IIR数字滤波器设计课件

1、第6章 IIR数字滤波器设计 6.1 6.1 数字滤波类型与指标数字滤波类型与指标 6.2 6.2 模拟滤波器设计模拟滤波器设计6.3 6.3 设计设计IIRIIR滤波器的脉冲响应不变法滤波器的脉冲响应不变法6.4 6.4 设计设计IIRIIR滤波器的双线性变换法滤波器的双线性变换法6.5 6.5 设计设计IIRIIR数字滤波器频率变换法数字滤波器频率变换法6.6 IIR6.6 IIR数字滤波器的计算机辅助设计数字滤波器的计算机辅助设计 第第6章章 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 滤波的目的n为了压制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例n广义滤波包括对信号的检测与

2、参量的估计w信号的检测:确定在干扰背景中信号是否存在w信号参量的估计:为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值 6.1 数字滤波类型与指标数字滤波类型与指标 滤波技术包括:n滤波器设计:根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数， n滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号的进行滤波的目的1.1.数字滤波器的频率特性数字滤波器的频率特性数字滤波器n具有某种特定频率特性的线性时不变系统n广义上，任何线性时不变离散系统都是一个数字滤波器设计数字滤波器的任务n寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其系统函数H(z)具有指定的频率特性0)()()(nnjezjenhzHeH

3、j0)()()(nnjezjenhzHeHj对因果稳定的线性时不变系统：)(jeH:滤波器的传输函数H(z):系统函数h(n) :滤波器的单位脉冲响应)()()(jjeHeH)(Im)(Re)(22jjeHeHH)(Re)(Im)(jjeHeHarctg)(H：幅度响应)(：相位响应22Tfss2/sDF按频率特性分类按频率特性分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通可分为低通、高通、带通、带阻和全通特点为特点为l数字频率以数字频率以 周期周期2l频率特性只限于频率特性只限于 范围，依取样定范围，依取样定理，理， 对应于实际模拟抽样频率的一半对应于实际模拟抽样频率的一半 )(sfT频率变量以数字

4、频率频率变量以数字频率 表示表示 其中其中 模拟角频率，模拟角频率，T抽样时间间隔，抽样时间间隔，fs 抽样频率抽样频率理想滤波器的频率响应 )e (Hj0sp1p：通带波纹：通带波纹s：阻带波纹：阻带波纹：过渡带：过渡带：通带截止频率：通带截止频率p：阻带截止频率：阻带截止频率sDF的性能要求（低通为例）的性能要求（低通为例）1p1psps)(jeH从信号不失真角度讲通常要求n相位线性)(为时延常数具有群恒时延特性 常数)()(dd)(相位响应2 2IIRIIR和和FIRFIR数字滤波器数字滤波器 IIR滤波器的系统函数通常可表示成的有理分式FIR滤波器的系统函数则可表示为的多项式 设计过程

5、一般包括以下三个基本问题： n根据实际要求确定滤波器性能指标；n用一个因果稳定的系统函数去逼近这个指标；n用一个有限精度的运算去实现这个传输函数 w问题1、3与实际的要求及实现的硬件条件有关w本章主要讨论问题2，即系统函数的设计(或逼近)问题。 3 3设计设计IIRIIR滤波器的几种方法滤波器的几种方法 IIR数字滤波器的系统函数可表示为的有理分式 11101)(zazbzHkNkkNk 设计IIR滤波器的系统函数，就是要确定H(z)的阶数N（通常称N为滤波器的阶数）以及分子分母多项式的系数jezjkkzHeHba)()(，使其、 满足指定的频率特性(1)(1)利用模拟滤波器的理论来设计利用模

6、拟滤波器的理论来设计 模拟滤波器研究较早，理论已经十分成熟，有许多简单而严谨的设计公式和大量的图表可以利用，利用这些现有技术来解决数字滤波器的设计问题采用这种方法时，要先要设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字滤波器这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻等当把模拟滤波器的H(s)转换成数字滤波器的H(z) 时，要实现S平面向Z平面的映射，必须满足两个条件 必须保证模拟频率映射为数字频率，且保证两者的频率特性基本一致n要求变换后代表S平面的虚轴j应映射到Z平面的单位圆n且数字滤波器的频率响应和模拟滤波器频率响应的形状应基本保持不变； 因果稳定的

