2020年江苏寒假数学网课直线与圆、圆与圆的综合应用(2)

1、直线与圆、圆与圆的综合应用(2)【基础检测】1 .在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C： (xa)2+(ya+2)2=1,点A(0, 2),若圆C上存在点 M, 满足MA2 + MO2=10,则实数a的取值范围是 .【答案】0, 3【解析】设 M(x, y),由 MA2+MO2=10, A(0, 2),得 x2+(y-1)2=4,而点 M 又在(x a)2 +(ya+2)2= 1,所以圆x2 + (y1)2=4与圆C有公共点，则1<a2+(a-3)2< 9,解得0WaW3.所以实数a的取值范围是0, 3.2 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点P(1, 0), Q(2, 1),直线

2、l： ax+by+c=0,其中实数a, b, c成等差数列，若点 P在直线l上的射影为H,则线段QH的取值范围是 .【答案】取,372【解析】因为a, b, c成等差数列，有2b=a+ c,即a 2b+c=0,所以动直线l: ax+ by+ c= 0恒过定点(1, -2),记A(1, -2),因为点P(-1, 0)在动直线l上的射影为H,即/AHP = 90° , 所以点H在以PA为直径的圆上，圆心 C(0, 1),半径为<2, 所以线段QH的取值范围是亚，32.3 .在平面直角坐标系 xOy中，若直线y=k(x343)上存在点P,圆x2+(y1)2 = 1上存在点Q,满足OP

3、=3OQ,则实数k的最小值为 .【答案】.3【解析】设P(x, y),由OP=3OQ,得Q(,上).33又点Q在圆x2+(y1)2=1上，2 2则有二+ y 1 =1,化简得x2y 3 2 9 ,3 3所以点P的轨迹是以(0, 3)为圆心，半径为r=3的圆.依题意，直线 y=k(x-3<3)与圆x2y 3 2 9有公共点，3 3,3k所以 一 < 3,解得3p< k< 0.i?1所以实数k的最小值为一匹4 .在平面直角坐标系 xOy中，已知圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx2上至少存在 一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆 C有公共点，则k的最大

4、值是 .4【答案】43【解析】因为圆 C的方程可化为(x-4)2 + y2=1,所以圆C的圆心为(4, 0),半径为1.因为由题意，直线 y=kx2上至少存在一点 A(xo, kxo-2),以该点为圆心，1为半径 的圆与圆有公共点，所以存在xoCR,使得ACW1+1成立，即ACminW2.因为ACmin即为点C到直线y=kx2的距离|4k2|；k2+1'所以隼U<2,解得0Wkw* :k2+ 13，4所以k的最大值是4.35 .如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0, 3),直线l: y=2x- 4.设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x1上，过点A作圆

5、C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M,使MA = 2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.【解】(1)由题设，圆心 C是直线y=2x4和丫=乂 1的交点，解得点 C(3, 2),所以切线的斜率必存在.设过A(0, 3)的圆C的切线方程为y=kx+3.由题意，得13k望=1,解得卜=0或卜=3, 楙2+14故所求切线方程为 y= 3或3x+4y-12 = 0.(2)因为圆心在直线 y=2x-4上，所以圆C的方程为(x-a)2+y-2(a-2)2=1.设点 M(x, y),因为 MA=2MO,所以 Rx2+ y3 2 = 2.x2+y2,化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1

6、)2=4,所以点M在以D(0, 1)为圆心，2为半径的圆上.由题意，点 M(x, y)在圆C上，所以圆C与圆D的公共点，则|2-1|< CD<2+ 1,12即 1 < 留+ 2a3 2< 3,解得 0w a w "5-.12所以点C的横坐标a的取值范围为0,9.5【例题探究】例1 (1)已知直线l: x y+2=0与x轴交于点 A,点P在直线l上.圆C: (x 2)2+y2=2上有且仅有一个点B满足ABLBP,则点P的横坐标的取值集合为 .(2)在平面直角坐标系 xOy中，设圆C： (xt)2+(y2t+1)2=2.若存在实数 m,使得直线l1：mx+ y+2

7、=0与直线12： x my2=0的交点在圆C上，则实数t的取值范围是 17【答案】(1) 3，5(2)1 ,7【解析】(1)因为1与x轴交于点A,则A(-2, 0),设P(t, t+2).因为AB± BP,则点B在以线段AP为直径的圆M2一 t 2圆M万程可化为 x + y2所以圆心 M(t-2 ,12),半径为22(x + 2)(x t)+ y(y-1-2)=0 上,22t 2 t 2=,22t 2F依题意，圆M与圆C: (x2)2+y2 = 2有且只有一个公共点,即圆M与圆C相外切或内切，所以J2 22 U 6或=2 2匚2 2/瓢2 22<2V 2272一 1八斛得t=

