5圆锥曲线的范围问题-中等难度-讲义

1、圆锥曲线的范围问题志知识讲解一、求范围常用方法圆锥曲线中的确定参变量(参数)的取值范围是高考命题的热点，也是我们掌握的一个难点。要想求出圆锥曲线中的参数的取值范围，就必须寻找确定参数的取值范围的不等量关系，这可以说是解决这类问题的难点和关键所在。有以下几种形式：1 .利用判别式0,建立起含参数的不等式； 圆锥曲线中的含参数问题往往都转化为直线和圆锥曲线的相交问题一一有两个交点，因此，这类问题可首先考虑0。2 .利用题设中的不等关系， 建立起含参的不等式； 有些题目中含有已知量的不等关系，可以借助它去确定题目中所要求的参数的取值范围。3 .根据圆锥曲线的变化范围，借助点的位置，建立含参数的不等式

2、；根据曲线的范围，借助点的位置比如在椭圆上，则 a xo a, b yo b等建立含参数的不等式。4 .借助图形直观挖掘不等关系，建立含参数的不等式。 常用到的有三角形中的边的关系，多与圆锥曲线的定义相结合。二、双曲线经典结论221.双曲线、4 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A( a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线 a bx2 y2,交双曲线于 R,P2时AR与A2P2交点的轨迹万程是 二上2 1.a b222.过双曲线xy与 a b1 ( a> 0,b> 0)上任一点A(x0, y(o)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且k

3、Bcb> (常数)a Vo2 x3.若P为双曲线 a2y,。1 a>0,b>0)右b2(或左)支上除顶点外的任一点,Fi, F2是焦点，PF1F2PF2F1c a ,八,贝U tancot(或c a 22c atancot).c a 222 x4. P为双曲线ay彳 1(a> 0,b> 0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点, b则 |AF2| 2a|PA| | PF11，当且仅当A,F2,P三点共线且P和A, F2在y轴同侧时，等号成立.2 x5.双曲线2- aa2 22, 2A a B b6.已知双曲线2 y b2 C22 xa1 ( a>

4、0,b>0)与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是2上1 b2(b>a>0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP OQ .11)|OP|21|OqF2)OPOQ的最小值为1b2;2 24a b722 ;b a3)S OPQ的最小值是2, 2a b222 .b a2x7.过双曲线一2 a2 y b2(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于 M , N两点,弦MN的垂直平分线交"十 皿| PF | e x轴于P ,则JL 一| MN | 22x8.已知双曲线 a2 y b21 (a>0,b>0) , A,B是双曲线上

5、的两点， 线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(xo,0),则X02,2a b 7或Xoa2,2a b2x9.设P点是双曲线-2 a24 1 ( a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点记 bF1PF22b2，则 |PF1|PF21 H. SPF1F2b2 cot -.2.选择题（共4小题）?1. （2018?长春二模）已知双曲线为-? = 1（?>0, ?艮0）的左、右焦点分别为Fi, F2,点P在双曲线的右支上，且| PR| 二4| PE| ,则双曲线离心率的取值范围是（）.,5一_5A.停，2B. (1 , 5C.(1,2D.3, +oo)【解答】解：

6、根据题意?吊，双曲线？?- ?2= 1（?0，?0）中，点p在双曲线的右支上 贝1J| PR| - | PE| =2a,又由 | PF| =4| P，2?则 |?= 2?；32?则有丁 > ? ?32、变形可得：->e- 1,3即可得：e< 5,35则双曲线的离心率取值范围为(1, 5.3故选：B.?2. （2018TFF封三模）设双曲线 幅-.=1 （a>0, b>0）的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B, C两点，过B, C分别作AB, AC的垂线交于D,若D到直线BC的距离不小于a+c,则该双曲线的离心率的取值范 围是（A. (1, v2

7、B. (1, 2C. v2, + oo)d. 2, +oo)?【解答】解：由题意，A (a, 0), B (c, '?), C (c, - ? , 由双曲线的对称性知D在x轴上，?夕？夕 -设D (x, 0),则由BD±AC得-万?不?方-1, ?-? ?-?c x=- ,?(?-?)'.D到直线BC的距离不小于a+c,?夕 c x=| -1 > a+c,1?(?-?)? c c c;有盲 c2 a2=b2 ?二-1?-?2:-1 ，2?二>2?'双曲线的离心率的取值范围是V2, +8）,故选：C.3. （2018?上城区校级,K拟）已知 F是抛物