7、模拟滤波器系统函数H(s)转换成数字滤波器传输函数H(z)后，仍然是因果稳定的n要求S平面左半平面的极点必须映射到Z平面的单位圆内 两种常用的方法 n脉冲响应不变法：从时域的角度出发进行映射n双线性不变法：从频域角度出发进行映射(2)(2)利用最优化技术进行利用最优化技术进行CADCAD设计设计 若需设计滤波器的幅频特性是任意的或者形状比较复杂，可采用计算机辅助设计(CAD)方法进行优化设计设计思想)(jdeH 希望滤波器的幅频响应： )(jeH 设计滤波器的幅频响应： 选择一种最优化的准则，例如采用最小均方误差准则 )()(jjdeHeH、设在指定的一组离散的频率点 Mii,2,1,的均方误

8、差 221()()iiMjjdiHeHe 求解H(z)的系数，、kkba使均方误差最小 当滤波器阶数 N 较高时，转换为一个多变量最优化问题，需要大量的迭代运算，因此必须采用CAD的方法。 6.2 模拟滤波器设计 IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成熟技术而完成的简单介绍模拟滤波器设计的一些基本概念，并介绍两种常用的滤波器的设计方法 ：n巴特沃思(Butterworth)滤波器n切比雪夫(Chebyshev)滤波器621模拟滤波器设计的基本概念 1 . 模拟滤波器的频率特性与衰减特性模拟滤波器的频率特性与衰减特性 滤波器的频率特性主要取决于构成滤波器系统的系统函数 jssHjH| )()(

9、工程设计中给定的指标往往是通带和阻带的衰减，它一般用反映功率增益的幅度平方函数或称模方函数来定义dBjHjHA| )(|lg20| )(|lg10)(2 当要求滤波器具有线性相位特性（延时为常数）时滤波器的频率特性为H jH jej()|()|()(，2. 归一化与频率变换归一化与频率变换 采用归一化参数n设计结果具有普遍性n计算方便归一化包含：n电路参数归一化：将系统中无源元件的阻抗或运算阻抗分别除以基准电阻(系统的负载电阻值)。 n频率归一化：将所有的频率都除以基准频率（滤波器的截止频率）w计算实际电路参数时应要将归一化频率乘以截止频率，进行反归一化n频率变换：从归一化低通原型滤波器到高通

10、、带通、带阻等其它类型的滤波器的变换方法3 . 从模方函数从模方函数 求模拟滤波器的系统函数求模拟滤波器的系统函数H(s) 当不含有源器件，作为一个因果稳定、物理可实现的系统函数必须满足的条件 |()|H j2a、是一个具有实系数的s有理函数 )(/ )()(sDsNsHb、所有极点必须全部分布在s的左半平面内 c、分子多项式式N(s)的阶次必须小于或等于分母多项式D(s)的阶次 正实函数正实函数 实函数的傅立叶变换存在共轭对称的性质 HjHj*()()()(| )(|2jHjHjH)()(sHsHjs|()|()*()()()H jH jHjH jHj2有 得平面的虚轴，解析延拓代表sj从给

11、定的模方函数求出所需要的系统函数的方法 a、解析延拓,令s= 代入模方函数得到 ,并求其零极点 jH s Hs( )()b、取 所有在左半平面的极点作为 的极点 )(sHH s Hs( )()c、按需要的相位条件(最小相位,混合相位等)取一半的零点构成 的零点 )(sHH s Hs( )()4 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计-逼近问题逼近问题 pAsA：通带衰减：通带衰减：阻带衰减：阻带衰减,：与通带衰减、阻：与通带衰减、阻带衰减有关的系数带衰减有关的系数 ：通带截止频率：通带截止频率：阻带截止频率：阻带截止频率ps寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性所谓逼近问题最常用的具有优良性能的滤波器

12、：n巴特沃思(Butterworth)滤波器n切比雪夫(Chebyshev)滤波器n椭圆(elliptic)函数或考尔（Cauer）滤波器n实现线性相位的贝塞尔滤波器2110log()1pA 2110log()1sA 之间的关系、与sPAA,622巴特沃思Butterworth低通滤波器 1基本性质基本性质 BW滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数BW的低通模平方函数表示 , 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc指定 、 后，带 到上式，得pApp0.122211|()|101(/)1pApNpcH j 10101 . Ap13时，当dBAp指定 、 后，带 到上式，得sAs

13、s0.122211|()|101(/)1sAsNscH j 1010 1 . As用3dB截止频率 来规一化：对频率进行 ，下式变为 c /c, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc|()|()H jN2211讨论：|()|()H jN2211当 =0 时， =1 ,取最大值|()|H j2当 时， =0.5,取3dB值)( 1c|()|H j21)(/, 1/22接近时，很小，通带jHNNcc0)(/, 1/22接近时，很大，通带jHNNcc阻带内，由于|() |()HjjjcN221 或 AH jNjjsc 10202lg|()|lg()幅度随着 N的增加阻带衰减近似为6N d

