中考数学试题分类学科结合与高中衔接问题

1、第42章 学科结合与高中衔接问题、选择题1. （2011台湾全区，30）如图（十三），AABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交 AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE .若/ A=30； AB = AC ,则/ BDE的度数为何?A. 45B. 52. 5 C. 67. 5D.752. （2011贵州安顺，9,3分）正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分另lJ为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH .设3.（2011河北，11, 3分）如图4,在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱.设矩形的长和宽分别为y和x,则

2、y与x的函数图象大致是（图4【答案】AOABC是菱形,四边形3. （2011重庆市潼南，10,4分） 如图，在平面直角坐标系中,点C的坐标为（4,0） , / AOC= 60 ,垂直于x轴的 直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长 度的速度向右平移，设直线 l与菱形OABC的两边分 别交于点 M,N （点M在点N的上方），若 4OMN 的面积为S,直线1的运动时间为t秒（0qw4，则 能大致反映S与t的函数关系的图象是1硒图【答案】C4. （2011台湾台北，23）如图（八），三边均不等长的ABC,若在此三角形内找一点 O,使得 OAB、 OBC、OCA的面积均相等。判断下列作法何者正

3、确？A耽入）A .作中线AD ,再取AD的中点OB.分别作中线 AD、BE,再取此两中线的交点 OC.分别作AB、BC的中垂线，再取此两中垂线的交点OD.分别作 A、 B的角平分线，再取此两角平分线的交点O【答案】B二、填空题三、解答题1. （2011重庆某江，26, 12分）在如图的直角坐标系中，已知点 A （1, 0） ; B （0, -2）,将线段AB绕点A按逆 时针方向旋转 90至AC.求点C的坐标；1 右抛物线y -x2 ax 2经过点c.2求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在点 P （点C除外）使4ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明

4、理由.0B【答案】：解：（i）过点C作CDx轴，垂足为D, 在 AACD 和 ABAO 中，由已知有 ZCAD + Z BAO=90,而 / ABO+ / BAO = 90，/CAD = /ABO,又 /CAD = /AOB = 90,且由已知有 CA=AB,AACDABAO,CD = OA= i,AD = BO= 2,点C的坐标为（3, 1）（2）二.抛物线y3a 2，解得i.抛物线的解析式为y -x212ix2解法一：i）当A为直角顶点时CA至点Pi,使APiAC AB,则 ABPi是以AB为直角边的等腰直角三角形如果点Pi在抛物线上，则Pi满足条件，过点Pi作Pi Ex轴,APi = A

5、C, / EAR =Z DAC , / REA = / CDA = 90 ,EP1 EP1AA DCA , . . AE = AD=2, EP1=CD=1,可求得Pi的坐标为（1,1）,经检验Pi点在抛物线上，因此存在点Pi满足条件;ii）当B点为直角顶点时,过点B作直线LBA,在直线L上分别取BP2 BP3 AB ,得到以AB为直角边的等腰直角 ABP2和等腰直角 ABP3,作P2F，y轴，同理可证 BP2FABOP2满 P2FBO 2, BF=OA=1,可得点P2的坐标为（一2, 1）,经检验P2点在抛物线上，因此存在点足条件.同理可得点 P3的坐标为（2, 3）,经检验P3点不在抛物线上

6、.ABP1 和 ABP2综上：抛物线上存在点 R（1,1）, P2 （2, 1）两点，使得是以AB为直角边的等腰直角三角形.解法二：（2）（如果有用下面解法的考生可以给满分）i）当点A为直角顶点时，易求出直线AC的解析式为y解之可得P,（1,1）（已知点C除外）作FE x轴于E,则 AE = 2, RE =1,由勾1 21-x- x22股定理有又AB= /5,AP1 AB,P1AB是以AB为直角边的等腰三角形;B点为直角顶点时，过 B作直线L/AC交抛物线于点 P2和点P3,易求出直线L的解析式为y2,2x 2解得x12或x241 21-x-x22P2 ( 2, 1),P3 （4, 4）作P2

