北京市丰台区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题(解析版)

1、北京市丰台区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共 10小题，共40.0分）1 .已知向量？?= （?2, - 1） , ?= （2,4, - 2）,如果？?/ ?那么 x等于（）A. - 1B. 1C. - 5D. 5【答案】B【解析】解：,向量？?= （?2，-1）, ?= （2,4, - 2） , ?/ ?2- 1一= - =,24- 2，解得？?= 1.故选：B.利用向量与向量平行的性质直接求解.本题考查实数值的求法，考查空间向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考 查函数与方程思想，是基础题.2. 一支田径队有男运动员 56人，女运动员42人，用分

2、层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么样本中男、女运动员的人数分别为（）A. 20, 8B. 18, 10C. 16, 12D. 12, 16【答案】C282【解析】解：每个个体被抽到的概率等于森西=3则样本中女运动员的人数为56+4272 242 X7= 12,样本中男运动员的人数为 56 X7= 16,故选：C.先求出每个个体被抽到的概率，再用男女运动员的人数乘以此概率，即得所求.本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题.3. 已知命题p： ?e? ?3- 1 > 0,那么？是（）A. ?e? ?3-

3、 1 < 0B. ? ?- 1 <oC. ? ?- 1 < 0D. ?e? ?- 1 <0【答案】D【解析】解：.命题"？?？ ?- 1 > 0”为特称命题，根据特称命题的否定是全称命题得到命题的否定为：？?？e? ?- 1 <0.故选：D.根据特称命题的否定是全称命题，即可得到命题的否定.本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题.4. 从1, 2, 3, 4中任取两个不同的数，则取出的两数之和为5的概率是（）“1111A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】解：从1, 2, 3,

4、4中任取2个不同的数，基本事件总数？?= ? = 6,取出的2个数之和为5包含的基本事件有：（1,4） , （2,3）, 一一、一 21.取出的2个数之和为5的概率是？?=公=不 63故选：C.基本事件总数？?= ? = 6,取出的2个数之和为5包含的基本事件有 2个，由此能求出取出的2个数之和为5的概率.本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.5. “两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：由两个三角形全等可得：两个三角形面积

5、相等.反之不成立.，“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件.故选：B.由两个三角形全等可得：两个三角形面积相等.反之不成立.即可判断出结论.本题考查了两个三角形全等与两个三角形面积相等之间的关系、简易逻辑的判定方法, 考查了推理能力与计算能力，属于基础题.MN上随机取一点 P,则点P到点M, N的距离c. 26. 已知线段MN的长度为6,在线段都大于2的概率为（）A. 4【解析】解：如图所示，- 线段MN的长度为6,在线段MN上随机取一点P, 则点P到点M , N的距离都大于2的概率为 ?=6=根据题意画出图形，结合图形即可得出结论. 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基

6、础题.,?夕?-4D. ?= ±9?7. 双曲线不-3=-1的渐近线方程是（）1 . ?= ±3? B. ?= 士;？ C. ?= ±4? 234【答案】A【解析】解：化已知双曲线的方程为标准方程?2-。= 1,可知焦点在y轴，且？?= 3, ?= 2,故渐近线方程为？?= +?= ±3?故选：A. .一. ?化万程为标准万程，可得 a, b,代入？?= ±?何得渐近线方程.本题考查双曲线的简单性质，涉及渐近线的求解，属基础题.8 .在100件产品中，有3件是次品.现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法 种数为（）A. ?孑?7B.?7+

7、?7C.?名0 -?7D.?00-?7【答案】B【解析】解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有 2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有？孑？含种，“有3件次品”的抽取方法有？金种，则共有？?7+ ?种不同的抽取方法，故选：B.根据题意，“至少有 2件次品”可分为“有 2件次品”与“有3件次品”两种情况，由 组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案.本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少” “至多” “最少” “最少”等情况 的分类讨论.9 .若直线的回归方程为?= - 2?+ 1,当变量x增加一个单位时，则下列说法中正确的是（）A.变量y平均增加

8、2个单位C.变量y平均减少2个单位【答案】C【解析】解：根据题意，直线的回归方程为B.变量y平均增加1个单位D.变量y平均减少1个单位?= - 2?+ 1，其中斜率估计值为-2,当变量x增加一个单位时，变量 y平均减少2个单位;故选：C.根据题意，由线性回归方程的意义，分析可得答案.本题考查线性回归方程的应用，关键是掌握线性回归方程的意义.10 .在长方体？?？?？中，？= ?妾 1, ?1?= 2,分另I在对角线？ ？?1升 取点M, N,使得直线？?/平面？?则线段MN长的最小值为（）A. 2B, 323C.D. 2【答案】B【解析】解：彳?，？?？点？?!,作？?？，？?？点？,线段 M