8、线C: y2=px （p>0）的焦点，A, B是抛物线上的两个动点，满足 /AFB=60过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则使不等式|MN| &m|AB|包成立的m的取值范围是（）y3 A. m> - 323B. 0<m<_-3C. m> 1D. 0<m<2【解答】解：设|AF|=a, |BF|二b,由抛物线定义，得 AF| 二| AQ| , | BF =| BP|在梯形 ABPQ中，.-.2| MN| =| AQ|+| BP| =a+b.由余弦定理得，| AB| 2=a2+b2 - 2abcos60 2+ba- ab配方得，|

9、 AB|2= (a+b) 2- 3ab,cc 3c 1c(a+b) 2 - 3ab> (a+b) 2-4 (a+b) 2= (a+b) 21得到 | AB| >2 (a+b).|?|?|由 |MN|&m|A耳，得 m)而?(m> 1,4. （2018?惠州模拟）已知F是抛物线x2=4y的焦点，P为抛物线上的动点，且A|?|的坐标为（0, T）,则!?最小值是（|?|A.C.B.D.12 v§2【解答】解：由题意可得，抛物线x2=4y的焦点F (0, 1),准线方程为y=- 1.过点P作PM垂直于准线，M为垂足, 则由抛物线的定义可得| PF =| PM| ,

10、|?|?|一则而而布sin/PAM,/PAM为锐例一， 一，|?L , 故当/PAM最小时，而升小，. |?1 .故当PA和抛物线相切时，力?!小.|?_.1c1设切点P (2v? a),由y=x2的导数为y'于,、1_ _ ?+1贝u pa的斜率为金？2*?/?求得a=1,可得P (2, 1), . | PM| =2, | PA =2v2,sin/ PAmB三 |?| 2故选：C.r.填空题（共5小题）?吊？吊5. （2018?厂东二模）设椭圆？?+彳=1（?>?艮0）的上顶点为B,右顶点为A,右焦点为F, E为椭圆下半部分上一点，若椭圆在 E处的切线平行于AB,且椭圆一、 一

11、，v2，一一v2的离心率为二，则直线EF的斜率是 . 24 .2、业？1【解答】解：:椭圆的离心率为一，贝U-= -? a=v2?= v2?2?2?= - ?=-椭圆方程为 J2 + ?- = T - v5 -.PFF2 的面积为一 X3v2 x v2 x=v5. .由?袋 - 2?+ ?,可得？- v2?+ ?-?= 0, ? + 2? = 2?由=2m3 - 4m2+4c2=0? m2=2c2,V E为椭圆下半部分上一点，m= - vc,0C八 L /V2 . x2+2cx+c2=0, ? E ( - c, - 一？?事？ '万则直线EF的斜率是t=二.2?4v2故答案为：了 一.

12、？ C .一 .6. （2018?齐齐哈尔二年K）已知点 P是双曲线黄=1上的一点，Fi, F2是双曲线的两个焦点，若|PFi|+| PE|=4v2,则PF1F2的面积为_v5_.【解答】解：不妨设P在双曲线的右支上, 由双曲线的定义可知|PF| TPF2|=2V2,又|PF1|+| PF2| =4v2, .|PR|=3v2, |PE|= v2,又 |F1F2|=2c=2v3,?,+?2-?1 ?2 2v5cos/ FiPF2=一，sin/ FiPF2=1,2?？33故答案为：v5.?7. （2018:可南模才K）设Fi, F2分别是双曲线:2 -.=1（?>0, ?>0）的左右焦

13、点，AB为过F1的弦（A, B在双曲线的同一支上），若|BF1|二3|AF1| ,3| AB| =| AF2|+| BF2| ,则此双曲线的离心率为工7 .2 【解答】解：根据题意，AB都在双曲线的左支上，则| AF2| 二| AFi|+2a, | BF2|=| BR|+2a,所以 |AF2|+| BF2|=|AFi|+| BR|+4a, | AB| =2a.设|BR|二3|AR|=3m, / ARF2= 8,则？?：?214?-, cos (九一9)9?2+4?用-(2?+?) 22?3?2?2?夕两式相加并化简得2b2-3am=0,即？= 23乃 3：?又 |AB|=2a=4m,所以？=

14、2.由3-夕.? - ?3-4故答案为：£?用 ?(18. （2018?山西一模）过双曲线彳-荷=1 （ a>0, b>0 ）右顶点且斜率为 2的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为?【解答】解：由题息过双曲线 彳-？2= 1 a>0, b>0 ）右顶点且斜率为2的直线,?与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率 ?<2, e>1卫?' .1 < e< 4，双曲线离心率的取值范围为（1, v5）.故答案为：（1,苫）.9. （2018?上饶一模）如图，已知抛物线 y2=4x的焦点为F,直线l过F且

