2013年高考北京文科数学试题及答案(word解析版)

1、精品文档2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(文科)第一部分(选择题共40分)、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.(1)【2013年北京，文(A) 0【答案】B【解析】 1,0,1 I x|(2)【2013年北京，文1,12,(A) ac bc【答案】D【解析】：A选项中若c5分】已知集合A(B)1, 0x 1= 1,0,故选5分】设a , b , c1, 0,B.R,且小于等于0则不成立，B选项中若数则不成立，故选 D.(3)【2013年北京，文3,(A) y 1 x【答案】C【解析】A选项为奇函数，(4)【201

2、3年北京，文4,(A)第一象限【答案】AB x|(C) 0,(C) a2a为正数5分】下列函数中，既是偶函数又在区间x(B) y e(C) yb2AI B(D)1,0,1(D)b为负数则不成立，C选项中若a, b均为负(0,)上单调递减的是(D) y1gxB选项为非奇非偶函数，5分】在复平面内，复数(B)第二象限D选项虽为偶函数但在(0,)上是增函数,故选C.【解析】i(2 i) 1 2i ,其在复平面上的对应点为(5)【2013年北京，文5, 5分】在ABC 中，ai(21,23,i)对应的点位于( (C)第三象限(D)第四象限(B)【解析】根据正弦定理,a bsin A sin Bb-si

3、n A a(6)【2013年北京，文6,(A) 15分】执行如图所示的程序框图,2(B) 23【解析】依次执行的循环为S 1, i 0;【2013年北京，文7,5分】双曲线232 ym1(A) m2【答案】C(B) m【解析】该双曲线离心率1 m丁,由已知(8)【2013年北京，文8,5分】如图，在正方体点，则P到各顶点的距离的不同取值有(A) 3 个(B) 4 个该点位于第一象限，故选15, sin A -,贝U sinB3(C)A.(D)故选B.输出的S值为(C)1321(D)610987Q 13.S , i212,故选C.1的离心率大于&的充分必要条件是(C) m 1(D)mV2,ABC

4、D)(C) 5 个故m 1,故选C.(D) 6 个ABGDi中，P为对角线BDi的三等分8欢在下载精品文档【答案】B【解析】设正方体的棱长为a.建立空间直角坐标系，如图所示.则D 0,0,0C(0,a,0), B(a,a,0), B(a,a。), A a,0,0 , A(a,0, a),uurPB4 24 24a-a- a9992uuljuPDi凡 a ,32击a , 3uurPDPCiPCI二、填空题：共PAiuuura, PB11a4 21 2一a a99124 2-a- a994 2- a9_6飞第二部分(非选择题6小题，每小题5分，共30分.(9)【2013年北京，文9,5分】若抛物线

5、y2 2 Px的焦点坐标为【答案】2;1【解析】根据抛物线定义 p 1 , p 2 ,又准线方程为x2(10)【2013年北京，文10, 5分】某四棱锥的三视图如图所示，【答案】3【解析】由三视图知该四棱锥底面为正方形，其边长为3,Di，D(0,0, a),G(0,a, a),a ,故共有4个不同取值，故选B.共110分)(1,0),则 P,准线方程为X 1.2则该四棱锥的体积为四棱锥的高为1,根据体积公式1V - 3 3 1 3(11)【2013年北京，文和Sn【答案】2; 2n1 23,故该棱锥的体积为5分】若等比数列3.an满足a2a, 20, a3 a 40,则公比【解析】由题意知qa

6、3a5%a4402 由a? a,202a2(1q )2、aq(1 q ) 20 , . . a12 .二. S(12)【2013年北京,文12,x5分】设D为不等式组 2x所表示的平面区域，区域D上的点与点0(1,0)之间的距离的最小值为.【答案】2-25【解析】区域D表示的平面部分如图阴影所示： 根据数形结合知1,0至ij D的距离最小值为1,0到直线2x-y=0的距离|2 ： 0| 5(13)【2013年北京，文13, 5分】函数f(x)log1 x,22x,的值域为【答案】(，2)【解析】当x 1时，log1x2(14)【2013年北京，文log 11 ,即 10gl x 0 ,当x 1

