2019-2020年高中数学联赛(陕西预赛)试题含答案

1、2019-2020年高中数学联赛（陕西预赛）试题 含答案、选择题（每小题 6分，共48分.给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合M =1,2,3,|,10 , A是M的子集，且 A中各元素的和为8,则满足条件的子集A共有（）A. 8个B. 7个C. 6个D. 5个2、在平面直角坐标系中，不等式组J_ J 3x - y - 0（x - J3y + 2之0表示的平面区域的面积是（y . 0A吏 八.2B. ,3C. 2D. 2x33、设a, b,C是同一平面内的三个单位向量，且 a _L b ,则（Ca）（cb）的最大值是（D. 1A. 1、24、从12 11,20 这20个数中

2、，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为1A.一51B.103C.191 D. 385、A,B是抛物线y=3-x2上关于直线x + y = 0对称的相异两点，则| AB |等于（）A. 3B. 4C. 3 2D.6、如图，在棱长为则三棱锥M - BCD1的正四面体 ABCD中，G为ABCD的重心,的外接球的表面积为（7、8、A.二3B. 一 二2C.fD.设函数f (x) =x3+ax2+bx+c ( a,b,c均为非零整数)f(a)=a3, f(b)=b3,则 c 的值是()A. -16B. -4C. 4D.16设非负实数a,b,c 满足 ab bc ca = a bA. 2B.

3、3C. -3D.22M是线段AG的中点,北6十/be十/ca的最小值为二、填空题（每小题 8分，共32分） 9、在数列an中，a4=1,a11 =9,且任意连续三项的和都是 15,则a201610、设m, n均为正整数，且满足 24m = n4,则m的最小值是 .11、设f(x)、g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数， 且f(x)+g(x)=2x,若又xw1,2,不等式af (x)+g(2x)之0恒成立，则实数a的取值范围是 . 设 xw R,则函数 f (x) =|2x1| 十|3x2| +|4x3| +|5x4| 的最小值为第二试、(本题满分20分)设x,y均为非零实数，且满足xsi

4、ny cos55xcos ysin 55 9 二二 tan - 20(1)求Y的值；(2)在AABC中，若tanc=y,求sin2 A+ 2cosB的最大值.二、(本题满分20分)已知直线l : y = J3x + 4，动圆O : x2 +y2 = r2(1< r <2),菱形ABCD的一个内角为600,顶点A, B在直线l上，顶点C, D在圆。上，当r变化时，求菱形 ABCD的面积S的取值范围.三、(本题满分20分)如图，圆Oi与圆。2相交于P,Q两点，圆Oi的弦PA与圆。2相切，圆O2的弦PB与圆Oi相切，直线PQ与APAB的外接圆O交于另一点R.求证：PQ = QR .1一

5、.一四、(本题满分30分)设函数f (x)=lnx+a(1),a= R,且f (x)的最小值为0, x(1 )求 a 的值； (2 )已知数列an满足 a1 =1 , an与 = f (an) +2(n w N +),设Sn = E 十区】十区】十I。+ bn，其中m表示不超过m的最大整数.求Sn .五、（本题满分 30分）设a,b,c为正实数，且满足abc = 1,对任意整数 n之2,证明:2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题参考答案及评分标准说明：1 .讦阅试卷时，清依播本讦分标一试第一题只议6分扣0分两裆：第二题只设8分或0 分两格；二试第一、二、三题5分为一个档次，第四、五题10

6、分为一个档次。不要再增加“它中间档 次。2 .加臬先生的解笨方法和本弊军不同.只关思珞合理,步履正，在评点计可拿累本评分标准 适当时分移次评分。第一试一、选择题:本题共8小地，每小题6分，共48分.在每小U给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.1 .已知集合1,2,3,1O|,A是"的子集.且d中各元京的和为8,则褥足条件的子集.4 共有（）A.8个B.7个U6个D.5个解C元索和为 8 的子集 A 行：|8|1,7|, |2,6i, 13.51. 1.2,51/1,3,41,共 6 个.B-y<0.2 .在平面直角坐你系中,不等式组X-舟.2,0,表示的平面区域的面积

7、是 （）y>0A 亨B.万C.2D.2JT解：B.不等式组表示的平面区域是一个三角形的内部（包括边界），火中三个顶点的坐标分别是 4（ -2,0）、。（0.0）、8（ 1 篇）.易知,分。8 的面积=3 .设%人c是同一平面内的三个单位向量,且a_Lb.则（c-G（c-b）的最大值是 （）A 丘Bl-"CG-1D. 1tt：A.【方法1】因为=1 ,所以a-b=0.S 6r显.设向量。与。的夹角为乳则（c-a）（e-b） c'-c（a+b） ” b« c2 - Icl- la blcos = l&.当且仅当二-l,即0时等号成立.故（0）（C-