7、F，y轴于F,同理可求得BP2 55 ABAB为直角边的等腰三角形作P3H y轴于H,可求得 BP333 RtA ABP3不是等腰直角三角形，点P3不满足条件.综上：抛物线上存在点 P|（1,1）, P2 （2, 1）两点，使得 ABP1和ABP?是以角AB为直边的等腰直角三角形.5 2172. （2011广东铝22, 9分）如图,抛物线y 4x Tx 1与y轴交于点A,过点A的直线与抛物线交于另点B,过点B作BC，x轴，垂足为点 C （3, 0）.（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上，从原点。出发以每钞一个单位的速度向 C移动，过点P作，x轴，交直线AB于点M,抛物线于点N

8、,设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出 t的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点 P与点。，点G重合的情况），连接 CM, BN,当t为何值时，四边形 BCMN 为平等四边形？问对于所求的t的值，平行四边形 BCMN是否为菱形？说明理由.5 c 17【斛】（1）把x=0代入y -x 一x 1 ,得y 144，一 一 5 2 17.5把 x=3 代入 y x 一 *1,得丫 一，4425、.A、B两点的坐标分别（0, 1）、（3, 一）2设直线AB的解析式为y kx b ,代入A、B的坐标，得b 13k bb 15 ,解得 1 k 22 ,1所以，y x

9、 125 2 17x 一 x441(2)把x=t分力1J代入到y - x 1和y215 c 17分别得到点M、N的纵坐标为1t 1和 5t2 17t2445 o 171MN= -t2 t 1-(t 1)442点P在线段OC上移动,理套舌印费?-0t 0),正方形 EFGH与4ABC重叠部 分面积为S.当t=1时，正方形 EFGH的边长是 ;当t=3时，正方形 EFGH的边长是 (2)当0VtW2时，求S与t的函数关系式；直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？【答案】(1)2; 6;6 .(2)当0vtw一时(如图)，求 S与t的函数关系式是：S= S巨EFGH =(

10、2t)2=4t2； 11当gvtw6时(如图)，求 S与t的函数关系式是：115S= S巨形 EFGH -除HMN =4t2 - X- X2t- - (2-t) 2 = 至 *+ t-；2 34242 2当6VtW2时(如图)，求 S与t的函数关系式是:5S= SAarf -Saaqe = 1 x3(2+t) 2 -1 X3 (2-t) 2= 3t. 2 42 4由(2)知：若0 t,则当t=时S最大，其最大值 S=;1111121若_6vtW6,则当t=6时S最大，其最大值 S=18；11555若6 vtwz则当t=2时S最大，其最大值 S=6.5综上所述，当t=2时S最大，最大面积是 6.

11、5. (2011山东临沂，26, 13分)如图，已知抛物线经过 A ( 2, 0) , B (3, 3)及原点O,顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以 A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；(3) P是抛物线上第一象限内的动点，过点 P作PMx轴，垂足为 M,是否存在点P使得以点P、M、A为 顶点的三角形与 BOC相似？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1) ;抛物线过原点O,可设抛物线的解析式为y=ax2+ bx,将 A ( 2, 0) , B ( 3, 3)代入，得4a2b=0,9a3b=3.解得a=1

12、, b=2.此抛物线的解析式为y = x2+ 2x.(3分)(2)如图，当 AO为边时,以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形, .DE/AO,且 DE = AO = 2, (4 分)点E在对称轴x= 1上，点D的横坐标为1或一3, (5分)即符合条件的点 D有两个，分别记为： D1, D2,而当 x=1 时，y=3;当 x=-3 时，y = 3,D1 (1, 3) , D2 (3, 3) . (7 分)当AO为对角线时，则 DE与AO互相平分，又点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为一1,由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点 C ( 1, ,1),综上所述，符合条件的点 D共有三

13、个，分别为 D1 (1, 3) , D2 (3, 3) , C (8分)1, ,1)36. (2011上海，24, 12分)已知平面直角坐标系 xOy (如图)，一次函数 y x 3的图像与y轴交于点A,点M43在正比仞函数 y x的图像上，且 MO=MA.二次函数y=x2+bx+c的图像经过点 A、M .2(1)求线段AM的长；(2)求这个二次函数的解析式；(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点3D在一次函数y -x 3的图4像上，且四边形 ABCD是菱形,求点的坐标.3【答案】(1) 一次函数y x 3,当x=0时，y=3.所以点A的坐标为(0, 3) 4