14、b/倍频程。 N越大，频带特性越接近理想矩形特性 |()|()H jN2211上式的台劳级数展开为 ：NNjH4221| )(|12 , 2 , 1, 0| )(|02NkjHddk =0处函数对2Nl阶导数都等于零曲线在 =0附近是最“平坦”,巴特沃思滤波器又叫做“最大平坦滤波器” 归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性 2设计过程设计过程 (a)按给定指标确定阶次按给定指标确定阶次N 222)(Nps)/lg()110/() 110lg(21)/lg()/lg(1 . 01 . 0psAApspsN)/lg()110lg()/lg()lg()/lg()/lg(1 . 0csAcscssN实际计

15、算时，要对上式求得的数值取整加1。若给定的指标 =3dB, 即通带边频 时, =1,可求得cppA(b)从模方函数求系统函数从模方函数求系统函数H(s) 求得极点求得极点 , 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc带入上式，得： js0)(12Ncjs)12() 1(kje由于NkesNNkjck2 , 2 , 12/)12(分析讨论c在归一化频率的情况 =1，极点均匀分布在单位圆上 NkesNNkjk2 , 2 , 12/)12(对于物理可实现系统,它的所有极点均应在 s的左半平面上 系统函数的构成系统函数的构成 滤波器的极点求出后，可取左平面上的所有极点构成系统函数 )(1)(1

16、iNissAsH对于低通滤波器，为了保证在频率零点 =0处， =1，可取| )(|jHNiiNsA1) 1()() 1()(1iiNiNssssH因此得 例例6 6-2-1举例说明系统函数的构成 设计一巴特沃思滤波器，使其满足以下指标: 通带边频 =100k rad/s, 通带的最大衰减为 =3dB，阻带边频为 =400k rad/s,阻带的最小衰减为 =35 dBpApsAs解解:由于通带边频就是3dB 截止频率，即 cp11101 . 0pA2 .561101 . 0sA确定阶次N，9 . 24lg2 .56lg)/lg()/lg(csN3N取求左半平面的极点: sekkcjkNN()/,

17、 ,21212 3,3/21jces,2jcessecj323/得极点：构成巴特沃思滤波器传输函数H(s)为 H ss s sssssssssscccc( )()()()1 231233322322相对截止频率 归一化，得归一化巴特沃思滤波器传输函数 cHsa( )Hssssa( ) 122132一般一般N阶归一化巴特沃思滤波器传输函数阶归一化巴特沃思滤波器传输函数 表示表示 Hsssa sa sassaiNiNNN( )()111112211是 =1时的极点，分布在单位圆上 sic分母一般称为巴特沃思多项式，其系数可通过查表求得,见表5-2-1 表6-2-1 巴特沃思多项式系数 Na1a2a

18、3a4a5a6a7a8a9 21.4142 32.00002.0000 42.61313.41422.6131 53.23615.23615.23613.2361 63.86377.46419.14167.46413.8637 74.494010.09714.59214.59210.0974.4940 85.152813.13721.84625.68821.84613.1375.1528 95.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.392

19、5表6-2-2 巴特沃思多项式因式分解 N 巴 特 沃 思 多 项 式1 s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180+1)6(s2+0.5176s+1)(s2 +1.412s+1)(s2 +1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s

20、2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)上述归一化公式和表格是相对3dB 截止频率 给出的。由指定的技术指标 利用上述公式和表格进行设计时，最关键的2个参数是滤波器的节数N和3dB 截止频率 。N用来求巴特沃思多项式， 用来反归一化，求实际滤波器的参数。ssPpAA,ccc623 切比雪夫滤波器 63 设计IIR滤波器的脉冲响应不变法利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H（z），这归根到底是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映

21、射到Z平面的单位圆上。2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即S平面的左半平面 ReS0 应映射到Z平面的单位圆以内|Z|1。1 1脉冲响应不变法脉冲响应不变法 原理：原理：从时域响应出发，使求得的数字滤波器的单位脉冲响应h(n)等于模拟滤波器的单位冲激响应h(t)的抽样值。 nTtthnh)()(1(),( )Hsh tLHs如 果已 知则 有 ：（）则可由下式求的H（z）： )()()(nThZnhZzH下面讨论两种常用的映射变换方法。方法方法：将H(s)表示为部分分式形式 kkNkssAsH 1)( 其拉氏反变换为 得到数字滤波器的单位脉冲响应 对上式两边取Z变换得 )