8、7;）的最大值为I 后(力法2依题意,不妨设0 = (l,O)、b = (O'l)、CN(cW>,si0 ,则(C - fl )*(c -ft) = ( co»# - 1) ccs$ * »in0( si nd - 1)=+ (co + sin。)= 1 -&sin(8 +学).故”in(e孑)=-l时c-a)(c")取得最大值，最大值为1 立4.从1.2.,20这20个败中.任取3个不同的数,则这3个数构成等是数列的假率为()A. yB得C-呜解：D.从这20个数中任取3个数,不同的以法共有弓=1140种.若取出的3个数a Ac成等差数 列

9、.则。*c = %,所以%c同为奇数,或同为偶数.且%c确定后.6做之而定故所求假率为p s白5.4/是抛物线尸3-上关于直线”八0对称的相异两点,则1481等于()A.3B.4C3&D.4W：G【方法1】因为点火8关于宜级” 尸。对你，所以L = l.设直线,48的方程为y = -6,代人3-,得2一二。.由 4=»1-4(5-3)0,得 6毕.4设4(，九)、8(。,力),A8的中点为的(凝,为)，则& 与X « -y.从而& *6 = 6又点M(在直线、八0上，所以-；.6-； = 0.即6 = 1 将6 = 1代人,得/"-2=0,

10、解得/ = -2,/=1.所以4( -2.-1)网1,2).故认例=3几【方法2因为点关于亶线z*y0对称,所以可设4(a»)、8( -4t -a).又点儿打在瓶 物成上,所以亡丁解叫或1;I -a»3 ( -6) lb,一 I： o s2.不妨设4( -2,-1)/(1,2),则从m=3几A6 .如图I ,在校长为I的iE四面体人成出中.G为48。的重心，"是/ ' 我段4c的中点.则三核谯,M-5C0的外接球的表面枳为()/ MA 儿"B寺C. D.誓IB ：B.如图1 ,连结EC.因为G为正ABCD的重心.所以4G «L平面8CD

11、.从 2016笫 2 黄(共 8 寅而 AC 在 KMGB 中,48 = 1 =京 x §二 则 AC =，A炉-BC' =弋.干是.，"G 4c = 亚在 m-WGff 中,M8 = /MG2”/ = §.从而,MC = MB =冬所以 ME2 MC2 = 1' = 8C 所以 A/W1MC. m.MCLMD9MDL.MB.所以三校饿M - BCD的外接球的宜泾等于以MBJfCJtD为 技的正力体的时角战长设三校馀W-flCD的外接球半径为七则2R=QMB 专故外接球的表 血税S =4万* =ir.7 .设函数/ 任“"&

12、71;均为非零整数).若/(0) = J=6,则c的值是()A. -16B. -4G4D. 16解：D.设g(«)=/(*) -p 二"? +k+c.则由/(") =。'/(5),得g(") =g(6) =0.所以。、6为方程g(x) =0的两个根，则。+ 6口曲=W消去 6.得-六1= -(a2 *l)(a-l) -三f因为c为整数,所以a+ 1 = £1 .即。=0(含去)或。=-2.故c = 16,8 .设非负实数a、6、c满足必+60+<»=。+6+<:>0,则7/+/卫+，£的最小值为()

13、A.2B.3C#D.26解八不妨设由均值不等式.得Yab + -/be 7)n (" +6) Yob (6 + c) -/be * (c 4-a) >fca (c Jab +a Jbe >6 >/M(q +6) Tai (fe -¥c)y/bc - (c *a) -/caN2 /ab -/ab 2 Ybc y/ic +2 Tea y/ca «2(aA+ ca)当IL仅当。=0且a =6时，等号成立.乂 "3*6c+B=a+6+e>0,所以-/ab Ybc + -/ca2.由 c =0va =b.ab 6c+e=a+6+c,得。=6

14、 =2tc =0.故当a、6、c中有购个为2,一个为0时.依 A* Q取得敢小值为X 二、填空题：本题共4小题，短小JS 8分，共32分将答案填在题中的横段上.9 .在数列a；中,。4 =1 .a” =9,且任意连续三项的和都是15,则36 =斛：5.依阳急，对任意 nwN. .a. + a.1 *ae<2 «aa>l *4-严 I5.所以a.1 =Q.从而,"! »a4 3 I=Oii =90q = 15 -al -a2 =5.故。场二e »o> =5.10 .设m /均为正整数，口滔足24m=厂 则m的最小值是.解：54.由 H4=

15、24m=2,x3xmJ9m 的设小值为2 X3 =54.11 .设，“)/小)分别是定义在R上的奇函和偶函数,且Ax) ，G02,若对”*1.2】不式次x) +g(2x)。0恒成立,则实数a的取值范围是.解：1 8 .因为所以/I -X)&( -X)=2：即-4“)*f(x) =2由、Wg(x)二 号二,MG M号二由研D，6(2«)30.得a(2'-2”)令 W,则由xsl,2 ,得“借茅，旦2力+2也=，+2.所以由得对“号争他成立.因为函数f在怎掌上单调递增,所以当，时.Q 吟).噂所以"这口|J"' -g OoIX 设xwR,则函数