7、时,(1【答案】3uur【解析】AP2,uuuAB14, 5 分】向量 A(1, 1), B(3,0),1)的点P组成，则D的面积为C(2,1),若平面区域uuruuruuruuuAC ,AB2,1 , AC1,2 .设 P(x,y)，则 APx0 IB32uuuD由所有满足APuurABuurAC卜山八AA3 r精品文档可彳导 A 3,0 , Bi 4,2 ,两直线距离d |9 6| .22 12x y 33, , 12y x 33C1 6,3 ， A bi2x yx 2y9 , 一9,如图.32 曲,21(2cos x 1)sin2x cos4x .三、解答题：共 6题，共80分.解答应写

8、出文字说明，演算步骤或证明过程.(15)【2013年北京，文15, 13分】已知函数f(x)(1)求f (x)的最小正周期及最大值;若(_,),且f()吏，求的值.22解:(1) f (x)2(2cos x 1)sin2x1一 cos4x21cos2xsin2x -cos4x21一 sin4x21一 cos4x2-sin(4x24)所以，最小正周期T24(2)因为f()4n(424),当 4x 2k k Z ,即 x242巫，所以sin(4 -) 1 ,因为一242k Z 时, 16一 9，所以9- 44f (x)max_ 1744,22所以4 5-,即 9_ .日共6天的空气质量优良,日期空

9、气质量指数4216(16)【2013年北京，文16, 13分】下图是某市 3月1日至14日的空气质量指 数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良， 空气质量指数大于 200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天.(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此在在该市停留期间只有 1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解：(1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13所以此人到达当日空气质量优良的概率是13(2)解法一：日，或根据题意，事件 此人在该市

10、停留期间只有 1天空气重度污染”等价于 此人到达该市的日期是5日，或7日，或8日”.所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为 .13解法二：此人停留的两天共有 13种选择，分别是：1,2 , 2,3 , 3,4 , 4,5 , 5,6 , 6,7 , 7,8 , 8,9 , 9,10 , 10,11 , 11,12 , 12,13 , 13,14 ,其中只有一天重度污染的为4,5 , 5,6 , 7,8 , 8,9 , 一. , 一、 ,4共4种，所以概率为P2 . 13(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.(17)【2013年北京，文17, 14分】如图，在四棱锥 P

11、 ABCD中，AB/CD, AB AD , CD 2AB,平面PAD 底面ABCD, PA AD , E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1) PA 底面 ABCD ;(2) BE/平面 PAD;(3) 平面BEF 平面PCD .解：(1)因为平面PAD 底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线 AD , PA 底面ABCD .(2)因为AB/CD , CD 2AB, E为CD的中点，所以 AB/DE ,且 AB DE .所以ABED为平行四边形.所以BE/AD .又因为BE 平面PAD , AD 平面PAD ,所以BE/平面PAD .(3)因为AB AD ,而且 ABED为平行四边形，所

12、以 BE CD , AD CD .由(1)知PA 底面ABCD,精品文档所以PA CD .所以CD 平面PAD .所以CD PD .因为E和F分别是CD和PC的中点, 所以PD / /EF .所以CD EF .所以CD 平面BEF .所以平面 BEF 平面PCD .(18)【2013年北京，文18, 13分】已知函数 f(x) x2 xsinx cosx .(1)若曲线y f (x)在点(a, f (a)处与直线y b相切，求a与b的值；(2)若曲线y f(x)与直线y b有两个不同的交点，求 b的取值范围.解：(1)因为曲线y f x在点(a, f a )处与直线y b相切，所以f a a

