人教版数学九年级上册二次函数与直线相交生成方程的根问题探解

1、人教版数学九年级上册二次函数与直线相交生成方程的根问题探解二次函数是中考的重要考点之一，二次函数与方程的根紧紧牵手创设问题背景的考题又是二 次函数的重要考题之一，下而就谈谈二次函数与方程的根这个话题，供学习时借鉴.一.二次函数与直线y=0 （或x轴）相交，构造方程的根1.二次函数与直线y=0 （或x轴）相交，最多一个交点例1已知抛物线y=ax2+bx+c （ b> a> 0 ）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：该抛物线的对称轴在y轴左侧；关于X的方程ax2+bx + c+2 = 0无实数根；a- b+c'O：”"的最小值 b-a为3.其中，正确结论的个数为（

2、）R. 1个B. 2个C. 3个D. 4个分析：解答时，我们主要思路是：（1）根据二次项系数的属性，确定抛物线的开口方向：（2）根据图像与x轴交点的个数，确定一元二次方程a/+bx+c=0的判别式的属性；（3）根据图像与x轴交点的个数，推断出函数的最值：（4）利用特殊值法，确定当自变量取特殊值时，其对应的函数值与y轴的 关系，从而确定函数值的正负性.解：因为b>a>0,所以-上-VO,所以抛物线的对称轴在y轴左侧，所以 2a正确：因为抛物线与X轴最多有一个交点，所以从-4acW0,因为X的方程ax2+bx+c+2 = 0 中，A = /?2 - 4a （ c+2） =/?2 - 4

3、ac - 8a<0,所以正确：因为a>0且抛物线与x轴最多有一个交点，所以x取任何值时，都有y20,因为当x=-l时，尸a-b+c,所以a-b + c20,所以正确：因为当 X=- 2 时，y=4a-2b+c,所以 4a -2b+c20,所以 a+b+c + 3a-3b 2 0,所以 a+b+c，3b - 3a,所以 a+b+c 23 （b-a）,因为 b>a>0,所以 b-a>0,所以N3,所以正确.所以选：D.b-a点评：解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向：a、b的符号决定对称轴的位置：抛物线与工轴的交点个数，决定了 -4ac的符号，a的符号与

4、交点的个数，确定函数值的最小值.2.二次函数与直线y=0 （或x轴）相交，有两个交点例2如图1，抛物线y=aY+bx+c （ aWO）的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐标为（-1, 0）,其部分图象如图所示，下列结论：4acV2：方程ai+bx+c=O的两个根是玉二-1, 受二3：3a+c>0：当y>0时，x的取值范围是-1W x V 3 ：当xVO时，y随x增大而增大.其中结论正确的个数是 （）分析：抛物线的非顶点曲线与x轴有一个交点，根据抛物线的对称性，可以 知道抛物线必定与X轴有另一个交点，设抛物线与X轴的两个交点坐标分别为（演，0）, （ x2, 0 ）,则内，工2是

5、一元二次方程a x2+bx+c=0的两个根，且$ +羽 _ b解：因为抛物线与X轴有2个交点，所以 -4ac>0,所以4ac</, 所以正确：因为抛物线的对称轴为直线x=l,根据比上乜二1,所以点（-1, 0）关于直线 2x=l的对称点的坐标为（3,0）,所以方程a x2+bx+c=0的两个根是内二-1,二3, 所以正确：因为x=-2 = l,所以b=-2a,仔细观察图像，不难发现，当工二 2a-1时，y<0,所以a-b+cVO,所以a + 2a+c<0,所以错误：因为抛物线与x轴的两点坐标为（-1, 0）, （3, 0）,所以当-lx<3时， y>0,所以

6、错误：因为抛物线的对称轴为直线x=l,所以当xVl时，y随 x增大而增大，所以正确.所以选B.点评：设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（内，0）, （ x2, 0）,则王，公是一元二次方程a/+bx + c=0的两个根，且上二月二-2 .熟记这些知识，并在 2 2a解题时，灵活加以运用是解题的关键.二.二次函数与直线y=m相交，构造方程的根例3 ）已知二次函数y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A （苍，m）.B （ Xj+n, m）两点，则m、n的关系为R m-LD mnD. m= n4分析：解答时，做到两个转化：一是把二次函数y=/+bx+c与x轴只有一个 交点转化成一元二次方程

