2020高考二轮专题圆锥曲线的综合问题

1、第3讲圆锥曲线的综合问题全国卷3年考情分析年份全国卷I全国卷n全国卷出2019直线与抛物线性质的综合应用 19求曲线方程、直线与 椭圆的位置关系、最值问题. 21直线过定点、直线与抛物线相交弦长问题、点到直线的距离及四边形的面积 212018直线的方程、直线与椭圆的位置关系、证明问题T9直线的方程、直线与抛物线的位置关系、圆的方程直线与椭圆的位置关系、等差数列的证明 202017椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、定点问题 20点的轨迹方程、椭圆方程、向量的数量积等 20直线与抛物线的位置关系、直线的方程、圆的方程 20解析几何是数形结合的典范， 是高中数学的主要知识板块， 是高考考查的重点

2、知识之一,在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等.试题难度较大，多以压轴题出现.解答题的热点题型有：（1）直线与圆锥曲线位置关系；（2）圆锥曲线中定点、定值、最值及范围的求解；（3）圆锥曲线中的判断与证明.第1课时 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题考点一圆锥曲线中的最值问题例1 (2019全国卷n)已知点A(2, 0), B(2, 0),动点M(x, y)满足直线 AM与BM，一，1、的斜率之积为一1.记M的轨迹为曲线 C.(1)求C的方程，并说明 C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交 C于P, Q两点，点P在第一象限，PE，x轴，垂足为E,连 接QE并延长交C于点G.证明： PQG是

3、直角三角形；求 PQG面积的最大值.1.(2019河北省九校第二次联考)已知抛物线C： y2=2px(p>0)的焦点为 F,若过点 F且斜率为1的直线与抛物线相交于M , N两点，且|MN|=8.(1)求抛物线C的方程;> > 一一 (2)设直线l为抛物线C的切线，且1/MN,P为l上一点，求 PM PN的最小值.考点二圆锥曲线中的范围问题x2 y2例2 (2019安徽五校联盟第二次质检 )已知椭圆C: -2+S=1(a>b>0)的焦点坐标分 a b3别为 Fi(- 1, 0), F2(1, 0), P 为椭圆 C 上一点,满足 3|PFi|= 5|PF2|且 c

4、os/ FiPF2=-.5(1)求椭圆C的标准方程； 1(2)设直线l： y=kx+m与椭圆C交于A, B两点，点Q 4, 0 ,右|AQ|=|BQ|,求k的取值范围.1 . (2019洛阳模拟)已知A, B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧),且|AB|= a(a>0), 过A, B分别作x轴的垂线，与抛物线 y2=2px(p>0)在第一象限分别交于D, C两点.(1)若a=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合，求直线 CD的斜率；S1,(2)若O为坐标原点，记OCD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求的取值范围.S22 .已知A, B分别为曲线 C： x2+y2=1(y&

5、gt;0, a>0)与x轴的左、右两个交点，直线 l 过点B且与x轴垂直，M为l上位于x轴上方的一点，连接 AM交曲线C于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为AB的三等分点，试求出点M的坐标.4一(2)若a>1,绘mab = 2,当 TAB的最大面积为三时，求椭圆的离心率的取值氾围.3考点三圆锥曲线中的证明问题X2例3 (2018全国卷I)设椭圆C:,+ y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2, 0).(1)当l与x轴垂直时，求直线 AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：/ OMA = Z OMB.1.(2019福州市第一学期抽测)已知点A 1,坐

6、在椭圆C： 圻240。)上，。为 坐标原点，直线1:点照=1的斜率与直线OA的斜率乘积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)不经过点A的直线y=23x+ t(tw 0且t C R)与椭圆C交于P, Q两点，P关于原点的 对称点为R(与点A不重合)，直线AQ, AR与y轴分别交于两点 M, N,求证：|AM|=|AN|.【课后专项练习】1. (2019湖南省五市十校联考)已知椭圆 C:1(a>b>0)的离心率为日，右焦点a b2为F,以原点。为圆心，椭圆 C的短半轴长为半径的圆与直线xy+V2=0相切.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过定点P(2, 0)的直线l交椭圆C于A, B两点，

