专题01因动点产生的等腰三角形问题(原卷版)

1、备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题01因动点产生的等腰三角形问题【类型综述】数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈，动态几何问题是近年来中考的热点问题，以运动的观点来探究几何图形的变化规律问题，动态问题的解答，一般要将动态问题转化为静态问题，抓住运动过程中的不变量，利用不变的关系和几何性质建立关于方程（组）、函数关系问题，将几何问题转化为代数问题。在动态问题中，动点形成的等腰三角形问题是常见的一类题型，可以与旋转、平移、对称等几何变化相结合，也可以与一次函数、反比例函数、二次函数的图象相结合，从而产生数与形的完美结合.解决动点产生的等腰三角形问题的重点和难点在于应用分类讨论思

2、想和数形结合思想进行准确的分类【方法揭秘】我们先回顾两个画图问题：1 .已知线段AB=5厘米，以线段 AB为腰的等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C的轨迹是什么？2 .已知线段AB=6厘米，以线段 AB为底边的等腰三角形 ABC有多少个？顶点 C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C.已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外.在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类.如果 ABC是等腰三角形，那么存在 AB = AC,BA=BC,CA=CB三种情况.解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解

3、题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢？如果 ABC的/ A （的余弦值）是确定的，夹/ A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法.如图1,如果AB=AC,直接列方程；如图 2,如果BA=BC,那么- AC AB cos A；如图3,如 21果 CA=CB,那么AB AC cos A . 2代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验.如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来.B图18图2图3【典例分析】【例1】抛物线y2 2xbx c与x轴父

4、于A(-1,0) , B 5,0)两点，顶点为C,对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴9CD上的一动点(点P不与C,D重合).过点C作直线pb的垂线交PB于点E ,交x1求抛物线的解析式;2当VPCF的面积为5时，求点P的坐标;3当4PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.0【例(2)(3)备用图2】如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴.求抛物线的函数关系式;设点P是直线l上的一个动点，当 PAC的周长最小时，求点 P的坐标;在直线l上是否存在点 M ,使 MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M的

5、坐标;若不存在，请说明理由.图1【例3】如图1,点A在x轴上，OA = 4,将线段OA绕点。顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标；(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在,求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【例4】在平面直角坐标系xOy中，已知A(0 ,2),动点p在y 43x的图像上运动(不与 O重合)，连 3接AP ,过点P作PQ AP ,交x轴于点Q ,连接AQ .(1)求线段AP长度的取值范围；(2)试问：点P运动过程中，QAP是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，

6、请说明理由.(3)当OPQ为等腰三角形时，求点 Q的坐标.【例5】如图1,在矩形ABCD中，AB 8, AD 10, E是CD边上一点，连接 AE ,将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G .图1图2(1)求线段CE的长；(2)如图2, M , N分别是线段 AG, DG上的动点(与端点不重合)，且 DMN DAM，设AM x, DN y .写出y关于x的函数解析式，并求出 y的最小值；是否存在这样的点 M ,使VDMN是等腰三角形？若存在，请求出 x的值；若不存在，请说明理由.【例6】如图1,已知Rt ABC中，/C=90°, AC=8

7、, BC = 6,点P以每秒1个单位的速度从 A向C运 动,同时点Q以每秒2个单位的速度从 A - B - C方向运动，它们到 C点后都停止运动，设点 P、Q运动的 时间为t秒.(1)在运动过程中，求 P、Q两点间距离的最大值；(2)经过t秒的运动，求 ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；(3) P, Q两点在运动过程中，是否存在时间t,使得 PQC为等腰三角形.若存在，求出此时的 t值，若不存在，请说明理由.( J5 2.24,结果保留一位小数)【变式训练】1 .矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2n/3, 2),点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上

8、一动点(不与原点重合)，连接PC,过点P作PD PC ,交x轴于点D.下列结论： OA BC 2J3;当点D运动到OA的中点处时，PC2 PD2 7;在运动过程中，CDP是一个 定值；当 ODP为等腰三角形时，点 D的坐标为 23,0 .其中正确结论的个数是（3A.1个B. 2个C.3个D.4个2 .如图，在正方形 ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4, EF = 2,设AE= x.当VPEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（）当 "0 （即E、A两点重合）时，P点有6个当0< x<4，2 2时，P点最多

9、有9个当P点有8个时，x= 2后-2当VPEF是等边三角形时， P点有4个A.B.C.D. 3 .如图，在矩形 ABCD中，AD 3AB 3，10 ,点P是AD的中点，点E在BC上，CEN在线段BD上.若 PMN是等腰三角形且底角与DEC相等，则MN4 .如图，平面直角坐标系中， 矩形ABOC的边BO,CO分别在x轴，y轴上，A点的坐标为（8,6），点p在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，满足 PBEs CBO ,当 APC是等腰三角形时， P点坐标为5 .在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A （0, 3）,点B （5, 0）,有一动点P在直线AB上， APO是等腰三角形，则满足条件的点

10、P共有（）6.如图，点 A、B、P在。上，且/APB=50°。若点M是。上的动点，要使 AABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个7.如图，AB是。的直径，BC是弦，AB 10cm,BC 6cm.若点P是直径AB上一动点，当VPBC是等腰三角形时，AP时,8 .如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/AON =30 °,当/ A= AOP为等腰三角形.9 .如图，正方形 ABCD的边长是16,点E在边AB上，AE=3 ,点F是边BC上不与点 B、C重合的一个DB的长为动点，把4EBF沿EF折叠，点B落

