两角和差正余弦公式的证明

1、两角和差正余弦公式的证明两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。下面我们就它们的推导证明方法进行探讨。由角比,Q的三角函数值表示口士力的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公 式的功能。 换言之，要推导两角和差的正余弦公式，就是希望能得到一个等式或方程，将或迪垃土用与疋,尸的三角函数联系起来。根据诱导公式，由角$的三角函数可以得到一很的三角函数。 因此，由和角公式容 易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。又因为 am( a) =cnsa3，即原角的余弦等于其余角的正弦，据此，可以实现正弦公式和余弦公式的相互推导。因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到

2、。(一)在单位圆的框架下推导和差角余弦公式注意到单位圆比较容易表示也,和在土尸，而且角的终边与单位圆的交点坐标可以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系氓必Q与CE，fi的三角 函数值的等式。1.和角余弦公式(方法1)如图所示,在直角坐标系血 中作单位圆° ,并作角c , 和一尸，使 角U的始边为血，交口 °于点A,终边交口。于点B ；角用始边为,终边交 DQ于点C;角"始边为血,终边交口。于点。从而点A, B, C和D的坐标分别为 比LQ)历五1皿+/9) DfcosSUL/J), , , °由两点间距离公式得曲晋用一弘勺a卡商= 2-2c

3、dsGz +网；;5D7 = (cos/!cos+(-ixAflsifk)7 = 22(cos(ZcjDSsiii(Zsukfi)°注意到 处=砲，因此诧抚*Q = dacos#_siii在金# °注记：这是教材上给出的经典证法。它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。注意，公式中的 a和©为任意角。2.差角余弦公式仍然在单位圆的框架下，用平面内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段，也可以得到我们希望的三角等式。这就是（方法2）如图所示,在坐标系中作单位圆& ,并作角C和P，使角U和Q 的始边均为血,交口。于点

4、C,角终边交匚°于点A角"终边交匚°于点。从而 点A, B的坐标为坏"0"口）辱旳。由两点间距离公式得AB7 =(pBsa.-tix；Jjf +(sm 伍血Q = 2-2tcos<Zcjos#T sin<Zsin闻。由余弦定理得AK2 二必 +乙仙 工场 *°夕-2£M»£cus(a-同= 2-2cos(a-)。cos(r+/f) = cos “cos护一 sin在sin p从而有。注记：方法2中用到了余弦定理,它依赖于是三角形的内角。因此,还需公式在以上和的终边共线,以及山。'大于紅

5、的情形。容易验证情形中依然成立。在上边的证明中，用余弦定理计算的过程也可以用勾股定理来进行。也可以用向量法来证明则()A ( LO> ii » Mtl IJ I71 d】* 山向肚数ht枳的定文*有(A * ()ti= trf I J (J®【m( aQ = cosWJ.由向応散嵌积的坐标隔ff(A? oB= (cos «»ct>s t/co> / - sjh &co>( a 屏) cos rtcos sin asin 占（二）在三角形的框架下推导和差角正弦公式除了在单位圆的框架下推导和差角的余弦公式，还可以在三角形中构造

6、和角或差角来证明和差角的正弦公式。1.和角正弦公式（一）（方法3）如图所示,S°为的力边上的高,皿为曲边上的高。设则。从而有AE = bcnsa CE = han a55BE=CEctitfi=bmacxA pBC=CEcscfl=bMO：cscp因此 川J Al£、吐l sintrcul/)EQ = /Bsiiid=竝cosd| sinacot 历血在。注意到BD = EC4(住+卩)=bGn acscfisin(a fl)从而有：(cos<Z4 sinacotQ丘n<£ 二sin acscfisinfa 1 fl)&h(ce +) =

7、63;n<zcos 尸 + cos <z sin 尸整理可得。注记：在方法3中,用 吕匚和与底角在,尸相关的三角函数,从两个角度来表示 恋边上高砂。,从而得到所希望的等式关系。这一证明所用的图形是基于钝角三角形的,对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的（方法4）如图所示，莎为MSC的血 边上的高，隹为曲边上的高。设ZCAB = a,则。AE AD注意到，则有迓ED，即。理5=竺=空竺型 _严创 从 而 有M 佃昶ASTSC曲攻?ADE BDpE_=AnRC=氓 血"+m<Zcds；?。利用正弦定理和

8、射影定理，将得到下面这个非常简洁的证法。注意证明利用的图形框架与方法3,4所用的图形框架是相同的。（方法5）如图所示，为的应边上的高。设ZG4ff = “， 心詡，则有 朋"-+叭 由正弦定理可得JC BC ABrnfi ana sin（d4Q5其中d为的外接圆直径。由 ABI JJCgik/f 得 rfsin(仃 I 旳 r/sin /I Htsir I r/sin r/1从而有£iik(cc +/Q = sin a uxsfi H cosmsin Q2.和角正弦公式（二）方法3,4和5利用的图形框架是将角J訐放在三角形的两个底角上。如果将这两个角的和作为三角形的一个内角

9、，将会有下面的几种证法（方法611）。（方法6）如图所示，作盛丄施于D,交皿外接圆于e,连5和。ZJME=ge ZCA£ = fi 则ZCBE=p ZAdC=a*/?设 sc的外接圆直径为d,则有,BE = d an <zBD = BEcosfl = sinCEcosp CE dw.p CD = CEun&a= rfan jTmgff所以有BC=BD 1 CD =/(siiiQcos cas(ZEm/Q注意到BC=don(a-fl)从而 血*Q =acQsy7+oos住血胃（方法7）如图所示,目。为difiC的虫；边上的高,CE为庄S边上的高。设ZJCE=a, CE=f