22、()(1tueAthtskNkkNknTskNknTsknueAnTueAnhkk11)()()()(111)(zeAzHTskNkk（6-2-3） 根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系maamTjsHTsH21)(推导理想采样信号的拉氏变换与采样序列的 Z 变换之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。 nnsTnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()( )()()(aaaannznhzH)()(sTez s平面与z平面的映射关系 以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变换，正是拉氏变换到Z变换的

23、标准变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射关系映射到 Z 平面上。STez如果模拟滤波器的系统函数是稳定的，其极点应位于左半平面 111)(zeAzHTskNkk0kesR 对应Z平面的极点有 1Tskkez 位于单位园内。因此H(z)是一个稳定的离散系统函数，这说明由一个稳定的模拟滤波器得到了一个稳定的数字滤波器 w稳定性w映射关系jjT2jsrezj,令TerT,则S平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外， 轴映射到单位圆上， 轴上每一段 都对应于绕单位圆一周。

24、T2j0TT3T3T)Im( zj)Re( z0S 平面Z 平面: 应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与 H（Z）的关系，而不是Ha(s)本身与H（Z）的关系，因此，使用脉冲响应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：TmjjHTeHamj21 mezmTjsHTsHzHST21)(aa如果模拟滤波器的频率响应是带限于折叠频率之内，即 这样数字滤波器的频率响应才能等于模拟滤波器的频率响应 H jTs()

25、02H eTH jTj()()1但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。)(jeH)(TjHa00脉冲响应不变法中的频响混淆注意：高通和带阻滤波器一定不能满足避免频率混迭要求，将会产生混叠脉冲响应不变法不适合用来设计高通和带脉冲响应不变法不适合用来设计高通和带阻数字滤波器。阻数字滤波器。例 将一个具有如下系统函数 的模拟滤波器数字化。 解： 3111) 3)(1

26、(2)(sssssHTTezezzH3111111)(243131)(1)(zeeezeezTTTTT模拟滤波器的频率响应为: 示于图a4)3(2)3)(1(2)()(2jjjsHjHajs数字滤波器的频率响应为: 显然 与采样间隔T有关,如图b,T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠可忽略不计,为什么混迭呢? 2433)(1)()()(jTjTTjTTezjeeeeeeeezHeHj)(jeH3 3几点修正几点修正 1 1）、消去）、消去T T的影响的影响 H eTH jTj()()1由由上上式可见，式可见，数字频率响应与模拟频率响应的第一差别是具有一数字频率响应与模拟频率响

27、应的第一差别是具有一个乘法因子个乘法因子(1/T)=(1/T)= f fS S，当采样频率，当采样频率f fS S很高时，将会使滤波器的增很高时，将会使滤波器的增益很大，这往往是不希望的，为此可对益很大，这往往是不希望的，为此可对下下式作修正式作修正：nTtthnh)()(h nTh ttnT( )( )令令2 2）、直接用数字频率表示的求）、直接用数字频率表示的求H( (z) )的公式的公式在实际滤波器设计中，因模拟滤波器系统函数的表格大都是归一化在实际滤波器设计中，因模拟滤波器系统函数的表格大都是归一化低通原型低通原型 ，其滤波器，其滤波器3dB3dB点截止频率都归一化在点截止频率都归一化

28、在c 1Hsa( )原因：可将设计公式及有关参数表格化，使之更通用。我们只要原因：可将设计公式及有关参数表格化，使之更通用。我们只要知道滤波器的阶数，就可直接查出低通原型的系统函数。知道滤波器的阶数，就可直接查出低通原型的系统函数。Hsa( )c当滤波器的实际截止频率不等于当滤波器的实际截止频率不等于1 1时，须进行所谓反归一化，时，须进行所谓反归一化，以以(s/ )(s/ )代替代替 中的中的s s，即实际低通滤波器的系统函数即实际低通滤波器的系统函数H( (s) )应为应为H sHsac( )(/)H sHsAssAssackNkckkNkckc( )()(/)11H sHsac( )(/