9、N 平行于又扪I面？?，？?1?/?设？= ?= ?则? = 2? ?= 2 - 2?在直角梯形？?1中，?3 = （ 2?2 + （2 - 4?2 = 18（ ?令【解析】解：某篮球运动员在赛场上罚球命中率为2, +，.当？?= 4时,MN的最小值为2.93故选：B.作？?？ ，？?？点？?!，作？?？，？?？点？，贝 I?/ ?.设？?？= ?= ?贝（!? = ?= 1 - ?由此能求出 MN的最小值.本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知 识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档 题.二、填空题（本大题共 6小题

10、，共24.0分）11 .在（2 + ?至少有一次命中的概率为？?= 1 - ?62的展开式中，？的系数为 .（用数字作答）【答案】80【解析】解：二项展开式的通项为？乐=25-?令？袋2得？的系数为2 .这名运动员在赛场上的 2次罚球中，?f = 80故答案为：80.利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令？22,求出展开式中？§的系数.利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. 212 .某篮球运动员在赛场上罚球命中率为那么这名运动员在赛场上的2次罚球中,3至少有一次命中的概率为 .【答案】9故答案为: 利用对立事件概率计算公式直接求解.本题考查概率的求法，考

11、查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题.13 .某校为了解学生对本校食堂的满意度，随机抽取部分学生进行调查.根据学生的满意度评分，得到如图所示的频率分布直方图，其中 ？?=,若这次满意度评分的中位数为b,”或“=”）【答案】0.005>【解析】解：由频率分布直方图得:(?+ 0.04 + 0.03 + 0.02 + ? X10 = 1 , 解得?= 0.005 .评分在50,70)的频率为：(0.005 + 0.04) X 10 = 0.45, 评分为70,80)的频率为：0.03 X10 = 0.3,.,中位数？?= 70 +竺詈5 X 10 => 65.

12、 0.33故答案为：0.005, > .由频率分布直方图列方程能求出a；评分在50,70）的频率为0.45,评分为70,80）的频率为0.3,由此能求出中位数.本题考查频率的求法、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题.? ?3,14 .设？?，？?分别是椭圆厂 ?= 1的左、右焦点，p为该椭圆上一点，且与左、右顶点不重合，则?勺周长为【答案】10【解析】解：由题意椭圆 ?2+ ?52= 1知：?= 3, ?= 5, ?= 2, ?周长=2?+ 2?= 6 + 4 = 10 .故答案为：10.由题意可知?周长=|?+ |?+ |?|

13、 = 2?+ 2?进而计算可得答案.本小题主要考查椭圆的简单性质、椭圆的定义等基础知识，考查数形结合思想，属于基础题.15 .演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念 .要求指导教师不能站 在两端，那么有 种不同的站法.（用数字作答）【答案】72【解析】解：根据题意，分 2步进行分析：，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；，其4名选手全排列，安排在其他 4个位置，有？2 = 24种情况，则有3 X24 = 72种不同的站法；故答案为：72.根据题意，分2步进行分析：，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法,，其4名选手全排列，安排在其他 4个位置，由

14、分步计数原理计算可得答案.本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.16 .在平面直角坐标系 xOy中，抛物线？2二 4?酌焦点为F.？勺坐标为;|?若M是抛物线上的动点，则 高?的最大值为 .|.|.【答案】（1,0）个3【解析】解：抛物线？§= 4?的焦点F的坐标为（1,0）, 若M是抛物线上的动点，设 ？?（？?,？，即有? = 4?, 抛物线的准线方程为 ？?= - 1,可得|?= ?+ 1,|? 2 + ? 2 +4 ?即有 |_!=-=4_|?+1?+1'可令?+ 1 = ?> 0）,可得?= ? 1 ,? 2+ 4?+ 1=(? 1)2

15、 + 4(? 1)?1+1? I=- 3(?- 3)2+2，当？ 3即？= 2时，上式取得最大值故答案为：（1,0）,一3由抛物线的焦点坐标公式可得所求；求得抛物线的准线方程，设？?（？?,？，即有？ = 4?,可得|?= ?+ 1,再令？ ?+ 1 , 转化为t的函数，配方即可得到所求最大值.本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查转化思想和换元法，以及化简运算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共 4小题，共36.0分）17 .已知离散型随机变量 X的分布列为:X0123P0.10.40.3m(I )求m的值；(n)求？?1 0 ?w 3)；(出)求？7?.【答案】解：(I )根据题意，由随

16、机变量 X的分布列可得：0.1 + 0.4 + 0.3 + ?= 1 , 解可得?= 0.2 ;(n )根据题意，？?1 & ?< 3) = ?= 1) + ?= 2) + ?= 3) = 0.4 + 0.3 + 0.2 = 0.9;(出)根据题意，？ = 0 X0.1 + 1 X0.4 + 2 X0.3 + 3 X0.2 = 1.6.【解析】(I )根据题意，由分布列的性质可得 0.1 + 0.4 + 0.3 + ?= 1,解可得m的值;(n )根据题意，分析可得？?1 < ?< 3) = ?= 1) + ?= 2) + ?= 3),结合分布 列计算可得答案；(出)