8、2或t= 5.3所以点P的横坐标的取值集合为1，5 .3(2)显然，直线li： mx+y+2=0恒过定点 A(0, 2),直线12： x- my2=0恒过定点 B(2, 0), 且直线li±l2.所以直线li与12的交点在以AB为直径的圆M: x(x 2)+(y+2)y=0上运动.所以直线li与|2的交点的轨迹为圆 M： (x 1)2+(y+1)2=2.因为直线li与|2的交点在圆C上，27i< 2短，解得i wtw _7 ,i所以圆 C: (xt)2+(y2t+i)2=2 与圆 M: (x- i)2+(y+i)2= 2 有公共点, 所以 0W J t i 22t i所以实数t

9、的取值范围是变式 在平面直角坐标系 xOy中，已知点A(4, 0), B(0, 4),从直线AB上一点P向圆x2+y2=4引两条切线PC, PD,切点分别为 C, D.设线段CD的中点为M,则线段AM长的最大值为.【答案】3,；2【解析】如图，连结 OC, OD, OP,设P(t, t+4).依题意，直线PC, PD与圆O: x2+y2=4相切，据平面几何知识可知，点O, C, P, D四点共圆，该圆以OP为直径，方程为 x(x- t)+y(y-t-4)= 0,即 x2+ y2 tx (t+ 4)y= 0,又点C, D满足圆O: x2+y2=4,一，得直线 CD的方程为tx + (t+4)y-

10、4= 0,整理得(x + y)t+ 4y4= 0,令x y °,解得x '所以直线CD恒过定点N(-i, i). 4y 4 0, y i,所以点M满足MOL MN,点M的轨迹为以 ON为直径的圆， 22iii该圆方程为 x(x+1) + y(y-1) = 0,即 x + y =, 222一. i i , ,2圆心为一5，2 ,半径r= 2 -所以线段AM长的最大彳I为 44+与+孚=3V2 -例 2 (1)已知点 A(-1, 0), B(1, 0),若圆(xa+1)2 + (ya2)2=1 上存在点 M 满足MAmB = 3,则实数a的取值范围是.(2)已知 A, B, C,

11、 D 四点共面，BC=2, AB2+AC2=20, CD = 3CA,则 |BD|的最大值 为.【答案】(1) 2, 1(2) 10【解析】(1)设M(x, y),因为MA MB = 3,所以(一1x, - y)(1 -x, y) = 3,即 x2 + y2 = 4.所以点M的轨迹是圆x2+y2=4.又因为点 M在圆(xa+1)2+(ya2)2=1上，所以圆*2+丫2=4与圆(*2+1)2+(丫22)2=1有公共点，故弋 0a+ 1 2+ 0 a 2 2<1 + 2,解得2WaW1, 所以实数a的取值范围是2, 1(2)以BC中点为原点，BC所在直线为x轴建立坐标轴.设 A(x, y),

12、 D(x0, y。),则 B(-1, 0), C(1, 0).因为 AB2 + AC2=20,得(x+ 1)2+y2+(x-1)2+y2=20,即 x2+y2=9.由CD=3CA,得(xO1, y0)=3(x-1, y),则x所以yx0 23 代入 x2+y2=9,得(x0+2)2+y0=81,匕3所以点D的轨迹是以（一2, 0）为圆心，半径为 9的圆.所以|BD|的最大值为2_ 20 0 +9=10.变式 在平面直角坐标系 xOy中，已知B, C为圆x2+y2 = 4上两点，点A(1, 1),且AB，AC,则线段BC的长的取值范围是.【答案】用-平,通+艰【解析】取BC的中点M,连结OM,

13、OB, AM.1在 RtCAB 中，AM=BM = CM=-BC,在 RtAOMB 中，MB2+MO2 = OB2.所以 MA2 + MO2=4.设 M(x, y),所以(x1)2+(y1)2+x2+y2=4,1c 1 c 3化简得 x-2 2+ y-2 2=32,所以点M的轨迹是以 1, 1为圆心，挛为半径的圆， 2 22所以AMC 也彳也,V6；立，故BC=2AM m日弱十的,所以线段BC的长的取值范围是 晒"#+ 0.例3 (1)在平面直角坐标系 xOy中，已知点A(t, 0)(t>0), B(0, - >/3),若存在点P,使得PO = 也PA,且/ PBO=30