29、)1( )NkakkAHsss为模拟归一化原型系统函数的极点 skH zZ Th tTAezkNkcs Tkc( )( ) 111有由,TccH zAezkNkcskc( ) 111例例5-3-15-3-1利用脉冲响应不变法设计一个4阶巴特沃斯型数字低通滤波器，满足以下指标(A) 若采样周期T=10s，求实际模拟截止频率fc， (B) 3dB截止频率=0.2弧度。kHzfsradfTcccc102,/1020102.035有由,Tcc解：先计算模拟截止频率，设计数字低通滤波器分三步：4 , 1,) 18478. 1)(17654. 0(1)(8)142(22kessssssHkjka第一步 查

30、巴特沃斯数字低通滤波器原型表，求得系统函数 第二步 部分分式分解并求AkH sAssAsskakkkkk iik( ),(),144114第三步 将 代入下式，kcksA及、整理并化简求得H(z)的实系数二次形式 H zAezkNkcskc( ) 111H zAezkkcskc( ) 1411101847760884821 1314950618231847760409811 108704031317112112.zzzzzz小结 1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，与是线性关系。 因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响

31、应与频率的关系。 例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应不变法。 TjHeHaj/)()( 3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 的频带，再用脉

32、冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响应时才采用。 2s64 设计IIR滤波器的双线性变换法1 1设计方法设计方法)( jH)(jeH 从频域响应出发，直接使数字滤波器的频域响从频域响应出发，直接使数字滤波器的频域响应应 ，逼近模拟滤波器的频域响应逼近模拟滤波器的频域响应 , ,进而求出进而求出H H( (z z) )。脉冲响应不变法的主要缺点脉冲响应不变法的主要缺点：n对时域的采样会造成频域的混叠效应，因而有可能对时域的采样会造成频域的混叠效应，因而有可能使设计的数字滤波器的频域响应与原来模拟滤波器使设计的数字滤波器的频域

33、响应与原来模拟滤波器的频域响应相差很大，而且不能用来设计高通和带的频域响应相差很大，而且不能用来设计高通和带阻滤波器阻滤波器原因：原因：从从S S平面到平面到Z Z平面的映射是多值的映射关系平面的映射是多值的映射关系双线性变换的映射过程 脉冲响应不变法的映射过程 双线性变换法的改进 为避免为避免频域的混叠频域的混叠，分两步完成，分两步完成S S平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射TT，v将将S S平面压缩到某一中介的平面压缩到某一中介的S S1 1平面的一条横带域平面的一条横带域v通过标准的变换将此横带域映射到整个通过标准的变换将此横带域映射到整个Z Z平面上去，平面上去， 为了将S平面的j

34、轴压缩到S1平面j1轴上的/T到/T 一段上，可通过以下的正切变换实现：0)2(tg1Tc这里C是待定常数， 经过这样的频率变换， 当由 时, 1由-/T经过变化到/T ，即S平面的整个j轴被压缩到S1平面的2/T 一段。实现方法：通过标准变换关系映射到Z平面，将1映射到Z平面的单位圆上 Tsez1通常取C=2/T,TsTseecTscs1111)2(th1zzTsTsez1再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到S平面到S1平面的映射关系：最后得S平面与Z平面的单值映射关系： 双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴(整个

35、j)对应于Z平面 单位圆的一周，S平面的=0处对应于Z平面的=0处，对应即数字滤波器的频率响应终 止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。zzTssTsTz)/()/(双线性变换的映射关系满足关于映射关系可行性的两个条件 （1）S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上；（2）位于S左半平面的极点应映射到Z平面的单位圆内。 2 12()21jjesjtgjTTe,jez 令112 11zsTz带入表达式得：说明S平面的虚轴 映射成了Z平面的单位圆sj令 , 带入表达式1/ 21/ 2T szT s得： 即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所

36、得到的数字滤波器也是稳定的。2222221221|,221221 TTTTzTjTTjTz01| ,0;1|zz时时小结 1) 与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点：S平 面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重非线性关系得到的），即整个j轴单值的对应于单位圆一周，关系式为：22tgT可见，和为非线性关系，如图所示。 图2 双线性变换的频率非线性关系 由图中看到，在零频率附近，接近于线性关系，进一步增加时，增长变得缓慢， (终止于折叠频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象。,时 2)双线性变换缺点： 与成非线性关系，导致： a. 数字滤波器

37、的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上发生畸变)。 例如，一个模拟微分器，它的幅 度与频率是直线关系，但通过双线性变换后，就不可能得到数字微分器bktgjHeHbkjHtgj2)()()(2b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为非线性相位。 c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。 )计算H(Z) 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器的传递函数。 置换过程: 频响：