17、根据题意，由期望的计算公式计算可得答案.本题考查随机变量的分布列，涉及随机变量的期望、方差的计算.18 .如图，在四棱锥？?- ?底面ABCD为正方形，侧棱？?L底面ABCD,且 ?= ?= 2, E, F, H分别是线段 PA, PD, AB的中点.(I)求证：？?？平面EFH;(n)求证：？?L平面 AHF;(出)求二面角？?- ? ?勺大小.D又. ？?!面 ABCD, ?底面 ABCD,二？“ ？?又.四边形 ABCD为正方形，？?L ?又.？力?= ?，？?L平面 PAD.又. .？?，平面 PAD , .-.?£ ?又 ？?！ ?= ?，？?L平面 AHF .(m ).？

18、”面 ABCD , ?平面 PAB, 平面？平面 ABCD , .?平面 ABCD,平面？?平面？?？?？ ？?！ ？?,？，？?L平面 PAB . ? F 分别是线段 PA, PD 的中点，.？?？?,？.？?!_平面 PAB.？?2 平面 PAB, ?平面 PAB, .-.?L? .-.?L?./?是二面角？?- ?勺平面角.11。在?, ?= 2?= 1,?2 2? 1, ./? 45 ,所以二面角？?- ? ?咐大小为45 .解法二：建立如图所示的空间直角坐标系？?- ?.?0,0, 0), ?0。0), ?2,2, 0), ?0,2, 0),?0,0, 2) , ?0,0, 1) ,

19、 ?0,1, 1), ?71。0).(I)证明：.?= (2,0, - 2) , ?= (1,0, - 1), .? 2?. ?平面 EFH ,且？?？平面 EFH , .?平面 EFH .(口)解:?= (0,2, - 2) , ? (1,0,0) , ?= (0,1,1),?= 0X0+2X1+(-2) X1= 0,?= 0X1+2X0+(-2)X0=0.?L ? ?£?又. ？力?= ?.二？?面 AHF .(出)设平面HEF的法向量为？?= (?, 因为?= (0,1,0) , ? (1,0, - 1),?= ?= 0寸 则0取？?= (1,0,1).?= ? ?= 0又因为

20、平面AEF的法向量为？= (1,0,0),所以 cos < ?>=?1+0+0|?|?=2X1. < ?,?>= 45 ,所以二面角？?- ? ?勺大小为45 .【解析】（I ）要证?平面EFH ,须证PB平行平面EFH内的一条直线即可.（II ）要证？?!_平面AHF ,须证PD垂直面内两条相交直线即可.（出）求二面角？?- ? ?勺大小.必须找出二面角的平面角，求解即可.本题考查空间直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，是中档题.19.某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为100分,规定测试成绩在85,100之间为“体质优秀”

21、，在75,85)之间为“体质良好”，在 60,75)之间为“体质合格”，在0,60)之间为“体质不合格”.现从两个年级中各随 机抽取8名学生，测试成绩如下：学生编号12345678高一年级6085558065909075高二年级758565907560ab其中a, b是正整数.(I )若该校高一年级有200名学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；(n )从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，求这3人中，恰有1人“体质良好”的概率；(m)设两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的方差最小时，写出a, b的值.(结论不要求证明)【答案】解：(I )该校高一年

22、级有200名学生，则估计高一年级“体质优秀”的学生人数为：200 X 3 = 75 .8(n)高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，这3人中，恰有1人“体质良好”的概率？?= 等=25.(m)?= 75, ?= 75.【解析】(I )由统计表能估计高一年级“体质优秀”的学生人数.(n)高一年级被抽取的8名学生中，“优质良好”的有2人，从高一年级抽取的学生中再随机选取3人，利用古典概型能求出这 3人中，恰有1人“体质良好”的概率.(m)?= 75, ?= 75 .本题考查频数、概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.?夕？

23、夕.120.已知椭圆C： ?+?= 1(?> ?> 0)过点？?(2,0),离心率？?= 2,右焦点为F.(I)求椭圆C的方程；(n )过点F的直线1与椭圆C交于A, B两点，与y轴交于点P,若？? ?= ?求证：?+ ?为定值.?3 ?3.【答案】(I )解：.椭圆 C： ?,+ ?2= 1(?> ?> 0)过点？?(2,0) ,.?= 2,1一,一又 .？?= 2,.？?= 1 ,则？?= ?2 - ?= 3.?2?吊.,椭圆的方程为 + y = 1;(n)证明：方法1、由题意知，？?1,0)，可知直线ab的斜率存在，设其方程为？?= ? 1),则？?0,-?),设？?,？?)，?,?),则？ W1,一 ？.,.?=,1-?1，由?= ? ?得(?, ?+ ?= ?1 -?,-?2),?.,.?=1-?2 ，?= ? 1)联立?,得(4 ? + 3) ?-T+ T= 18?2?+ 4?- 12 =0.8?多?+ ?=E4?多-124?挈+3 故?+?=磊+蔡8?夕o 4?-2- 12? + ?2- 2?= 4?27