14、°,则实数t的取值范围是 .(2)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆O: x2+ y2= 1, O1：(x 4)2+y2=4,动点P在直线 x+gyb=0上，过P分别作圆O, O1的切线，切点分别为 A, B,若满足PB=2PA的 点P有且只有两个，则实数 b的取值范围是 .【答案】(1)(2)20 43 ' 4【解析】(1)设点P(x, y),依题意,PO = V2PA,所以 x2y2 = V2，xty2 ,整理得 x 2t 2 + y2 = 2t2 ,即点P的轨迹是以M(2t, 0)(t>0)为圆心，半径为 42t的圆.又/ PBO=30°, B(0, V

15、3),结合图形，可知点 P还在直线l: V3xy43= 0上运动， ，八，一 ，一 一 |73 2t 0 73所以直线l与圆M有公共点，即L <所以实数t的取值范围是3-6,3-6(2)因为 PB=2PA,所以 PB2所以直线x+ty1=0与圆x 4 + y 1 =8相切或相离,=4PA2,即 PO124= 4(PO21),故 POi2=4PO2,设点 P(x, y),得(x 4)2+y24= 4(x2+y21),整理得(x+4 )2 + y2= 64 ,39所以点P的轨迹是以点 一4, 0为圆心，半径为1的圆. 33又动点P在直线x+43yb=0上，且点P有且只有两个，所以直线x+J3

16、yb= 0与圆(x+4 )2 + y2= 64相交，3 94 0 b故 丁 ° <8,解得 20Vb<4.12 .32393所以实数b的取值范围是20 43 ',变式 已知点A(0, 1), B(1, 0), C(t, 0),点D是直线AC上的动点，若 ADW2BD恒成立，则最小正整数t的值为【答案】4【解析】易得直线 AC的方程为y = 1,即x+ ty-t=0,设 D(x, y),据 ADW2BD,可知 AD2< 4BD2, 22418所以 x2+ (y-1)2<4(x- 1)2+y2,整理得 x - + y -339因为点D在直线 AC上，且AD

17、W2BD恒成立，22所以直线x+ty1=0在区域x 4 + y 1 >2内，3394 14 -t t所以解得。2+斓或tV2 国12 t23 3所以最小正整数t的值为4.(1)在平面直角坐标系 xOy中，已知A, B为圆C: (x+ 4)2+(ya)2= 16上两个动点，且 AB =28.若直线l： y=2x上存在唯一的一个点 P,使得PA+PB=OC,则实数a的值 为.(2)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(m, 0), B(m + 4, 0),若圆C： x2+(y 3m)2= 8上 存在点P,使彳导/ APB = 45°,则实数m的取值范围是 .【答案】(1) 2或1

18、8(2)4 2*19,25【解析】(1)设AB中点为D,则由AB=2加，得 AD =肝，CD = 75.所以点D的轨迹方程为(x+ 4)2 + (y- a)2= 5.设 P(x, y), D(m, n),因为 PA+PB=OC,所以 2PD = OC=(4, a),m x 2,故 PD=( 2, a),所以(m x, n- y)= (-2,-),故a 得22 n y 一,22所以点D的坐标为(x2,y+a),代入D的轨迹方程，得(x+2)2+ y - =5,22所以点P的轨迹是以(一2,自)为圆心，半径为 垂的圆,2= 75,解得 a= 2或一18.又直线l: y=2x上有且仅有一个点 P,所

19、以直线l: y=2x与点P的轨迹相切，故所以实数a的值为2或一18.(2)据点 A(m, 0), B(m+4, 0)可知,AB = 4,所以 ABP的外接圆圆心 M满足/ AMB = 90°.若圆心 M在x轴上方，则 M(m + 2, 2),且点P的轨迹为以M为圆心，半径为2艰的圆在x轴上方的部分，此时，点P的轨迹方程为(x-m-2)2+ (y-2)2=8(y>0); 若圆心 M在x轴下方，则 M(m + 2, 2), 且点P的轨迹为以M为圆心，半径为2。2的圆在x轴下方的部分， 此时，点P的轨迹方程为(xm 2)2+(y+2)2=8(yv0).要使彳#圆C： x2+(y3m)

20、2= 8上存在点P,则须满足圆C与点P的轨迹有公共点，即圆 C: x2+(y 3m)2=8 与优弧(xm2)2+(y2)2=8(y>0)有公共点或圆 C: x2+(y 3m)2=8 与优弧(xm2)2+(y+2)2=8(yv0)有公共点，2222所以 0W J m 2 3m 2 < 虱2或 0W J m 2 3m 2 w 4/2,解得 ±9wmw2. 5变式(1)在平面直角坐标系 xOy中，已知圆Oi,圆02均与x轴相切且圆心 Oi, O2与原点。共 线，Oi, O2两点的横坐标之积为 6,设圆Oi与圆02相交于P, Q两点，直线l： 2x-y -8=0,则点P与直线l上