13、2 cosa 0 , b f a 解得 a 0 , b f 01.(2)解法一：令f x 0,得x 0 . fx与f x的情况如下：x(,0)0(0,)f x-0+f x1A所以函数f x在区间(，0)上单调递减，在区间(0,)上单调递增，f 0 1是f x的最小值.当b 1时，曲线y f x与直线y b最多只有一个交点；2当 b 1时，f 2b f 2b 4b 2b 14b 2b 1 b, f 0 1b,所以存在Xi2b,0 , x 0,2 b ,使得f X f x2 b ,由于函数f x在区间(，0)和(0,)上均单调，所以当b 1时曲线y f x与直线y b有且仅有两个不同交点.综上可知

14、，如果曲线 y f x与直线y b有两个不同交点，那么b的取值范围是(1,).解法二：因为2 cosx 0,所以当x 0时f(x) 0, f(x)单调递增；当x 0时f(x) 0, f(x)单调递减.所以当x 0时，f(x)取得最小值f(0) 1,所以b的取值范围是(1,).2(19)【2013年北京，文19, 14分】直线y kx mm 0 , W : y2 1相交于A, C两点，O是坐标原4 点.(1)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时，求 AC的长；(2)当点B在W上且不是 W的顶点时，证明四边形 OABC不可能为菱形.解：(1)因为四边形 OABC为菱形，所以 AC与O

15、B相互垂直平分.1 2所以可设A t,1 ,代入椭圆方程得 L 1 1,即t 73.所以AC 243.2 4 4(2)解法假设四边形OABC为菱形.因为点 B不是W的顶点，且ACOB,所以k2 x 0.由y4y2 4, kx m消y并整理得1 4k22.8kmx 4m 4设 Nx, y1),C(x2, y2) ,4km2-)1 4k2y22,X1 X2 k2丁所以 1 4k2AC的中点为M4 km211 4k 1m24k因为为AC和OB的交点，且m 0, k ，一 ，一， 10 ,所以直线OB的斜率为 4k因为所以当点1 ,所以AC与OB不垂直.所以四边形 OABC不是菱形，与假设矛盾.4kB

16、不是W的顶点时，四边形 OABC不可能是菱形.解法二：因为四边形 OABC为菱形，所以 OA |OC ,设OAOC r r1，则A , C两点为圆x22X椭圆y2 1的交点，联立方程 x244互为相反数.因为点 B在W上，若A,2r,得1224(r1)3C两点的横坐标相等，点，所以A, C两点的横坐标相等或B应为椭圆的左顶点或右顶点.不精品文档合题意.若 A, C两点的横坐标互为相反数，点B应为椭圆的上顶点或下顶点.不合题意.所以四边形OABC不可能为菱形(20)【2013年北京，文20, 13分】给定数列 为，a2, L L , an,对i 1,2,3,L ,n 1 ,该数列前i项的最大值

17、记为A ,后n i项ai 1 , ai 2, L L , an的最小值记为 Bi , di A Bi .(1)设数列an为3, 4, 7, 1,写出d2, d3的值;(2)设,a2, L L , an ( n 4 )是公比大于1的等比数列，且 & 0 ,证明d1，d2, L L , dn 1是 等比数列；(3)设d1，d2, L L , dn1是公差大于0的等差数列，且d1 0,证明& , a?, L L , an 1是等差数 列.解：(1) & AB13 1 2 ,d2A2B24 1 3,d3A3B37 1 6.(2)因为a2, L L , an ( n 4 )是公比大于1的等比数列，且 &

18、 0,所以an aiqn 1.所以当k 1,2,3,L ,n 1时，dk人民ak a 1 ,所以当k 2,3,L,n 1时，n1是等比数列.0d1d2 L dn 1 ,R dk,与已dk ak ak 1 akq(1 q) dk 1 ak 1 ak ak1(1 q)(3)解法一：若d1, d2 , L L , dn1是公差大于0的等差数列，则 d , a2, L L , %1应是递增数列，证明如下：设ak是第一个使得ak ak1的项，则Ak 1 A, R 1知矛盾.所以，a1，a2, L L ,an 1是递增数列.再证明 显然k 因而kan数列an中最小项，否则1,2,否则d1 A1 此时考虑dkB1综上，解法二:dkA Bkakanak B 民1a1a1k 2,3,L0,与d,n1),则0矛盾；Ok2