14、333正比例函数y 3x,当y =3时，x=1.所以点M的坐标为(1,3).222如下图，AM= . 312 -13 .(2)将点 A (0, 3)、M (1, 3)代入 y=x2+bx+ c 中，得2c 3,31 b c .25 b 解得b 2c 3.即这个二次函数的解析式为(3)设 B(0, m) (m0)是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图(15.2)所示构造等腰直角三角形PRQ.当4PBR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；在的条件下，记 4PBR与COD的公共部分的面积为 S.求S关于x的函数关系式，并求 S的最大值。2解：.设以A(1,5)为顶点的二次函数解

15、析式为y a x 152 y a x 15的图像经过了点 B(5,5)2 一 一 11 a (5 1)5解得 a 一412人一 y即：y-x 1541 2119-x- x一424.如图，作点A关于y轴对称点A,与y轴交与点D,作点B关于x轴对称点B,与x轴交与直C,连接AD,AC,CB,BA.四边形ABCD的周长最小。A(1,5),B(5,1) A 1,5 , B 5, 1C四边形 abcdab bc cd daAB AB,1 5 25 1 2.1 5 25 14,2 6210 2.如图, A 1,5, B 5, 1 直线AB的解析式为y x 4，直线y x 4与直线y x的交点M 2,2 P

16、 x, y ,点Q为OP的中点2 2PBR与直线CD有公共点，M 2,2x 2. . x ，即 2 x 4 -2 21 2、一 ，、8. 2011湖北黄冈，24, 14分 如图所不，过点 F 0, 1的直线y=kx + b与抛物线y - x交于M x，y14和 N (x2, y2)两点(其中 x10,，无论m为何实数，该抛物线与 x轴总有两个不同的交点.(2) 抛物线的对称轴为直线x=3, m 3,抛物线的解析式为y12c5 1c2cx3x = x32,顶点C 坐标为（3, 2）,222解方程组x 1,-x11 25,解得1x3xy122x2y27,所以A的坐标为(1, 0)、B的坐标为(7,

17、 6) , x 36-30 -时 y=x 1=3 1=2, D 的坐标;为3, 2),设抛物线的对称轴与x轴的交点为E,则E的坐标为(3, 0),所以 AE=BE=3, DE=CE=2, 假设抛物线上存在一点 P使得四边形ACPD是正方形，则AP、CD互相垂直平分且相等， 于是P与点B重 合，但AP=6, CD=4, APCD,故抛物线上不存在一点 P使得四边形ACPD是正方形. （I）设直线CD向右平移n个单位（n 0）可使得 C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线CD的解析式为x=3 n ,直线CD与直线y=x1交于点M （3 n, 2 n）,又二 D的坐标为（3, 2） , C

18、坐标 为（3, -2） ,D通过向下平移4个单位得到C.C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或四边形 CDNM是平行四边形.（i）当四边形 CDMN是平行四边形，M向下平移4个单位得N,N 坐标为（3 n , n 2）,125125又 N 在抛物线 y x 3x上，n2 3n 33 n , 2222解得ni 0 （不合题意，舍去），n2 2,（ii）当四边形 CDNM是平行四边形，M向上平移4个单位得N,1 N 坐标为（3 n , n 6）,1 25125又 N 在抛物线 y x 3x上，n6 3n 3 3 n , 2222解得n1 1屈（不合题意，舍去），n2

19、 1 Vi7,（n ）设直线CD向左平移n个单位（n0）可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则直线 CD的 解析式为x=3 n ,直线CD与直线y=x1交于点M （3 n , 2 n ）,又; D的坐标为（3, 2） , C坐标为（3, 2） ,D通过向下平移 4个单位得到C.C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形，四边形CDMN是平行四边形或四边形 CDNM是平行四边形.（i）当四边形 CDMN是平行四边形，M向下平移4个单位得N,N 坐标为（3 n ,2 n ）,125125又 N在抛物线 y 1x2 3x 5, . - 2 n 1 3 n 3 3 n -,2222解得n1

20、0 （不合题意，舍去），12（不合题意，舍去），(ii)当四边形 CDNM是平行四边形，M向上平移4个单位得N,1 N 坐标为(3 n , 6 n),125125又 N在抛物线 yx 3x 上，6n 3 n 3 3 n 一， 2222解得ni1 717, n21 府(不合题意，舍去)，综上所述，直线 CD向右平移2或(1 )个单位或向左平移(1 J17)个单位，可使得 C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形.10. (2011湖北襄阳，26, 13分)如图10,在平面直角坐标系 xOy中，AB在x轴上，AB=10,以AB为直径的。与y轴正半轴交于点 C,连接12BC, AC.CD 是。的切线