21、任意一点 M之间的距离的最小值为 .(2)在平面四边形 ABCD 中，/ BAD =90°, AB=2, AD = 1 .若 AB Ac+BA BC = J4CA CB , 3则CB + 2CD的最小值为 .【答案】(1)呼乖(2)呼52【解析】(1)依题意，设圆心 Oi (a, ka), O2 (6,生). a a因为圆。1,圆O2均与x轴相切，所以设圆。1的方程为(x-a)2+(y-ka)2=k2a2，2圆O2的方程为(x6)2+(y处)2=咚， aa a一，得 2ax x+ 2aky 12ky + 3f a2 = 0, 即 2x+ 2ya- - = 0 . aa aa设 P(x

22、°, y°),则(xoa)2+(yOka)2= k2a2,即 x2+y2= 2ax0 + 2ay0a2,又 2xo + 2yo a = 0,可得 2axo + 2ayo a2= 6,入上式，可得 x0+ y0= 6,a所以点P的轨迹是以原点为圆心，半径为 46的圆,所以点P与直线l上任意一点 M之间的距离的最小值为 - I8I-J6 ,22+128 .5,=会一驱(2)以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 B(2, 0), D(0, 1).设 C(x, y),因为 AB AC+BA BC = 4CA CB,34所以(2, 0)(x, y)+(-2, 0)

23、(x 2, y) = -(-x, y) (2x, - y),3化简得(x1)2+y2=4,所以C在以M(1, 0)为圆心，半径r= 2的圆上运动.设T(5, 0),则对圆M: (x1)2+y2=4上任意一点C(x, y),都有22222eCB x 2 y x 1 y 2x1142x111且2 = 2 = 2=一CT x 5y2x 1y2 8 x 1 164 8 x 1 16 41故 cb=2Ct.1111126所以 CB + 2CD = 2CT + 2CD = 2(CT + CD)>2DT =力.所以cb+cd的最小值为等【训练提升】1 .已知点 P 在圆 M： (x a)2+(y-a+

24、 2)2=1 上，A, B 为圆 C： x2+(y4)2= 4 上两动点，且 AB=2、/3,贝UPA PB的最/、值是 .【答案】19- 122【解析】取 AB的中点D,因为AB=2寸3, R= 2, CD =*3 = 1, 所以 PapB=(PD + DA).pD + Db)=pd2-3.依题意，C(0, 4), M(a, a-2).当C, D, P, M在一条直线上时， PD最小,此时 PD = CM -CD-PM =Na2+ a 6 2 2=2 a3 2+18 2>3y2-2.所以PA PB=PD23>19 126，当a=3时取到最小值1912册.2 .在平面直角坐标系 x

25、Oy中，已知点A(12, 0), B(0, 6),点P在圆O: x2+y2=50上，若PA pB<20,则点P的横坐标的取值范围是 .【答案】 5,1片/【解析】设 P(x, y),则承=(12 x, y), PB=(-x, 6-y),PA PB=x2+y2+ 12x-6y< 20,又 x2 + y2 = 50,故 x2+y2+12x6y=50+12x6yW20,即 2x-y+5<0.如图所示，点 P在直线2x- y+5 = 0的上方对应的圆弧上，故点P的横坐标表示的取值范围为一5y2 = xaW xpW xb,2x y + 5 = 0,联立直线与圆的方程c c消去y得x2+

26、4x5=0,解得x= 5或x= 1 ,x2+y2 = 50,故xb=1,所以点P的横坐标的取值范围是5血，1.3 .在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 C： (x1)2+(y 2褥)2=1和两点A(a, 2a), B(-a, a 2),且a>1,若圆C上存在两个不同的点 P, Q,使得/ APB = /AQB=90° ,则实数 a的取值 范围为.【答案】1 ",157【解析】依题意，圆C上存在两个不同的点 P, Q,使得/ APB=ZAQB = 90° ,所以以AB为直径的圆O和圆C相交，因为 A(a, 2a), B( a, a 2),所以以AB为直径的圆的