15、依次交1抛物线及圆（?- 1）同理：| CD =XD+£,当 l，x轴时，则 XD=XA=1,9| AB|+| CD =15.当 l: y=k (x-1)时，代入抛物线方程，得：k2x2- (2k2+4) x+k2=0, 2?田+4xaxd=1 , xa+xd=?-,9| AB|+| CD| =5+9xA+xD> 5+2v9?p?=11.综上所述4| AB|+| CD的最小值为11.故答案为：11. + ? = 4于点A, B, C, D四点，则9| AB|+| CD|的最小值是11.【解答】解：.y2=4x,焦点F (1, 0),准线I。： x=- 1由定义得：| AF =x

16、a+1 ,一 _11又|AF=|AB+3,.|AB|=xa+2；三.解答题（共8小题）10. （2018?红桥区一模）已知椭圆 C:海与=1 （a>b>0）的离心率为 石，椭 圆C与y轴交于A, B两点，且|AB|=2.（D求椭圆C的方程；（D设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧.直线PA PB与直线 x=4分别交于M, N两点.若以MN为直径的圆与x轴交于两点E, F,求点P横坐标的取值范围及|EF的最大值.【解答】解：（I）由题意可得，2b=2,即b=1,?4 /口？吊-13-徨?= ?= 2 ？ =4，解得a2=4,.一 ,、一？2Q椭圆C的标准方程为 + ? =

17、1;(D 方法一、设 P (X0, yo) (0<xo<2), A (0, - 1), B (0, 1),所以？?= ?,直线PA的方程为？?= ?+?0 1, , 0? 0同理：直线PB的方程为？?= 尊白？?+ 1, , 0直线PA与直线x=4的交点为？?（4, 4（?1）- 1）,1),直线PB与直线x=4的交点为?（4, ' W?" + .0，一 ，一 ，4?线段MN的中点（4,制）,所以圆的方程为(?- 4)2+ (?-谓)2 = (1 - 令y=0,则(?-4)2+粤=(1-?0)2,?2?02-11因为了 + ? = 1,所以= - 4,所以(?-

18、4)2 + ?- 5=0,设交点坐标（x1, 0）,(x2, 0),可得 X1=4+v5-8 X2=4 - v5 - ?,因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解,所以5- *>0,?8-5/V8 8_、则|?- ?| = 2V5- ?(5<?<2)所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.方法二：设 P (xo, yo) (0<xo<2), A (0, - 1), B (0, 1),所以？?=，0?,直线PA的方程为？?= 0J ? 1,?0? 0同理：直线PB的方程为？?= ?+ 1, .0直线PA与直线x=4的交点为？?（4, '，J

19、） - 1）,直线PB与直线x=4的交点为？?（4, 4（ §?1）+ .01),若以MN为直径的圆与x轴相交,则+- 1X勺+1<0, ? ?16(?2-1) 即一?T4(?-1) + 4(?+1)?K0,16(?2-1)?+ - 1 <0.?因为孑+?”所以等二14'代入得到5-卷>0,解得？嘴，2.该圆的直径为|4(?+1)- 1 - ?4(?)-1)(?+ 1)1 = |2-圆心到x轴的距离为11T-1 + (安+ 2?0? 0且|?|，4?»1)1 = IL? ?该圆在x轴上截得的弦长为2"1 - ?)2- (4?0)2 = 2

20、,5 - ?,(5<?& 2);所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2.? ?资11. (2018?南充模拟)已知椭圆 C:西+?不=1 (a>b>0)的离心率为 5，点M(2, 1)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A, B两个不同的点，若/AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.? ?【解答】解：(1) :椭圆C: ?2+荷=1， ，、(a>b>0)的离心率为"2"，点M (2, 1)在椭圆C上.? ”3? ? 2:-4+ i = 1 ,解得 a=2/2, b=v2, ?= ?+ ?一一

21、 一 、一一,?吊？吊椭圆C的方程为+ =1.c=v6,1(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=koMh, 2 /又l在y轴上的截距为m, ；1的方程为yJ?+ ?. 2 2又直线l与椭圆交于A、B两个不同点, = (2m) ?= 2? ?由 92 ? ，得 x2+2mx+2m2 - 4=0.?+?=1 4 (2m24) >0,于是一2Vm<2./ AOB为钝角等价于？?？ 0,且m w 0,设 A (xi, yi), B(X2, y2),115?O贝J ?=xix2+yiy2= ?+ (2?+ ?)6？+ ?) =4 ? +(?+ ?) + ?2<0,由韦达定理xi+