21、，ADLCD 于点 D, tan/CAD= a ,抛物线 V ax bx c过 A, B, C 二点.(1)求证：/ CAD = / CAB;(2)求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点 E是否在直线 CD上，并说明理由；(3)在抛物线上是否存在一点 P,使四边形PBCA是直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)； 若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明：连接OC.CD 是。0的切线，. OCXCD 1分 ADXCD, . O C/ AD, O CA= Z CAD 2分 O C= O A, / O CA= / CAB ./ CAD = Z CAB. 3分 2) .AB 是。O的直径，

22、/ ACB = 90r. OCAB, ./ CAB = /OCB, CAOs BCO, . OC OBOA OC即 OC2 OA OB . tanZCAO=tanZCAD= 1, ，OA=2OC2又 AB = 10, , oc 2 2OC(10 2OC).OO0OC = 4, OA=8, OB=2.A ( 8, 0) , B (2, 0),C (0, 4).,抛物线y ax2 bxc过A,由题意得4a 2b64a 8b14, 32(3)设直线DC 交 x 轴于点 F,易证AOCADC,，AD = AO = 8.1. OC/AD,设直线OFOCAFAD16F(,0).3,m416,即kk m03

23、m. F。CA FAD, DC的解析式为y kx m,则34410 .8(BF+5)=5(BF+10), BF 3225.3) 了得顶点25的坐标为E( 3,)410将( 3,25)代入直线DC4的解析式3) +-x 4 中，4 .3右边(3)4左边.，抛物线的顶点E在直线CD上.1113(3)存在.P( 10, 6) , P2(10, 36)11(2011山东东营，24, 12分)(本题满分12分)如图所示，四边形 OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(-3,0) , ( 0,1),点1 1、D是线段BC上的动点(与端点 B、C不重合)，过点 D做直线y -x b交折现OAB与点E。2(1)

24、记A ODE的面积为S,求S与b的函数关系式；(2)当点E在线段OA上时，且tanZ DEO= - o若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形 QAB1C12试探究四边形O1AB1G与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，如不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。【答案】3解(1)由题意得B (-3,1).若直线经过点 A(-3,0)时，则b=一;2 5右直线经过点 B(-3,1)时，则b= 一 ；2若直线经过点 C(0,1)时，则b=1;311若直线与折线 OAB的交点在 OA上时，即1 vbw,如图(1),此时E (-2b, 0) ,S=-OEgCO - 2b 1222若直

25、线与折线35OAB的交点在BA上时，即_ vbv _ ,如图（222),此时点 E (-3, b-3) , D (-2b+2,1 )2SS矩-(SVOCD +SVDBE+SVOAE)1153-2b-21 + -5-2bb2222bb2u /3、b (1b -)22 35b(2pbP2)（2）如图3,设O1A1与CB相交与点M , OA与C1B1相交与点N,则矩形 O1A1 B1 C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形 DNEM的面积。由题意知,DM / NE, DN / ME , 二.四边形 DNEM为平行四边形，根据轴对称知，/ MED=/NED,又/ MDE=/NED,MD=ME ,

26、二.四边形 DNEM 为菱形。垂足为 H,依题意知，tan/DEH=，DH=1 ,2HE=2 ,设菱形 DNEM的边长为 a,则在RtA DHN中，由勾股定理知：a25-S矩dneM=NE gDH=4，矩形O1A1 B1 C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为1 2、一 ，、13. 2011湖北鄂州，24, 14分 如图所不，过点 F 0, 1的直线y=kx+b与抛物线y - X交于M X1, y14和 N（X2, y2）两点（其中 X1V0, X2V0）.求b的值.求X1?X2的值 -22 -分别过M、N作直线l: y=1的垂线，垂足分别是 Mi、Ni,判断MiFNi的形状

27、，并证明你的结论.对于过点F的任意直线 MN ,是否存在一条定直线 m,使m与以MN为直径的圆相切.如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由.-41 -【答案】解：b=1xx -x x2 一、显然 1和 2是方程组y yiyy2kx ii 2的两组解，解方程组消元得 x4i 2一一，-x2 kx i 0 ,依据根与系数关4由题知Mi的横坐标为xi, Ni的横坐标为x2,设MiNi交y轴于Fi,则FiMi?FiNi = xi?x2=4,而FFi=2,所以FiMi?FiNi=FiF2,另有/ MiFiF=/FFiNi=90,易证 RtA MiFFi RtA NiFFi,得/ MiF