10、i,则"EBn"。设 Cff- A,则AE=hisKia BE=htatiflBC = hsecfi AB = j4£+hftann-I tan/f)555JW 二如 sin / 二曲 cos 便=Aftaa 住 + tan/9 cos ao又 EQ JJCGig IQ 斤沁 /fsin(r I 小从而ancr 1 tan 罚 casa =ccQsin(a+0)整理可得£iii(a * 吗=Gu tz cos# cos <r sin 0o（方法8）如图所示，作5D±OCT D,过D作DFrOA于F,兀丄砲于g。设如皿叫E,则2,设吩:从而

11、rsinff QD =rcx)sfi J<?= BD cosa =rficasa= D# = OZ)sin<z =rcossm a所以BE = BGl-= r(Etii 尸 cos 血> cosQsiACE)注意到陋才现+网，则有dik(<Z +Q = 0nacfis#l cosasin po注记：我们用两种不同的方法计算 加，得到了和角的正弦公式。如果我们用两种方法来计算加，则可以得到和角的余弦公式。由上图可得OF- (ZDcosa =fcosJ?cois<zKF CHS sin = r sm/Fsif) <X从而有 倔=卯-妙在85#_血么血网。注意到O

12、E = rux(afl) 从而可得 诅冇的三火么8血盘血0。方法6,7和8都是用角,*的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段,从而构造出我们所希望的等式关系。（方法9 ）如图所示，设CD为的应边上的高。设=圧， 八皿厂半皿,皿力，从而有AD b cos oc RD = £? cos Q1CZ> = £)sina = asin p因此=idcosctZbsin P + cos /33?sin a=£戊占(sin a cos /?+cosasin Q)又因为 从而可得Hjbc = sin XACB =丄ah sin(ff + )sinfct 4- /?) =

13、sin a cos 0 4-cos sin 0方法9利用面积关系构造三角恒等式。下面这两个证法的思路则有所不同。AB = dcosP EC = dsin/?VBD =d sin(cr+ p)由托勒密定理知AC玉D = ABJ3> + ADZBC艮卩d)/或门(氓十日 co.jKl/sin tr+dcosoG/sin 0整理即得sinter 十炉二 sin a cos B+cosasin p（方法10）如图所示，设鼻°为山的外接圆直径d,长度为d。rCAD = a, ZRAC=fi,则 ZDAB=a2,从而AB = d cos P SC = d9CD"竝匕血"

14、曲山BD =d sin(af+p)由托勒密定理知ACD = ABCCDADC艮卩dN 血(说十 Q二日co.jKi/&!n tz+dcostaG/sin 0整理即得Sin' Dr + f =5111 a CO5 ；3 t C05 珀门戸注记：这一证明用到了托勒密定理：若M 和是圆内接四边形的对角线 ，贝y有dQf sio(a+Q = dcioso（方法11）如图所示,CD为的血边上的高。设山=花,厶切二Q,则厶6 =讯0。设8丸，则屈=AD 4 BD =凰 tan tz 十 tan QJC=/isecfi -9C = ftsecZ?由正定理可徐_ AC _ BCsin(iX +

15、 j0) sin sin A_ AC月C即从而即整理即得sin(cr + JJ) cos p cos aAB AC + 5Csiti(a+y?) cas/?+e*sffXtan + tan 0) _ /i(secCK±5ec/?)sin(£r+P)cos 0+ cos asi n(oc +j3) = a cos 仔十 cos 兌 sin 0方法10和11将某一线段作为基本量，利用与角。,相关的三角函数表示其它线段，再通过联系这些线段的几何定理(托勒密定理或正弦定理),构造出我们希望的等式关系。3.差角正弦公式仍然还是在三角形中，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。方法12

16、和13便是用这种想法来证明的。厶 CB 二一（方法12）如图所示,2设 /LABC=a= 记 SU =b从丽整理可得砲丄皿于E,则 SDK-p, ZADEa ,从而有CD = J sin /? DE b sin(tz 9DA DE sec a. =b sin.(復 _ p) sec ex.因此有AC = CD +D4 = S(siii 0+ sing 3) see fl)注意到= ieos/? AC = BC tan a? = i cos /?tan «sin (3 sinftz p) sec a = cos p tan asin(cr -0- sin a cos p cosasin

17、 0（方法13）如图所示,血为的外接圆直径，长度为d。设厶吻ZCW = XJ,则尸，ACAB =。从而AD =d cos a BD = e/sin arBC d sin(£- AC = d cos(a - /?)DE = .4Z)tan/?- rfcostan /?BE - SCc3= rfsin(a-/?)sec/?所以BD =EE DE = e/(sin(ct /?)sec/? + cos£Z tan p)注意到RD"鈕a爪而sin a = sin(a - p sec J3 + cos a tan P整理可得sin(cii -Q) = sin«cos

18、/?- cos a sin /?方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段，借此来构造等式关系。很显然，在这十二种证法中，方法1和2更具普遍性。换言之，这两种方法中出现的角C , /是任意角。而其余方法中,角“和©则有一定的限制,它们都是三角形 的内角(甚至都是锐角)。因此，对于方法313,我们需要将我们的结果推广到角征和卩是任意角的情形。具体而言，我们要证明：如果公式对任意2成立，则对任意角也成立。容易验证，角。和中至少有一个是轴上角(即终边在坐标轴上的角),我们的公式是成立的。下面证明,角/和"都是象限角(即终边在坐标系的某一象限中的角)时,我们的公式也成立。不妨设"为第二象限角,"为第三象限角,从而有r兀