2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学(理)试题(解析版)

1、一一 vV3.已知向量m 3,0 , nA. 7B. 5【答案】C rir , r Lr【解析】由题忌可知n m，由q mC. 3D. 1rr rirrirqn得出 qmqm,可得出2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1,已知集合 A 1,1,3,5 , B 0,1,3,4,6 ，则 AUB ()A . 1,3B, 1C.1,0,1,1,3,4,5,6D.1,0,1,3,4,5,6【答案】D【解析】 根据并集的定义可求出集合AUB.【详解】依题意，AUB 1,1,3,5 U 0,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6 .故选：D.【点睛】本题考查并集的计算，考查计

2、算能力，属于基础题 2.设复数z 1 i 2 i3"'，则z （）iA . 272B. 75C. 2D. 72【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z .【详解】依题意 z1 i 2 i32 i 2i 1 3i- 2 2i ,i1故 z 222 2 2 2.故选：A.本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题 Vvvv , v ,3,0 , qmqn,则 q 为(rirrurrirqmqm 0,由此可得出q|m,进而得解.【详解】rurrirrrrurrir由题意可知nm，由qmqn得出q

3、mqm ,rr2 1r2r2q m q m 0,即 q m,因此，q m J3 03.故选：C.【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是一,rir , 一八.得出n m，考查计算能力，属于基础题.4 .近年来，随着 4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世,其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用aPP的主要用途，随机抽取了 56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法： 可以估计使用 app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；可以估计不足10%的大学生使用ap

4、p主要玩游戏；可以估计使用 app主要找人聊天的大学生超过总数的-.4其中正确的个数为（）随S40_戕人II天匚4向）行社区、新闻，铳汛-* I犯1玩那我匚I TI找稳，国片"此一I我附近的人I 1网 一找共同兴热的人A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】根据利用app主要听音乐的人数和使用 app主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断的正误；计算使用app主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断的正误；计算使用 app主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断的正误.综合得出结论.使用app主要听音乐的人数为 5380,使用app主要看社区、新闻、资讯的人数为4450,

5、所以正确；使用app主要玩游戏的人数为 8130,而调查的总人数为 56290, -8130- 0.14,故 56290超过10%的大学生使用app主要玩游戏，所以 错误；16540 1使用app主要找人聊天的大学生人数为16540,因为56590 4 ,所以正确.故选：C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.5 .记等差数列 an的前n项和为Sn ,若S8 ai 14 ,则()A.a2a82 B.a2a84 c.a2a72 d .a2a74【答案】B【解析】由S8a114可得出a2a3a4a§a6a7a814 ,再利

6、用等差数列的基本性质可得出结果.【详解】7 a., a«一依题,国，S8a1a2a3a4a5a6a7a8 14 ,故2- 14,即2a2 a84.故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于基础题 116.已知实数 a、b、c满足 a 43 , b 106, c log5 50,贝u ()A. cab B. acb C. cba d. abc【答案】A【解析】利用募函数的单调性得出 a、b、2三个数的大小关系，利用对数函数的单调性得出c与2的大小关系，由此可得出 a、b、c的大小关系.【详解】11111哥函数V Y6在0，上为增函数，且dn6 A3 击 6 o

7、，即b a 2;y x10416642对数函数y log 5 x在0, 上为增函数,c log 5 50 log 5 25 2 .因此，c a b.故选：A.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较,般利用指数函数、对数函数和备函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于中等题7.卜列函数中，既是偶函数又在2,上单调递减的是A.ex 1B. flgC.2X2X4x,x 04x, x 0D. fIn【解析】 分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间2,上的单调性，由此可得出正确选项.对于A选项，函数XeXe11的定义域为R,1Xe1X Ae1对于1 ex、一一，-f x ,该函数为奇函数,

8、1 exex 1-,该函数在区间12,上单调递增;B选项，解不等式函数,，该函数的定义域为U 1,关于原点对称,lglglglgf X ,该函数为偶当X 2时,x 1 lgTV内层函数u1 ,-在区间2,上为减函数,外层函数lg u为增函数,所以，函数lg2,上单调递减;对于D选项，函数f x ln 1 Jx2 1的定义域为，1 U 1,f x In 1 J x 2 1 In 1 Jx2 1 f x ,该函数为偶函数.内层函数u 1 & 1在2，上单调递增，外层函数 y lnu也为增函数，所以，函数f x ln 1 &1 2,上单调递增.故选：B.【点睛】本题考查函数单调性与奇

9、偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题8.已知长方体 ABCD AB1C1D1的表面积为208, AB BC AA 18,则该长方体的外接球的表面积为（）D. 53A. 116B. 106【答案】A【解析】由题意得出AB BC AA 18AB BC BC AA AB AA1104'由这两个等式计算出222AB BC AA1 ,可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结 果.依题意，AB BC AA1 18, AB BC BC AA1 AB AA1 104,所以，_2222_AB2 BC2 AA2 AB BC AA12

10、 AB BC BC AA AB AA1116,故外接球半径r，AB2 BC2 AA2 J29 , 2因此，所求长方体的外接球表面积S 4 r2 116 .故选：A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题 .、 x2 y2一八 9.记双曲线C：-3 1a 0,b 0的左、右焦点分别为 F1、F2,点P在双曲2线C的渐近线l上，点P、P关于x轴对称.若P F1PF2,4k1kpF1 kpF2 ,其中kpF1 >*2、匕分别表示直线PF1、PF2、l的斜率，则双曲线 C的离心率为（）c. 75D.2、5【答案】A【解

