 g(x)在%轴的交点=方程f(x) -p(x)=。的根=函数y = fO)与y = g(x)的交点.13. +k7r, + k7r ,keZl_36 J【解析】试题分析：因为/(x) = sin(2x ?)：所以由3 + 2攵乃42%-*«¥ + 2攵乃次62可得 + k. + k7r ,k wZ36所以函数的递减区间为二+攵乃,竺+ 女4,keZ. 36 J考点：三角函数的性质.14. (1,2【解析】【分析】根据耗函数与对数函数的定义域列不等式可得结果.【详解】要使函数f(x) = J log 1(% - 1

22、)有意义，则log±(x - 1) > 0. 2即。< % - 1 < 1,RP1 <x < 2,故函数的定义域为(1,2,故答案为(1,2.【点睛】本题主要考查具体函数的定义域、对数不等式的性质，属于中档题.定义域的三种类型及求 法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意 义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数f(x)的定义域为则函数f(g(x) 的定义域由不等式a < g(x) < b求出.15. 32【解析】【分析】由。送4 = 8 =。2a3,。2+口3=6求得。

23、2,。3的值，从而可得公比，利用等比数列的通项公式 可得结果.【详解】数列0是递增的等比数列，= a2a3 = 8，乂+。3 =6,由得，F3_：=勺=也=2,ae = a3 Xq3 = 4 X 23 = 32,故答案为 32.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于简单题.等比数列最主要的性质是下标性质：解答 等比数列问题要注意应用等比数列的性质：若p+q = m + = 2r则apaq = ar2.16. ©©【解析】【分析】通过换底公式得到y = log炉= -log2X，由图象对称可判断正误：利用函数的奇偶性的定 2义判断即可：通过y = -：的对称性与函数的

24、平移变换即可判断；通过复合函数的性质以及最值判断正误即可.【详解】对于由于y = logix = -log2x1则在同一坐标系中,y = log2%与y = log.的图象关于入轴对称，故正确；对于y = log2f，函数的定义域幻-1 V x V 1， f(-x) =-logM =-f(x), .,函数是 奇函数，故正确：对于，= 的对称中心(0,0),函数y = g向左平移2个单位，向上平移1个单位， 得到？=言=1 一+的图象对称中心(_2,1),所以函数的图象关于(2,1)成中心对称，故正 确；对于+141，函数是偶函数，"V。时，函数是减函数，x>0时，函 数是增函数

25、，.“ = 0时函数取得的最小值为g故错误.故答案为.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的图 象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点 掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件， 另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.17. (1) 1： (2) 1,3.【解析】【分析】(1)由2 +3) (£ - 3) = 3,可得|句2 一说2 = 3,结合闷=2可得结果；(2)设3 =(cos0,sin0)>

26、则2 b = (2 cos。,一sin。),可得=5 4cos8 E 1,9» 进而可得结果.【详解】(l)v (a + b) (a h) = 3,.*. |a|2 |b|2 = 3,.,. b = 1：(2)设3 = (cos。,sin。)，贝Ij2 b = (2 cosa一sin。)，a |a - b2 = (2 cos0)2 + (sin6)2=5 - 4cos6 G 1,9 a - b G 1,3.【点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平而向量与三角函数交汇点较 多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与

27、三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识 将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.18. (1)/，： (2) (0,)【解析】【分析】(1)把a = 2代入函数解析式，由对数函数的性质化对数不等式为一元一次不等式求解：(2)内函 数g(x) = l g为减函数，要使函数人幻在区间(0 , 3上是单调增函数，则外函数为减函数，且 内函数在(0，3上的最小值大于0,由此列不等式式即可求得常数a的取值范围.【详解】当a = 2时，原不等式可化为log2。- 2x) V log?%，.：，解得| VXV $原不等式的解集为

28、(一；设g(x) = l-ax,则函数9(0为减函数,.函数f(x)在区间(0,3上是单调增函数，.L°:二,11 5a > 0解得0 V a V 实数a的取值范围(0,)【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可 以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是 要同时考虑两个函数的的定义域：二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义(增增T增，减减T增，增减T减，减增T减).19. (1) 0, x = kn-kez)； (2) Zc7T + /c7r + y(/cGZ).【

29、解析】【分析】第13页(共14页)(1)利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数人幻化为 2sin(2x + $ + 2,利用正弦函数的性质可得结果；(2)利用正弦函数的单调性可得2斥+ g 4 2x + l< 2kn +解不等式可得到函数f(x)的递减区间.【详解】(1)原函数可化为f(x) = 2sin(2x + ?) + 2,当且仅当2x + ? = 2/ot g即x = kn一算A G Z)时， 6Z3f(x)取得最小值为0.(2) 2kn + < 2x + < 2kn + , 262解得：kn + - < x < kn + 6

30、3所以，函数f(x)的单调递减区间为阿+ I而+ y(fc G Z).【点睛】以三角恒等变换为手段，考查三角函数的图象与性质近几年高考考查的一类热点问题，一般难 度不大，但综合性较强.解答这类问题，不等要掌握三角函数的图象与性质，而且对两角和与差的 正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变 化形式要熟记于心.20. (1) an =9-2n； (2) 5.【解析】【分析】(1)根据等差数列多的公差为-2,且做+2,%，成等比数列列出关于公差d的方程,解方 程可求得d的值，从而可得数列aj的通项公式：(2)由(1)可知勾=2"-1 9 +

31、2在，根据分组 求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可得结果.【详解】(1 ) " aL + 2,。3,成等比数列，二 4> = (% + 2)(%6),解得：的 = 7, a = 9 2n.(2)由题可知5n = (2° + 21 + 22 + + 271-1) - (7 + 5 + 3 + + 9 - 2n),=E 一 (8n - 九2)=2n + n2-8n-l,显然当九<4时，Sn<0, S$ = 8>0.又因为nN 5时，单调递增，故满足I > 0成立的九的最小值为5.【点睛】第11页(共14页)本题主要考查等差数列的通项公式与求

32、和公式以及等比数列的求和公式，利用“分组求和法“求 数列前九项和，属于中档题.利用“分组求和法”求数列前n项和常见类型有两种：一是通项为两个公 比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减：二是通项为一个等差数列和 一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.21. 史4(2) 2. 8【解析】【分析】（1）由52 =。2+02一所利用余弦定理可得8=9再由正弦定理可得sinC=：,结合两角和的正 34弦公式，由三角形面积公式可得结果：（2）过点C作CE48交8D的延长线于点E,AABD 2 ADCE,可求得CE = 1, BE =夕,又因为N/8C = 60。,所以4BCE = 120°,利用余弦定理可得结果.【详解】（1）由b? =可得，a2 + c2 b2 = ac.c a2+c2-b21c7rcosB = 一，B = 一2ac23由正弦定理可得：与=喂. smc sinB解得 sinC =:故 cosC =, 44皿8 + °)=枭*如沪苧.m = *''竿=甲_ 1_ V3+V7A、ABCD = AABC = q-， oo（2