38、 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa22)()(22tgTjHjHeHatgTaj这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率k。2）由变换关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率值k。3）根据k设计模拟滤波器的Ha(s)4） 把Ha(s) 变换成H(z)（数字滤波器系统函数） 下面举例讨论两种变换法在IIR数字滤波器设计中的应用。例例1 设采样周期 ,设计一个三阶巴特

39、沃兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法求解。 解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按c =2fc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率c 归一化的三阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：322211)(ssssHa32)/()/( 2)/( 211)(cccassssHcs /)4(250khzfsTs以 代替其归一化频率，得： 为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根，将上式写成部分分式结构：2/)31 (3/2/)31 (3/)(6/6/jcsecjcseccscsHajj6/2113/;,jcce

40、cAsA2/)31 (,3/;2/)31 (36/32jsecAjscjcNiTSiZeAZHi111)(iS对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 ,有将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数： 极点 并将 代入，得： 合并上式后两项，并将 代入，计算得： 12/ )31(6/12/ )31(6/11)3/(1)3/(1/)(ZeeTZeeTZeTZHjjcjjcCccc5 . 02Tfcc21112079.01905.015541.0571.12079.01571.11)(ZZZZTZHTcc/ 可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z）的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应

41、用脉冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再乘以因子T,使H（Z）只与 有关，即只与fc和fs的相对值 有关，而与采样频率fs无直接关系。 例如， 与 的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所有的数字滤波器设计。 最后得：scff /21112079. 01905. 015541. 0571. 12079. 01571. 1)(zzzzZHCKHzfKHzfcs10,40KHzfKHzfcs1,4 b. 双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率 5 . 02TfccTtgTcc222cs/32)/()/(2)/(211)(cccassssHTc/2（二）根据频率的非线性关系，

42、确定预畸的模拟滤波器临界频率(三 ) 以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数并将 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。311211111121111211211)()(11zzzzzzsHZHzzTsa 231112312111121131311131313111113131311212113131312111312122122211111141111111211111211211zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响脉冲响应不变法双线性变换法fs/2我们也可以用 MATLAB 完成设计，在 M

43、ATLAB 中相关的语句有butter（巴特沃兹滤波器） 、impinvar（脉冲响应不变法） 、bilinear（双线性变换） ，具体的程序如下：B,A=butter(3,2*pi*1000,s); num1,den1=impinvar(B,A,4000); h1,w=freqz(num1,den1); B,A=butter(3,2/0.00025,s); num2,den2=bilinear(B,A,4000); h2,w=freqz(num2,den2); f=w/pi*2000; plot(f,abs(h1),-.,f,abs(h2),-); grid; xlabel(频率/Hz )

44、ylabel(幅值/dB)020040060080010001200140016001800200000.10.20.30.40.50.60.70.80.91频 率 / Hz幅值频率/Hz三阶巴特沃兹滤波器的频率响应幅度/dB 图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法，由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折 叠频率处 形成一个三阶传输零点,这个三阶零点正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的。因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲响应不变法存在混淆,且没有传输零点。, 1Z进行频率变换有以下两种基本方法 ：65 设计IIR数字滤波器频率变换法

45、第一种方法的简化的形式：n找出归一化模拟低通原型与数字高通，带通和带阻滤波器之间的从S域到Z域的变换关系n直接由归一化模型低通原型变换成所需的数字滤波器在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中的S代之以1/S，就可得到数字高通滤波器. 即11112zzTs1归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换 由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，也不会影响双线变换后的稳定条件，而且 轴仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。jjjctgTeeTseZjjj22112,时22ctgT如图即 映

46、射到 即 映射到 即 图1 高通变换频率关系 这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模拟低通变为数字高通,如图2。22ctgT01z1z01.01.00 图2 高通原型变换 应当明确： 所谓高通DF，并不是高到 ，由于数字频域存在 折叠频 率 ，对于实数响应的数字滤波器， 部分只是 的镜象部分，因此有效的数字域仅是 ，高通也仅指这一段的高端，即到 为止的部分。 高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型预畸的临界频率时，应采用 ,不必加负 号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。2由0由022kkctgT例例 ： 采样

47、设计一个三阶切比雪夫高通DF，其通过频率 （但不必考虑 以上的频率分量），通带内损耗不大于1dB。 解：首先确定数字域截止频率 , ,100,10usTkHzfskHzf5 .2kHzfs525.0211Tf22211TctgT1222/11)(NaVjH)(NV则切比雪夫低通原型的振幅平方函数为：为N阶切比雪夫多项式通带损耗 时，N=3时,系统函数为：5089. 01101 . 03212131319883. 0238. 14913. 04913. 0)(ssssHadB1为方便，将 和 S 用T/2归一化， 则12, 12/11TssT329883. 0238. 14913. 04913.