27、圆心为 O(0, 0),半径|OA|= 荷2 a 2 = &a2 4a 4 .又圆C的圆心C(1, 2庭)，半径r=1,所以 T2a"_4a 4 1 < |OC|= 5V，2a2 4a 4 1 ,解得 1 17<a< 1- 77或 1+ 77 vav1+ 屈.因为 a> 1,所以 1+J7vav 1+m17.所以实数a的取值范围为16，1 717 .4 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(-1, 0), B(5, 0).若圆M: (x 4)2+(ym)2=4上存在唯 一点P,使得直线PA, PB在y轴上的截距之积为 5,则实数m的值为.【答案】诉

28、或知3【解析】设点p(xo, yo),则直线PA为y=xy07(x+1)，在y轴截距为xt，同理，直线PB在y轴截距为-5y°-,xo 5因为两截距之积为 5,得一fy-x0- = 5,化简，得 (X0-2)2 + y2=9,xo 5 xo+ 1所以点P的轨迹：(xo2)2+y2=9与圆M恰有一个交点.若A、B不在圆M上，则圆心距等于半径之和或差，即.22+ m2 =5,解得 m=W21;或，22 + m2 =1,无解； 若A、B在圆M上，解得 m= i/3,经检验成立.综上所述，实数m的值为诉或班.5 .在平面直角坐标系 xOy中，圆O： x2+y2=1,圆M： (x+ a+3)2

29、+(y2a)2= 1(a为实数).若圆O 与圆M上分别存在点P, Q,使得/ OQP = 30° ,则实数a的取值范围是 .【答案】-6, 0【解析】由题意，圆 M上任意一点Q向圆O作切线，切点为 P, /PQO=30° ,所以OQ=2,即圆x2+y2=4与圆M有交点，所以 1 w，( a+ 3)2+ 4a2w 3,解得一 a=c o.5所以实数a的取值范围是 一|, 056 .如图，在平面四边形 ABCD中，AB = 4, AD = 2, Z DAB = 60 °, AC=3BC,则边CD长的最小值【解析】以线段 AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点，建立直角

30、坐标系,则 A(-2, 0), B(2, 0),设 C(x, y).由 AC= 3BC,得 7 (x+2) 故|C Q|的最大值为+y2 = 3. (x 2) 2 + y2,化简得x T+y'9. 24由/ DAB =60°, AD=2 得 D(1, >/3).当D, C, M三点共线时，CD长最短，所以边CD长的最小值为DM CM-|"。)2 一3=a.Q为射线AP上一点，且满7 .已知正三角形 ABC的边长为2,点P为线段AB中垂线上任意一点,足AP aQ= 1,则|CQ|的最大值为答案/3±1【解析】建立如图所示的直角坐标系，则 A(-1, 0

31、), C(0, <3).设 Q(m, n), P(0, y).由AQ AP= 1 得(m+1, n) (1y)=1, m+ny=0 ,n y又点 Q 在 AP 上，有 m+ 1 =n=(m+1)y ,由消去y得m + 2 +n2= 1 .|CQ|= Vm2+ (n-V3)2，点(0,小)与点2,0 的距离为、y2r7v3r="23,8 .已知 ABC中，AB=AC=，3, AABC所在平面内存在点 P使得PB2+PC2= 3PA2= 3,则ABC 面积的最大值为.【答案】黑【解析】建立如图所示的直角坐标系，设B(-a, 0), C(a, 0)(a>0),则A(0, 73

32、a ).设 P(x, y),由 PB2 + PC2=3,彳# (x+a)2+y2+(xa)2+y2=3,3即 x2+y2 = 2a2 ，由 PA2=1,得 x2 + (y-A/32)2=1 .2a2由解得y= 2.>j3a2-1,解得0<a2w2jSaabc = a 寸3 a2 = 13a a4=9- 4+2243a2 Y16当a2 = 26时，Ssbc有最大值为嗜.9 .如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知以 M为圆心的圆 M: x2+y212x14y+60=0及其上一点 A(2, 4).(1)设圆N与x轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线x=6上，求圆N的标准方程;(2)设

33、平行于 OA的直线l与圆M相交于B, C两点，且BC = OA,求直线l的方程;(3)设点T(t, 0)满足：存在圆 M上的两点P和Q,使得TA+ TP=TQ,求实数t的取值范围.【解】(1)因为N在直线x= 6上，设N(6, n),因为与x轴相切,则圆 N 为(x 6)2+(yn)2= n2(n>0).又圆 N 与圆 M 外切，圆 M: (x 6)2+(x7)2=25,则 |7 n|=|n|+5,解得 n= 1,所以圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2= 1.(2)由题意得 OA = 2g koA=2,设 l: y=2x+ b,则圆心M到直线l的距离d=ll2_7±bl =151, 22+155则 BC=2152d2 = 2-