7、x、bx+c=O有两个相等实数根；二是把图象过A（内，m）、B （内+n, m）两点转化玉，玉+n是一元二次方程+bx+c=m的两个实数 根，借助根的判别式，根与系数的关系定理，可实现目标.解：因为抛物线y=/+bx+c与x轴只有一个交点，所以一元二次方程Y+bx+c=O有两个相等实数根，所以4c=0.因为图象过A（再，m ）、B（ 占+n, m）两点，所以$ ,再+n是一元二次方程x2+bx+c=m的两个实数根，所以内+内+n=-b,玉（玉+n） =c-m,所以 （-+n）=c-m, 222. 2整理，得=m-c,所以 /J -犷=4m-4c,所以 z?2 =4m+/?2-4c,因为 -4c

8、=0,4所以之二如，所以m=！:所以选D.4点评：把图象过A （ X, m）、B （ X +n, m）两点转化再，2+n是一元二次方程V+bx+c=m的两个实数根是解题的关键.例4如图2是抛物线y=aA-2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1, n）, 且与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间.则下列结论：a - b+c>0； 3a+b = 0；/=4a （ c - n）；一元二次方程 ax2+bx+c = n - 1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析：解答时，把握住两个关键点：一个是直线y二n与抛物线y=aY+

9、bx+c 有一个公共点，转化成一元二次方程aY+bx+c=n有两个相等的实数根； 二是当y=n-l时，直线y=n-l与抛物线y=a x2+bx+c有两个公共点， 转化成一元二次方程aY+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.解：因为抛物线与x轴的一个交点在点（3, 0）和（4, 0）之间，而抛物线 的对称轴为直线x=l,所以- = 1,解得工3=-1，%=-2，所以抛 物线与X轴的另一个交点在点（-2, 0）和（-1, 0）之间.所以当X=-1 时，y > 0,所以a-b + c>0,所以正确：因为抛物线的对称轴为直线X=-所以b=-2a,所以3a+b = 3a - 2a=a,2a

10、所以错误：因为抛物线的顶点坐标为（1，n）,所以一元二次方程aV+bx+c=n有两个相 等的实数根，所以4a（c-n）二0,所以=4a（c-n）,所以正确：因为抛物线与直线y二n有一个公共点，所以抛物线与直线y=n-l有2个公共 点，所以一元二次方程ax，bx+c=n-l有两个不相等的实数根，所以正确. 所以选C.点评：学会把交点个数转化成对应一元二次方程根的个数是解题的关键，解 答时，准确确定对应的一元二次方程也是解题的关键之一.例5二次函数尸aY+bx+c （aWO）的部分图象如图3所示，图象过点（-1, 0）,对称轴为直线 x=2,下列结论：（1） 4a+b=0： （2） 9a+c>

11、;3b： （3） 8a+7b+2c17>0； （4）若点A （ - 3,%）、点B （一一，为）、点C （ 一，为）在该函数图 22象上，则）,1v / V为：（5）若方程a （ x+1） （ X - 5 ）=-3的两根为玉和，且$ V勺，则M V - 1 V 5 V /.其中正确的结论有（）A. 2个B. 3个C.4个D. 5个分析：正确利用对称性，特殊值法，待定系数法，直线与抛物线的交点法等 方法，去灵活解题是解题的关键.解：因为对称轴为直线x=2,所以-2=2,所以4a+b=0.所以（1）正确：2a因为二次函数y=a x2+bx + c （ aW 0）的图象过点（-1, 0）,所以

12、七十（"二函 2所以二5,所以抛物线与x轴的另一个交点为（5,0）,因为抛物线开口向下， 所以当-1<xV5时，y>0,因为x=-3不在上述范围，所以当x=-3时，y< 0,所以9a - 3b + c<0,所以9a+cV3b,所以（2）错误.a -b + c = 0b = -4。因为抛物线经过（-1, 0）和（5, 0）,所以，解得,25。+ 5/? + c = 0c = -5a所以 8a+7b+2c=8a - 28a - 10a =-30a,因为 aVO,所以 8a+7b=2c > 0,所以 （3）正确.因为抛物线的对称轴为直线x=2,所以在对称轴的左

13、边y随x的增大而增大，且-3 V -，所以y V %，设点B （ - 一，y2）的对称点为（再，见），222（一5）979所以二二2,解得与二一，因为一-，且抛物线在对称轴的右边，y随2- 222x的增大而减小，所以y2 V %，所以X V刈< %，所以（4）错误: 因为当尸0时，a/+bx + c=O的两个根为-1,和5,所以当尸-3时，它与抛物 线的交点一个在（-1,0）的左边，另一个在（5,0）的右边，所以一个小于-1, 另一个大于5,且内 <，所以玉V - 1V 5 V x? .所以（5）正确.所以正确 的有三个，所以选选B.点评：准确捕获图像信息，并把信息进行科学处理应用