16、/(%)=-II M3%-2I +I4X-3I + 15”-41 的最小值为. 12a4/(1) =2lx -yl +3lz-于 I +4lx-不 I +51%-了 I=2( x '"1 +3(+ x l ) *4lx -12l(x -y) -(«-y)l *3l(*-y) -(x-y)l 4142=2I-tz-l 31 - - I = 1.，/AJ当且仅当(4-/)("-专)他(“/)(”-今0逐-90.即、4时,等号成立.故第二试一、(本题满分20分)xsiny 4-ycoe设人丁均为非零实数旦满足一三5； = tan.ir , .it /u xcc*

17、 y»in 2016年全H片中“多U震陕者雾久愦赛E超参劣答*第4 «(«««)(1)求十的值;(2)在 MAC 中，若 tanC = j求 sin2A *2cosB 的最大值.tun晟工解：(1)由已知得5 x a 9it二 Mn .I-工tan20tan tan。Q令 5Mtan 凡则 -= tan ,BP Un( *y) =n1 - tan 仇an -y-所以G 手 = A/ 得，即子XAsZ).故工= Un8 = tan(A">。)=丽。=1.10 分x44(2)由(1)得 UmCL因为0<C<凡所以。=今.

18、从而/券，则乂 ,亨-2B. 15分442所以 sinZ4 4-2co6fi = sin(竽 - 28) *2c88=-c<m28+2co6» n -2con'fl 4-2cosB I=-2(cob8 -)2 去故当=+,即"二孕时,sin24取得最大值为"I". 20分二、(本题满分20分) 已知直线1：八届+4,动圆0：/+尸=八1 <了<2) .菱形48C0的一个内角为60。,顶点人月在直纹/上，顶点C、D在圜。上.当，变化时，求菱形ABCD的面积S的取值范围.解：因为菱形ABCD有一个内角为60。,所以dACD或MCD为

19、等边三角 ，不妨设AACD为等边三角形，如图2所示.因为圆心0到宜线I的足离为2 >r,所以直线/与圆0初离.5分 设直线CD的万卷为y 6,则贪戕/与CO的距离为d - 写生. 又圆心0到直线CD的距离为孚，所以ICD =2 " T号)”7577：由d =/ICDI.得亨？图210分化简得川-26+4=3，. 因为 1 <r<2,所以 3<6'-26*4<12解得-2<6<1.或I <r<4.又 S=2Ssg=2x 亨 IC0l'=2x 亨 x(% 产/=f(6_4)'. 15分 因为函数S = /（6-

20、4）?在（-2.1）和（1.4）上分别单两递减，所以菱形ABC。的面枳S的取他范也为（0./而弘冬5,6万）20分三、（本题满分20分）如图3,财6与恻。？相交于八Q两点.倒。1的弦E4与IR1。】相切，驯。？的茏/山与圆仪相 切在尊盟£ APA8的外接BJ 0交于另一点R.求证:PQ u QR.证法I :如图3,连结分别交PQ、PO于点MJV,则OtO1 ± 。.且M为PQ的中点.连结Pd、PO】、OO、OO2、OQ、OR,5因为/少与圆。？相切.所以/乂LP。”又PA为冽0,与胭0的公共弦，所以PA ±0,0.所以P0J/0。 10分同理,POiO】O.所以四

21、边形PO.OO,为平行四边形.从而,N为PO的中点.M3乂 M为PQ的中点,所以MNOQ,即aO1Oe 15分因为。,O,«LPQ,所以0QLPQ,即仪，摩.又OP = OR,故Q为PR的中点，件PQ = QR. 20分证法2：如图4,连结*、8Q、AR、8R.因为PA与圆02相切，P3 与101。，相切，所以乙APQ=48Q.乙/MQ=K8PQ. 5分所以 A/MQsWQ.所以督,留'即"0=4Q8Q.10分又乙 AQR = LAPQ + 乙 PAQ = LAPQ + LBPQ = XAPB、乙 QRA = LPRA 乙尸8A ,所以（M/fsAR48.同理,AQ

22、R0S4RW. 15 分所以 AM/?saqm.明 4所暝器嚼，即故/V2=Q*,即PQ = QR.20分四、（本题满分30分）设函数/（X）w R,且“）的最小值为0.（D求0的值;（2）已知数列满足 " nl,。.,，/3.） +2（nwN.）.设 S.=%- aj ,其中析表示不超过实数m的最大整数.求S.2016年全H高中数学取赛族内真区假寥鼠0专§答*不6天（再8页）解:/=+-亍=宁."0.当aWO时，(幻>0,明/(外在(0. 8)上年调递增,无蛀小值,不合题总.当"0时若0<“<",则八") <

23、O;x>a.WJ/(x) >0 .所以函数/(、)在(OR上单调递 城,在(% 8)上单调递增所以/(*). =<>)=池-"，1.设 g(") =lna-a l(a>0)则 g ()=- 1 = a a若0<。<1.则屋(a) >0;若。>1 ,则，(G <0.所以函数g(a)在(0.1)上取间递功.在(I. 8)上单调递减.所以g(a)Wg(l) =0.当11仅当。=1时,等号成立.故当0 = 1时/(%)取得最小低0. I。分(2)由(I)知4")=1皿*,-1.所以。.|=/(4)+2 = lna.* 4