分式方程的增根与无解

1、分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概 念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此.分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都 乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则 是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形：(一)原方程化去分母后的整式方程无解；(二)原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根,从而原方程无解.现举例说明如下：24x 3_例

2、i解方程_J2- -JXL- _2_ .x 2 x 4x2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2),得2 (x+2) -4x=3 (x-2).解这个方程，得x=2.经检验：当x=2时，原方程无意义，所以 x=2是原方程的增根.所以原方程无解.【说明】显然，方程中未知数x的取值范围是xw2且xw-2.而在去分母化为方程后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数.所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根.本题中方程的解是x= 2,恰好使公分母为零，所以 x= 2是原方程的增根，原方程无解.x 13 x例2解方程2 .x 22 x解：去分母后化为 x1=3x+2 (2+x).整理得0x=

3、8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了.由此可见，分式方程 无解不一定就是产生增根.例3 (2007湖北荆门)若方程 2丑=一无解，贝U m=.x 2 2 x解：原方程可化为工 = m-.x 2 x 2方程两边都乘以 x 2,得x 3=一 m.解这个方程，得x=3m.因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2,所以2=3m,解得m=1 .故当m=1时，原方程无解.【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所 以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解.但是同学们并不能因

4、此认为有增根的分式方程一定无解, 随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例.2ax3例4当a为何值时，关于 x的方程 会产生增根？x 2 x2 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2),得 2 (x+2) + ax= 3 (x2)整理得(a1) x= 10若原分式方程有增根，则 x=2或2是方程的根.把x= 2或一2代入方程中，解得， a= 4或6.【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根， 最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：2 ax无解?当a为何值

5、时，关于 x的方程-x 2 x 4此时还要考虑转化后的整式方程(a-1) x= 10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以(x+2) (x-2),得 2 (x+2) + ax= 3 (x2)整理得(a1) x= 10若原方程无解，则有两种情形：(1)当a1=0 (即a= 1)时，方程为0x=- 10,此方程无解，所以原方程无解。(2)如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解.原方程若有增根，增根为x=2或一2,把x=2或一2代入方程中，求出 a= 4或6.综上所述，a= 1或a= 4或a=6时，原分式方程无解.结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系，能帮助我们提高解分式

6、方程的正确性，对判断方程解的情况有一定的指导意义.与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类 举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。1 .已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：(1)增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。(2)增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。利用(1)可以确定出分式方程的增根，利用(2)可以求出分式方程有增根时的字母系 数的值。例1. (2000年潜江市)使关于x的方程a2 ”/2a:产生增根的a的值是（）x 22 xA. 2 B. -2C. 2D.与 a无关解

7、：去分母并整理，得：2a2 2 x 4 01因为原方程的增根为x=2,把x=2代入1,彳#a2=4所以a 2故应选Co例2. （1997年山东省）若解分式方程二上 兽二土产生增根，则m的值是（）x 1 x x xA. 1 或2B. 1 或 2C.1或 2D.1 或2解：去分母并整理，得：2x 2x 2 m 01又原方程的增根是x=0或x 1 ,把x=0或x= 1分别代入1式，得：m=2 或 m=1故应选Co例3. （2001年重庆市）若关于x的方程ax-41 0有增根，则a的值为。x 1解：原方程可化为：ax 1201又原方程的增根是x 1,把x 1代入1,得：a 1故应填“ 1”。例4. （

8、2001年鄂州市）关于x的方程上 2 上会产生增根，求k的值。x 3 x 3解：原方程可化为：x 2 x 3 k 1又原方程的增根为x=3,把x=3代入1,得：k=3例5.当k为何值时，解关于x的方程：上工 上只有增根x=1x x 1 x x 1 x 1解：原方程可化为：2,x 1 k 5 x 1 k 1 x 1把x=1代入<1>,彳3k=3所以当k=3时，解已知方程只有增根x=1。评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是：(1)将所给方程化为整式方程；(2)由所给方程确定增根(使分母为零的未知数的值或题目给出)；(3)将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。2.已知分

9、式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围例6. (2002年荆门市)当k的值为(填出一个值即可)时，方程 只有一个实数根。x 1 x x解：原方程可化为：x2 2xk 01要原方程只有一个实数根，有下面两种情况：(1)当方程1有两个相等的实数根，且不为原方程的增根，所以由 4 4k 0得卜=1。当k= 1时，方程1的根为x1 x21 ,符合题意。(2)方程1有两个不相等的实数根且其中有一个是原方程的增根，所以由4 4k 0 ,得k 1 o又原方程的增根为x=0或x=1,把x=0或x=1分别代入1得k=0, 或k=3,均符合题意。综上所述：可填”1、0、3”中的任何一个即可。例7. (2002年

10、孝感市)当m为何值时，关于x的方程21 ,无实根？x x x x 1解：原方程可化为：2x x 2 m 01要原方程无实根，有下面两种情况：(1)方程1无实数根，由 1 2 4 2 m 0,得m 7;4(2)方程1的实数解均为原方程的增根时，原方程无实根，而原方程的增根为x=0或x=1,把x=0或x=1分别代入1得m=2o综上所述：当m1或当m=2时，所给方程无实数解。4例8. (2003年南昌市)已知关于x的方程二 m有实数根，求m的取值范围。x x 1解：原方程化为：mx2 x 101要原方程有实数根，只要方程1有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可。(1)当m=0时，有x=1,显然x

11、=1是原方程的增根，所以 m=0应舍去。1(2)当 m 0 时，由 1 4m 0,得 m 。4又原方程的增根为x=0或x=1,当x=0时，方程1不成立；当x 1, m 0。综上所述：当m -且m 0时，所给方程有实数根。4评注：由以上三例可知，由分式方程根的情况，求字母系数的值或取值范围的基本思路是:(1)将所给方程化为整式方程；(2)根据根的情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值或取值范围，注意排 除使原方程有增根的字母系数的值。3 .已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围2例9.当a取何值时，解关于x的方程：土土上 二x一雪无增根？x 2 x 1 x 2 x 1解：原方程可化为：

12、2x2 ax 3 01又原方程的增根为x=2或x 1 ,把x=2或x1分别代入1得：a 5或 a 12又由 a2 240 知，a可以取任何实数。所以，当a 5且a 1时，解所给方程无增根。2评注：解答此类问题的基本思路是：(1)将已知方程化为整式方程；(2)由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使整式方程有实数根的字母系数的取 值范围；(3)从有实数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值范围。4 .已知分式方程根的符号，求字母系数的取值范围例9.已知关于x的方程1的根大于0,求a的取值范围。x 2解：原方程可化为：2x 2 a所以x 1 a2由题意，得：aa1 - 0 且1 - 2所以a 2且a 2例10.已知