48、 0)(ssssHa于是 321321112041. 06043. 03432. 013311321. 0)()(11zzzzzzsHZHzzsa图3 三阶切比雪夫高通频响2归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频率变换率变换 直接寻求模拟低通到数字带通之间的映射关系 l0uslsus ： 中心频率 ：下边频和上边频 ：下阻带上边频 ：上阻带下边频 ：模拟的阻带下边频 c:模拟的3DB截止频率 0000zesj(零点) 01,zsj(极点) 数字带通到模拟低通的映射应满足的映射关系 满足以上关系的变换式为: sszezezzzzzjj()()()()()co

49、s0011211202稳定变换：S平面稳定的函数变换到Z平面也是稳定的 例如设0z=r1,则有 01)cos1 (2)1 (11cos2202202rrrrrrs表明：Z平面单位圆内的极点变到了S平面的左半平面 jez 其次令 代入上式，可得频率变换关系 jjeeesjjjsincoscos11cos20202表明：Z平面单位圆变换到了S平面的虚轴 模拟低通与数字带通的频率变换 sususbsincoscos01c当 时，反归一化处理csp/) 1(1cos2202zzzspcc)2cos()2cos(cos0luuluucsincoscos0例例6-5-3 设计一个三阶巴氏数字带通滤波器对模

50、拟信号滤波,上下边带的3dB截止频率为 =12.5kHz, =37.5kHz,阻带边频 = 45.125 kHz,采样频率为 =100kHz。并求阻带的最小衰减。 f21f2sfsf解: 1）先确定上下边带的3dB数字截止频率，及上阻带下边频 radffs75. 010/105 .372/253113522/212.5 10 /100.25lsffradradffssu925. 010/10125.452/25322）确定数字中心频率: 0)2cos()2cos(cos212100()/ 20.5lu得：3512/237.5 10 /100.75usffrad3522/245.125 10 /

51、100.925sussffrad3）求模拟低通截止频率和阻带下边频 01coscoscos0.5cos0.751sinsin 0.75ucu 0coscoscos(0.5 )cos(0.925 )4.1653sinsin(0.925 )sussu 4）求 , 当 =1时,三阶巴氏低通滤波器的传输函数为: Hsa( )cHssssa( ) 1221325）求H(z),将 代入上式得 szzzzz2022221111cosH zHszzzzaszz( )( )22112464121333fs26）求相对 =45.125kHz处的阻带的最小衰减。由下式 sANcssjH1 . 02210)/(11|

52、 )(|得：)/(11log10210NcssA代入 和 及N=3，求得 csdBAs18.37例6-5-3设计的带通滤波器的幅度响应与相位响应652 数字域频率变换法 在已知数字低通滤波器时，通过在Z域内的数字频域变换得到所需类型的数字滤波器 假定变换前的平面为z平面，变换后的为Z平面，这种变换就是要将z平面的系统函数 映射成Z平面的系统函数 。假设从z到Z的映射关系为 )(zHL)(ZHd)(11ZGz)(11| )()(ZGzLdzHZH则有：变换函数 必须满足以下三个条件： )(1ZG（1）为满足一定的频率响应要求，z域的频率必须变换成Z域的频率，也就是说平面的单位圆必须映射到Z平面的

53、单位圆上； （2）为保证由因果稳定的系统变换得到的系统也是因果稳定的，要求平面的单位圆内部必须映射到Z平面的单位圆内部； （3）由于 是z-1的有理函数，为了保证变换后的 也是Z-1的有理函数，要求变换函数 必须是Z-1的有理函数。 )(zHL)(ZHd)(1ZG设 和 分别为z 平面和Z 平面的数字频率变量，即 jez jeZ 得带入)(11ZGz)(arg| )(|)(jeGjjjeeGeGe有：1| )(|jeG)(argjeG表明函数 在单位圆上的幅度必须恒等于1全通函数，任何全通函数都可以表示为NiiiZZZG11*111)()(1ZG全通函数的特点保证极点在单位圆内，即 ，以保证变