11、在B'处，若4CDB恰为等腰三角形，则10 .如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形 OAB提矩形，点B的坐标为(5, 4),点P为线段BC上动点，当 POW等腰三角形时，点 p坐标为.忖Ci上|月0 A11 .在RtABC中，/ ACB=90 , AC=12点D在直线CB上，以CA CD为边作矩形 ACDE直线AB与直线CE, DE的交点分别为F, G.(1)如图，点D在线段CB上，四边形 ACD比正方形.若点G为DE的中点，求FG的长.若DG=GF求BC的长.(2)已知BC=9是否存在点 D,使彳# DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.12

12、.在9BC中，AB=BC，点。是AC的中点，点P是AC上的一个动点 (点P不与点A, O, C重合).过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点 E和点F,连接OE, OF .(1)如图1,请直接写出线段 OE与OF的数量关系；(2)如图2,当/ ABC=90时，请判断线段 OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由(3)若|CF - AE|=2 , EF=2 J3 ,当APOF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长.3 213 .如图1,抛物线y x平移后过点A (8, ,0)和原点，顶点为 B,对称轴与x轴相交于点C,与 16原抛物线相交于点 D.(1)求平移后抛物线的解析式并直接写出

13、阴影部分的面积与影；(2)如图2,直线AB与y轴相交于点 巳点M为线段OA上一动点，PMN为直角，边MN与AP相交于点N,设OM t ,试探求：t为何值时 MAN为等腰三角形；为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少.V*J彳14 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx - 2与x轴交于点A、B (点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C (0, - 2) , OB=4OA , tan / BCO=2 .(1)求A、B两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)点M、N分别是线段BC、AB上的动点，点 M从点B出发以每秒 当个单位的速度向点 C运动，同 时点N从点A出发以每秒2个单位的

14、速度向点 B运动，当点M、N中的一点到达终点时，两点同时停止运 动.过点M作MPx轴于点E,交抛物线于点P.设点M、点N的运动时间为t (s),当t为多少时，APNE 是等腰三角形？15 .抛物线y= - -x2- 2，3x+J6与x轴交于点A, B (点A在点B的左边)，与y轴交于点C,点D 63是该抛物线的顶点.(1)如图1,连接CD,求线段CD的长；(2)如图2,点P是直线AC上方抛物线上一点， PFx轴于点F, PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段 OB的对应线段是OiBi,当PE+2EC的值最大时，求四边形 POiBiC周长的最小2值，并求出又®的点 Oi

15、的坐标；(3)如图3,点H是线段AB的中点，连接CH ,将 OBC沿直线CH翻折至 O2B2c的位置，再将 O2B2c绕点B2旋转一周在旋转过程中，点。2, C的对应点分别是点 03, Ci,直线O3Ci分别与直线AC, x轴交于点M, N.那么，在4 02B2c的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使 AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段02M的长；若不存在，请说明理由.图1图2S33316 .如图：一次函数 y x 3的图象与坐标轴交于 A B两点，点P是函数y -x 3 (0vxv4)图象上任意一点，过点 P作PML y轴于点M,连接0P.(i)当AP为何

16、值时，OPM勺面积最大？并求出最大值;(2)当ABOP为等腰三角形时，试确定点 P的坐标.17.已知抛物线 F: y=x2+bx+c的图象经过坐标原点 O,且与x轴另一交点为(1)求抛物线F的解析式;(2)如图1,直线l： y x+m (m>0)与抛物线F相交于点A (xi, yi)和点B (x二象限)，求y2-yi的值(用含 m的式子表示)；(3)在(2)中，若m 4,设点A,是点A关于原点。的对称点，如图2. 3判断AAA'B的形状，并说明理由；平面内是否存在点 P,使得以点A、B、A'、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 存在，请说明理由.18 .已知一次函数y

17、 kx b的图象与反比例函数 y m的图象交于点 A,与x轴交于点 x,y2)(点A在第P的坐标；若不B(5,0),若OB AB ,且 S oab15(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)若点P为x轴上一点，ABP是等腰三角形，求点 P的坐标.19 .如图，抛物线与 x轴交于A, B两点，与y轴交于点C 0, 2 ,点A的坐标是2,0 , P为抛物线上 的一个动点，过点 P作PD x轴于点D ,交直线BC于点E ,抛物线的对称轴是直线 x 1 .(1)求抛物线的函数表达式；1 .(2)若点P在第一象限内，且 PE -OD ,求 PBE的面积.4(3)在(2)的条件下，若 M为直线BC上一

18、点，在x轴的下方，是否存在点 M ,使 BDM是以BD为 腰的等腰三角形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.20 . AB与。相切于点 A，直线l与。相离，OB l于点B,且OB 5, OB与。交于点P, AP 的延长线交直线l于点C .(1)求证：AB BC ;(2)若。O的半径为3,求线段AP的长；(3)若在。O上存在点G,使 GBC是以BC为底边的等腰三角形，求。 O的半径r的取值范围.21 .已知在平面直角坐标系xOy中，直线li分别交x轴和y轴于点A 3,0 ,B 0,3 .如图1,已知e P经过点O ,且与直线li相切于点B ,求e P的直径长；(2)如图2,已知直线12 ： y 3x 3分别交x轴和y轴于点C和点D，点Q是直线12上的一个动点，以Q为 圆心，2J2为半径画圆.当点Q与点C重合时，求证：直线li与eQ相切；设e Q与直线li相交于M ,N两点，连结QM ,QN .