22、X2= - 2m, xiX2=2m2 - 4,代入上式,化简整理得m2<2,即v2<?<v2,故所求范围是（-豆，0） U （0,崂）.?用？吊12. （2018?成都模拟）已知椭圆 C:斓+?2= 1（?>?艮0）的左右焦点分别为F1, F2,左顶点为A,离心率为（，点B是椭圆上的动点，ABF的面积的最大 ,.v2-1 值为2（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点Fi的直线l与椭圆C相交于不同的两点M, N,线段MN的中垂|?1线为1'.若直线1'与直线l相交于点P,与直线x=2相交于点Q,求而?加最小值.|?|【解答】解：(1)由已知，椭圆? V2 r

23、 C ce=?=,即 a2=2c2.a2=b2+c2,b=c.?吊？吊、&c：荷+ ?2 =（?> ?>。）的离心率为 万，则设B点的纵坐标为y0（y0W0）.则？ii?= 1(?- ?1?1 W1(? ?)?V2-1即(m2? ?)?法-i.b=1, ?= v2.?:椭圆C的万程为y + ? = 1.(2)由题意知直线l的斜率不为0,故设直线的方程为x=my-1,设 M (xi, yi), N(X2, y2), P (xp, yp), Q (2, yo).,消去x,得(m2+2) y2- 2my- 1=0.、 ? + 2? = 2 联乂 cd CCCC A? ? 1此时=

24、& (m2+1)>0.?+ ?=1- 22?平+2，? =由弦长公式，得 |?|= V1+ ?2|?- ?| = V1+ ?M?2+4?2+8?2+2?/+1 整理，得 |?|= 2v2?2-1.?+2?+?,-2又?%=?+2，冲顼一仁落|?= V1+ ?2|?- 2|=，1 + ? ?2?窘.|?| 2?2+6 v2?2+3 v2-3S?2+1)>2,J=-_= ?=(、/ + 1 +|?|2V?2+1 2 .3?2+1 2 21当且仅当v? + 1 = 2,即m=± 1时等号成立.?2-1 .|?艮得最小值2.当m=± 1,即直线l的斜率为

25、7; 1时，J:|?|?吊？吊.13. (2016秋？开封期末)已知双曲线 荷-？?=1(a>。，b>0)的两条渐近线与抛物线D: y2=2px (p>0)的准线分别交于 A, B两点，O为坐标原点，双曲线，2。. _的离心率为工, AABO的面积为2v3. 3(D求双曲线C的渐近线方程；(D求p的值.【解答】解：(I)由双曲线的离心率为2T3,3?"孽+?乎2小 所以 e=?=V'? ? ?双曲线？? - ?=1的两条渐近线方程为y=±?x，即 y=± v3x;? ?(II)由抛物线y2=2px的准线方程为x=- 2,?= v3? 由?

26、=-苫同理可得B一 ?,口 ？袋-夕?3、行/，即 A ( 5，- -yp);?= - -3?22? 3、，p) .22 H所以 | AB| = v3p,1, ? _由题意得ABO的面积为2?v3p?2=2v3,由于p>0,解得p=2v2,所求p的值为22.?14. (2017秋？道里区校级期末)已知双曲线 ？ ?-=1(?> 0, ?*0)的离心率为2,右顶点为(1,0).(1)求双曲线C的方程;(2)设直线y= - x+m与y轴交于点P,与双曲线C的左、右支分别交于点Q, R,且空? 2, |?|'求m的值.【解答】解：(1)因为？?= 2, ?= 1 , ?= 2,

27、?=必,(2)设Q点横坐标为xq,P点横坐标为xp.平行线分线段成比例定理:空?1二四 |?| |?>?一 .?= ,?+ ? 一联立：3?- ?= 3得：2x2+2mx- 3-m2=0,?=? ?-? ±"3?2+62则比二|?|-?- v3?2+6|-?+3?2+6|?+v3?2+63?2+6-?2m2=1,m=1或m=-1 (舍)与已知条件不符.15. (2017?上海模拟)已知双曲线 E ?y-.=1 (a>0, b>0),直线l: x+y-2=0, F1, F2为双曲线r的两个焦点，i与双曲线r的一条渐近线平行且过其中一个隹占 I 八、八、(D求

28、双曲线r的方程；(2)设r与i的交点为P,求/ rpb的角平分线所在直线的方程.【解答】解：(1)依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x,焦点坐标为F1 (-2,0), F2 (2, 0),?- ?= 2(2) -2' )I?？ 2=0双曲线方程为x2-y2=2;1),显然/ Fi PF2的角平分线所在直线斜率k存在,1 ?i且 k>。，？?=：, ?= -1 ,于是 帝?孝？ 二 I百为？ ？ r? 3. . .? / 3(?- 2) ? 3?0 ? 4 = 0为所求.?16. (2017?河南模拟)已知双曲线？ ？- ?= 1的左右两个顶点是 Ai, A2,曲 线C上的动点P, Q关于x轴对称，直线A