28、Fi= Z FNiFi,故Z MiFNi=Z MiFFi+Z FiFNi = Z FNiFi+Z FiFNi=90,所以 MiFNi 是直角三角形.存在，该直线为 y= - i.理由如下：直线y=- i即为直线M iNi2/ i 22m （一 m i）-m2 i,4i oi o如图，设N点横坐标为 m,则N点纵坐标为一m2,计算知NN i = - m2 i , NF= 44得 NNi=NF同理 MM i=MF .那么MN=MM 1+NN1,作梯形MMiNiN的中位线PQ,由中位线性质知 PQ=1 (MM1+NN1) =- MN ,即圆心22到直线y= 1的距离等于圆的半径，所以y=1总与该圆相

29、切.214. (2011广东湛江28,14分)如图，抛物线 y x bx c的顶点为D( 1, 4),与y轴相交点C(0, 3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)(1)求抛物线的解析式;(2)连接AC, CD, AD,试证明 ACD为直角三角形;(3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.1)1)2,所以抛物线的解析式为x2 2x 3 ；(2)因为2x3,可得A(3,0),所以有AC2 (0AD2 ( 1DC2 (03)23)2 1)23)218,(4)2(3 4)220

30、,2.所以AD2DC2 AC2,所以ACD为直角三角形;2(3)可知AB 4,假设存在这样的点 F,设F(x0,x0 2x0 3),所以E(1,Xo22x0 3),要使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形，只需要AB EF 4,即|x0 1| 4,所以Xo 3或x05,因此点F的坐标为(3,12)或(5,12)。215. (2011山东枣庄，25, 10分)如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y x向左平移1个单位，再向下于点C ,顶点为D .(1)写出h、k的值；(2)判断4ACD的形状，并说明理由；(3)在线段AC上是否存在点M，使AAOM s A ABC ?若存在，求出点

31、M的坐标；若不存在，说明 理由.解： y (x h)2 k的顶点坐标为D (1, 4),h 1, k=-4 . 2 分, /2 (2)由(1)得 y (x 1)4.2当 y 0时，(x 1)4 0 .解之，得x13, x2 1 . A( 3,0), B(1,0).又当 x 0 时，y (x 1)2 4 (0 1)2 43,.C点坐标为0,-3 .又抛物线顶点坐标D 1, 4,作抛物线的对称轴 x 1交x轴于点E, DFy轴于点F .易知在 RtAAED 中,AD220;在 RtAAOC 中,AC23318;在 RtACFD 中,CD21212;AC2 CDAAACD是直角三角形.(3)存在.作

32、OM/ BC交AC于M, M点即为所求点.由(2)知， AOC为等腰直角三角形，BAC 45 , AC 压 32r1吩16.（2011湖南湘1M市，26,10分）（本题满分10分）已知，AB是。的直径,AB=8，点C在OO的半径OA上运动，PC LAB ,垂足为 C, PC=5, PT为。O的切由虫OM zABC,得公0 AMAB AC即4篝人乂苧呼过M点作MG AB于点G ,则8 9：81 99AG MG 1 J OG AO AG 3 -2.16 44又点M在第三象限，所以3 9、 M (,).4 4线，切点为T.如图，当C点运动到O点时，求PT的长;如图，当C点运动到A点时，连结 PO、B

33、T,求证：PO/BT;y , AC x,求y与x的函数关系式及 y的最小值.如图，设PT2【答案】解：（1）连接OT,图当C点运动到。点时，: PT为。的切线，. OT PT,.在 RtaPTO 中，PT JPO2 OT2 POO2 (-AB)2 J52 42 3.(2)连接AT,当C点运动到A点时，: PCXAB, PA是。O的切线. PT 为。O 的切线，PA=PT、PO 平分/ APT , POXAT. . AB 是。的直径，ATB 是直角，即 BT AT ,.PO/BT.连接 OP、OT。 AC x, CO OA AC 4 x.222 .在 Rt PCO 中，po2 pc2 co2在 RSPOT 中，PO2PT2 OT2PT242, PT2 42