14、，灵活运用二次函数 的性质是解决问题的关键.三.二次函数与直线y=kx+b相交，构造方程的根2例6二次函数y=ax2+bx+c （aO）和正比例函数y二x的图象如图4所示, 3则方程ax2+ （ b - ） x+c = O （aNO）的两根之和 （）3A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能确定图3分析：设抛物线尸a/+bx+c (aHO)和正比例函数尸kx有两个交点，则两 个交点的横坐标玉，是一元二次方程a/+bx+c=kx的两个根，利用根与系 数的关系推理可以确定答案.则占+ 超二-仔细观解：设为,是一元二次方程aY+bx+c=O的两个根,察图像，知道抛物线的对称轴在原点的右边，所以-

15、e>。所以一2>o,因为 2aaa>0,所以 b<0：2设七，%是二次函数y=ax2+bx+c(a0)和正比例函数y=1x交点的横坐标，2则工3，七是一元二次方程a x2+bx+c=-x的两个根，即工，%方程aa上+( b92 b 2b 2-工)x+c=O的两个根，所以七+勺二一一>因为->0，>0, 3a a 3aa 3a所以-9 +工>0,所以选A.a 3a点评：学会构造一元二次方程式解题的关键，构造的方法如下： 设天，%是二次函数y=ax2+bx+c (aWO)和正比例函数y二kx交点的横坐标， 则七，血是一元二次方程a V2 +bx+c=

16、kx的两个根.例7已知：抛物线C:尸-3x+m,直线L： y=kx(k>0).当k=l时，抛物线C与直线L只 有一个公共点.求m的值：(2)若直线L与抛物线C交于不同的两个点A,B,直线L和直线4:y=-3x+b交于点P，且1 _ 1 _ 2OAOBOP求b的值:在(2)的条件下，设直线L,与y轴交于点Q,问：是否存在实数k,使；S,"Q二S、bpq 若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.过点A, P,B分别作AC_Lx轴,OP OE 则 ACPEBD,二OA OCh k + 3bT+3因为看焉得所以常新所以2 =2,解得b=8： 4分析：第一问：将直线与抛物线有唯一公共点转

17、化成两个函数解析式消去y后得到的关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，借助根的判别式完成解答；第二问：解答的关键有三个：一是表示出A,B,P三点的横坐标，并用这些坐标表示适当的线112OP 0P段的长度；二是将条件一匚+ 匚二三 变形为就可以使用平行线分线段成比OA OB OPOA OB例定理；三是明确A, B的横坐标恰好是一次函数与二次函数消y后一元二次方程的两个根， 这样就可以利用根与系数的关系定理加以求解.第三问：如图6,仔细观察两个三角形，它们的高实际上是相同，只要ARBP,两个三角形 的面积就相等，也就是CERE,从而将三角形的面积相等转化为线段的相等加以求解.解：(1)当k=l

18、时，直线变形为尸X,所以Y-3x+mr,整理，得x2-4x+m=0,因为抛物线C与直线L只有一个公共点，所以(-4)24x1x厂0,解得m=4,所以抛物线的解析式为y=x2-3x+4： 有直线尸kx和抛物线y=/-3x+4联立，消去y,得：x2- (k+3) x+4=0, 设点A的横坐标为内，点B的横坐标为点P的横坐标为内, 则内，X?是一元二次方程一(k+3) x+4=0的两个根，所以m+x?=k+3, 2工2二4；有y=kx和y=-3x+b联立消去y,得x二一竺，所以八二一竺 k+3k+3PEJ_x釉，BDJ_x轴，垂足分别是C,E,D,OP OF砺二而，因为内，匕，七都是正数， 所以 0C=X,0E=X3，°D=X2,所以因为三角形APQ和三角形ABQ有公共顶点Q,所以两个三角形有相等的高，因为Srq=S&BPQ，所以AP=BP,因为ACPEBD,所以CE二DE，所以占-xk乙一七，所以工）+玉=2',所以 k+3=2X ”二所以 k+3=4 或 k+3=-4,-13k+3 k+3解得k=l或k=-7,因为k=l时直线y=x与抛物线只有一个公共