54、换后稳定性不变 1|iNiiiZZZG11*111)()(1ZG的所有零点都是其极点的共轭倒数 ，)/1 (*i当 由0变到 时，全通函数相角 的变化量为 。选择合适的N和 ，则可得到各类变换 )(argjeGNia1数字低通数字低通 数字低通数字低通 )(zHL)(ZHd 和 都是低通系统函数，只是截止频率不同)(zHL)(ZHd 从0变到 时， 也应从0变到 ，如图所示。由全通函数相角变化为 ，可确定此处阶数应为 ，故变换函数为一阶全通函数 N1N11111)(ZZZGzjjeZez,带入，注意为实数。得频率间关系为 ：jjjeee1 图1(a) LP-LP变换（有对称性）c00cos1s

55、inarctan2cos)1 (2sin)1 (arctan22由此求得 与 之间的关系：，线性时，0时，频率压缩0时，频率扩张0对于幅度响应为分段常数的滤波器，变换后仍可得类似的频率响应 设低通原型的截止频率为 ，变换后的对应截止频率为cc带入下式得：jjjeee122sincccc 由截频为 的 得到截频为 的 变换关系：cc)(zHL)(ZHd1111| )()(ZzzLdzHZH2数字低通数字低通数字高通数字高通 低通变成高通，只需将频率响应旋转180，即将Z变换成-Z即可旋转变换 11111)(ZZZGz将下式中的 用 代替，1Z1 Z得到低通到高通的变换1111ZZz2cos2co

56、scccc图3 (a) LP-BP变换102cc003数字低通数字低通数字带通数字带通 LP-BP变换把带通的中心频率 故 N=2。 由以上分析得变换关系： 或 00c2c1) 1 (1)(1122211211zrzrrzrzzgu) 2(1122212jjjjjererreree00000,0时，如图3(a), 1)1(,0g，时全通函数取负号。 1122221111122212122212jjjjjjjjjjererrereeererrereecc把变换关系 代入（2）式得 ：消去 r1，得：令cc21,)()()()(1212121222111122)()(2jjjjjjjjjjjjjj

57、jjjjjjeeeeeeeeeeeeeeeeeeeercccccc2)2(12ctgtgk确定r1, r2 ：可证明， 其中 r1,r2代入（2）式，则可确定频率变换关系，如图3（b）。112kkr121kkr)2cos()2cos(1212LP-BP频率关系 图4 (a) LP-BS变换201cc)(jeH004数字低通数字低通数字带阻数字带阻 如图4(a), LPBS变换把带阻的中心频率 的变化范围为 ,故 N=2 又 g(1)=1, 所以，全通函数取正号。 由以上分析得变换关系： （1） 或 （2）0000000，21)(1122211211zrzrrzrzzgu1122212jjjjj

58、ererreree确定r1, r2 ： 把变换关系 代入（2）式得 ： 其中 ， r1, r2代入（2）式，得图4（b）,此频率变换关系与前面的分析相吻合。2212ctgtgk121krkkr1122cos2cos1212cc21,LP-B S频率变换关系6.6 IIR数字滤波器的计算机辅助设计 脉冲响应不变法和双线性变换法脉冲响应不变法和双线性变换法n设计时先设计模拟滤波器，再经过变换得到需要的数字滤波器设计时先设计模拟滤波器，再经过变换得到需要的数字滤波器n只适合于设计幅度特性分段恒定的滤波器，例如低通、高通、带通只适合于设计幅度特性分段恒定的滤波器，例如低通、高通、带通和带阻等滤波器，不

59、能设计任意幅度特性或多带的滤波器和带阻等滤波器，不能设计任意幅度特性或多带的滤波器n设计所得的滤波器在性能上也不一定是最优的设计所得的滤波器在性能上也不一定是最优的计算机辅助设计计算机辅助设计n按照指定的滤波器特性，根据某种最优化准则，利用计算机进行反按照指定的滤波器特性，根据某种最优化准则，利用计算机进行反复迭代运算，从而求出所要求的滤波器复迭代运算，从而求出所要求的滤波器n既可在时域特性进行，也可在频域特性进行，既可在时域特性进行，也可在频域特性进行，w指定滤波器的单位脉冲响应或指定滤波后的输出波形指定滤波器的单位脉冲响应或指定滤波后的输出波形w指定滤波器的频率特性指定滤波器的频率特性本节内容本节内容n介绍一种从频域出发，基于最小均方误差的最优化介绍一种从频域出发，基于最小均方误差的最优化准则，求滤波器传输函数的计算机辅助设计方法准则，求滤波器传输函数的计算机辅助设计方法n讨论最小平方逆滤波的问题讨论最小平方逆滤波的问题w从时域出发，按照均方误差最小的准则来求取滤波器的单从时域出发