7、连接 AF并延长交C于M,求证：/ PFM = / PFB.2. (2019广东六校第一次联考)已知椭圆口：/+衣=1(a>b>0)的离心率为e=当2,点、(一甲, 1)在椭圆D上.(1)求椭圆D的方程；(2)过椭圆D内一点P(0, t)的直线l的斜率为k,且与椭圆D交于M, N两点，设直线 OM, ON(O为坐标原点)的斜率分别为ki, k2,若对任意k,存在实数 人 使得ki+k2=入K 求实数入的取值范围.3. 已知抛物线 C： y2 = 2px(p>0)的准线li与x轴交于点M,直线12： 4x3y+6= 0与抛物线C没有公共点，动点 P在抛物线C上，点P到1i, l

8、2的距离之和的最小值等于2.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M的直线与抛物线 C交于两个不同的点 A, B,设MA = AMB gw入<1，求|AB|3的取值范围.P(2, 1)的距，、一. 14. (2019重庆七校联考)椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为2,其左焦点到点离为亚.不经过原点O的直线l与椭圆C相交于A, B两点，且线段 AB被直线OP平分.求椭圆C的方程;(2)求4ABP的面积取最大值时，直线 l的方程.第2课时 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题考点一定点问题例1 (2019郑州市第一次质量预测)设M点为圆C: x2+y2=4上的动点，点 M在x轴上-&

9、gt; > . ,的投影为N.动点P满足2PN =43MN,动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)设E的左顶点为 D,若直线l：y=kx+m与曲线E交于A,B两点(A,B不是左、右顶点)，一、一 - . “ .、 . .-一 且满足|DA + DB |= | DA DB |,求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.1. (2019北京高考)已知抛物线C: x2= 2py经过点(2, 1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程；(2)设。为原点，过抛物线 C的焦点作斜率不为 0的直线l交抛物线C于两点M, N, 直线y=- 1分别交直线 OM, ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆

10、经过y轴上的两个 定点.2. (2019安徽省考试试题)已知椭圆C: a2+b2=1(a>b>0)的上顶点为P,右顶点为 Q,直线PQ与圆x2+y2 = 4相切于点M |, 4 . 55 5求椭圆C的方程; 、 . .，、 、_. ，、 、，、(2)若不经过点 P的直线l与椭圆C交于A, B两点，且PA PB =0,求证：直线l过定点.考点二定值问题例 2已知椭圆 C: x2+y2=1(a>b>0),过 A(2, 0), B(0, 1)两点. a b(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M ,直线PB与x轴交于点N,求

11、证：四边形 ABNM的面积为定值.如图所示，已知点M(a, 3)是抛物线y2=4x上一定点，直线AM, BM的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A, B两个不同的点.(1)求点M到其准线的距离;(2)求证：直线 AB的斜率为定值.考点三探索性问题x2 y2例3 (2019重庆市学业质量调研)如图，已知椭圆 C:示+ b2= 1(a>b>0),其左、右焦点分别为Fi( 2, 0)及F2(2, 0),过点Fi的直线交椭圆C于A, B两点，线段AB的中点为G, AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D, E两点,且|AFi|,干2|, |AF2|构成等差数列.求椭圆C的方程;(2)记 GFiD的

12、面积为Si, OED(O为坐标原点)的面积为问是否存在直线 AB,使得Si = S2?请说明理由.S2.试(2019广州市调研测试)已知动圆C过定点F(1, 0),且与定直线x=1相切.(1)求动圆圆心 C的轨迹E的方程；(2)过点M(2, 0)的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点 P, Q,试探究在x轴上是 否存在定点N(异于点M),使得/ QNM + Z PNM=ti?若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由.【课后专项练习】1. (2019开封模拟)已知椭圆C: a2+y2= 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 Fi, F2,上顶点 为M, MF1F2为等腰直角三角形，且其

13、面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M分别作直线 MA, MB交椭圆C于A, B两点，设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1 + k2 = 2,证明：直线 AB过定点.2. (2019南昌市第一次模拟测试 )已知椭圆 C:盲=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,a b1F2,离心率为2, p是c上的一个动点，且4 F1PF2面积的最大值为4m(1)求C的方程；(2)设C的左、右顶点分别为 A, B,若直线PA, PB分别交直线x= 2于M, N两点，过点F1作以MN为直径的圆的切线，证明：切线长为定值，并求该定值.3. (2019福州市质量检测)已知抛物线C1: x2=2py(p>0)和圆C2： (x+1)2+y2=2,倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切.(1)求p的值；(2)动点M在C1的准线上，动点 A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B,设MIN = MA + MB ,求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程.4. 已知椭圆C: %+1(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi(-1, 0), F2(1, 0),点A 1,半 在椭圆C上