2021届高考数学复习教学案：反函数(1)

1、课题：2.4.2启备政(2) 教学目的：1 .使学生了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明.2 .会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题.教学重点：互为反函数的函数图象间的关系定理及其证明.定理的应用:教学难点：定理的证明(但教材不作要求).授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1 .反函数的定义；2 .互为反函数的两个函数,，=与)，=/“(X)间的关系:-一定义域、值域相反，对应法则互逆；3 .反函数的求法：一解、二换、三注明4 .在平而直角坐标系中，点A(x,y)关于x轴的对称点W(x,-y);点A(x,y)关于y轴的对称点A&

2、#39;(-x,y);点A(x,y)关于原点的对称点A'(-x,-y);点A(x,y)关于y=x轴 的对称点A'(?,?);5 .我们已经知道两个互为反函数的函数间有着必然的联系(在定义域、值域和对应法则方面).函 数图象是从“形”的方面反映这个函数的自变量x与因变量y之间的关系.因此，互为反函数的函数图 象间也必然有一定的关系，今天通过观察如下图像研究一互为反函数的函数图象间的关系.x + 2 y = 3x - 2 *£/?)的反函数是y =一(xeR)3二讲解新课：/ :1 .探究互为反函腋的函数的图像关系1/观察讨论函数、4函数的图像，归纳结论：函数y = /(

3、x)的图象和它的反函数y = /"(x)的图象关于直线y = x对称.2 .证明结论(不要求掌握，根据实际情况处理)证明：设M(a,b)是y = /(x)的图象上的任意一点, 则当x=a时，f(x)有唯一的值f(a) = b.y = /(x)有反函数 y = fx), .当x=b时，/-'(A)有唯一的值= 4 ,即点(b,a)在反函数y =(x)的图象上.若a=b,则M, A/'是直线y=x上的同一个点，它们关于直线y=x对称.若awb,在直线y=x上任意取一点P(c,c),连结PM, PA/' > MA/'由两点间的距离公式得：PM=+(：

4、c)2 ,PM' = Js-c)2 +(a-c)2 , . PM=P 直线y=x是线段M M1的垂直平分线，点M, M'关于直线y=x对称. 点M是y=f(x)的图象上的任意一点， y = /'(x)图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数y = /"(x)的图象上，由 )，=/(幻与丁 =广U)互为反函数可知，函数y =广心)图象上任意一点关于直线y=x的对称点 也都在它的反函数y = /(%)的图象上，.函数)，=/«与了 = /“(X)的图象关于直线y=x对称.逆命题成立：若两个函数的图象关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函

5、数.3.应用：利用对称性作反函数的图像若y = fM的图象已作出或比较好作，那么它的反函数y = / t (x)的图象可以由y = f(x)的图 象关于直线y=x对称而得到：求反函数的定义域求原函数的值域；反函数的单调性与原函数的单调性相同三、讲解例题：例1.求函数y = / (xvO)的反函数，并利用对称/关系作出其反函数的图象，7解：原函数的定义域是x<0,值域是y>0,/，=。>°)由y=尸解出x =,工函数y = x? (x< 0)的反函数是y = -4(x>0),作y=x2(xe (-8,0)的图象，再作该函数关于直线y=x的对称曲线，即为函数

6、y = -«(x > 0)的图象(如图).C V- I Q例2.求函数)，=上一的值域.3工一2分析：灵活运用互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系.7, 5x + 8 2y+ 8 j 5解：； y =. X =-yW 3x 23)，一53函数的值域为y|yH?求尸(f3例 3 已知 f(x) =(x<-l),一厂解法 1： (1)令/(X)=y=!-r，X2-一，V x<-l, /. x=- I -;(2)Vx<-l,由式知- 1 一厂 yV yy|工11工小)r丁仅<。)：尸(-产.分析：由y=/(x)与y=/"。)互为反函数的关系可知

7、：当y=/(M中的乂=2时丫=出则在丫=广匕)中，当x=b时度a,本题要求/T(1),设其为U,说明在函数/(x)=y=(x<-l)中，当产一时， 31 -厂3x=u,问题转化为知原来函数中的尸-！而求X. 3解法 2：令一Lh 二一1,变形得/=1+3=4,又U,，x=2 1 一尸 3说明：解法2显然比解法1简捷得多，正确灵活地运用所学的有关概念，往往可以收到事半功倍 的效果.四、练习：课本P63 64练习：5, 6, 7补充：设函数y= f(x)的反函数为y=g(x),求y=/(-x)的反函数.解：在函数y= /'(X)中，x为自变量，y为函数.且由题意知*广|()，),以=-/"()，)，.“=/(1)的反函数为y=-/-1、)，又 g(x)=尸，A y= f(x)的反函数为y=- g(x) 五、小结本节课学习了以下内容：1 .互为反函数的函数图象间关系，2 .求一个函数的反函数图象的方法，3 .互为反函数的两个函数具有相同的增减性六、课后作业：课本P64习题2.4： 2答案与提示：2.y= f-(x) = -yl25-x2 ,xG0,5; 2补充：1 .求下列函数的反函数：(Dy = Jr-3(X < V3) ： (2)y二4二6x+12(xW3);(3)y= J X 2