11、析】设直线PF2的斜率为k ,根据P Fi PF2以及P F1与PFi关于x轴对称，可1 4b2得出kPF1由此可得出一一 1,由此可计算出双曲线 C的离心率.ka【详解】不妨设直线PF2的斜率为k ,由题易知k 0,且直线PF1与PF1关于x轴对称，kPF1kPF1 ,111因为P F1PF2,所以直线PF1的斜率为-,即kPFkPF1 ,kPF，k 11 k 1 k2 b 2 一 b21由 4k1 kPF1 kPF2 可得 4 1 ,即一2 一，aa 4所以，双曲线c的离心率为e卜M旦.故选：A.本题考查双曲线离心率的求解，涉及到直线斜率的应用，在计算时要注意将垂直、对称等关系转化为直线斜

12、率之间的关系来求解，考查计算能力，属于中等题 10.已知数列 an满足ai 4a2 7a3 L3n 2 an 4n ,则a3a4 La21a22B.C.D.2 an的前n项和求出数列3n 2 an的通项公式，可计算出 烝，然后利用裂项法可求出a2a3a3a4a21a22 的值.Qa4a27a3 L3n 2an4n.1时,4;可得2时,a1 4a27a33n2 an 4n ,a 4a27a3 L3nan 1两式相减，可得3n 2an4,故 an4因为a1 4也适合上式，所以an 3n依题意，an 1an3na2a3a3a4a21a22161 3n 416 11163n 116 113 4 7 7

13、 10 10 1361 644 644故选：C.本题考查利用Sn求an ,同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题11.已知函数2f x 2sin xcos xcos 2cos x 1 sin0,0,.0,则5A . 12【解析】利用三角恒等变换思想化简函数y f x的解析式为fx sin 2f x可知函数的一条对称轴方程为x的表达式，再结合条件0可求出的值.依题意sin 2 xcoscos2 xsinsin 2因为fx 一为函数6图象的一条对称轴,所以26k因为f0 ,所以sinsin 2,，结合可得sinsin 5 ，又 0一，故0 252一或一（舍去）.62故选：D.本题考查利用

14、正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力,属于中等题212.已知抛物线C : x 2py p 0的焦点F到准线l的距离为2,直线11、12与抛物线C分别交于M、N和M、P两点，其中直线,一上UULVI2过点F , MRuuuv -RN，RxrJr .右VrA. 14MNP_则当 MFN取到最大值时,B. 16C.先求出P的值，得出抛物线C的方程为P x3, V3 ,由抛物线的定义以及中点坐标公式得出MP18D. 202x 4y ,设 M x1，y1 , Nx2,y2 ,MFNF然后在MNFMNF中利用余弦定理可求出 cos MFN的最小值，由等号成立的条件可知为等边三角形，可设直线12的方程为丫

15、1,将该直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义可求出MP .依题意，可知 p 2,设 m x1,y1 , N x2,y2 , P x3,y3 ,由抛物线定义可得yiV2 2因为yRMNMFMNNF .1,所以MFNF2 MN .由余弦定理可得cos MFNMF,2,|NF|MN3 MFNF2 MF NF8 MF NF6 MF |NF|8|MF| |NF|当且仅当MFNF时等号成立,MFN的最大值为一, 3此时 MFN为等边三角形,不妨直线MP的方程为y J3x 1 ,联立4y ,L ,消去3x 1y 得 x2 4 J3x 4 0 ，4 3, yV3 3 x1X314,故 MP16.

16、故选：B.本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长,涉及韦达定理的应用,同时也考查了抛物线中角的最值的计算，综合性较强，计算量大，属于难题二、填空题521413. 2x 一 的展开式中，含 x项的系数为x【答案】80【解析】求出二项展开式的通项，利用 X的指数为4,求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果.)55 k2x2 的展开式通项为Tk 1 C； 2x2 k 151 5令10 3k 4,得k 2,因此，2x2 1的展开式中，含x4项的系数为C； 23 80. x故答案为：80.【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数,考查计算能力，属于基础题14.设实数X、yy满足3x2x3y

17、13y ，则 z4 02x y的最大值为-17【答案】17 3【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z 2x y ,观察直线在y轴上截距作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示观察可知，当直线联立y 2x3x 21c ,解得3y53,故z的最大值为zmax2 5717.73333故答案为:【点睛】173最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果z 2x y过点C时，直线z 2x y在y轴上的截距最大，此时,z取得最大值,本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优 解，考查数形结合思想的应用，属于中等题15 .已知长方体ABCD A1BQ1D1

18、的体积为32, AB 2BC 4, E平面ABBA ,若点E到直线AA的距离与到直线 CD的距离相等，则 DiE的最小值为 .【答案】4【解析】根据长方体的体积得出 AAi 4,然后以D为原点，DA、DC、DDi所在直线分别为x、v、z轴建立空间直角坐标系，设点 E 2,y,z ,根据已知条件得出y 4 z2 ,然后利用空间中两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求出DiE|的最小值.【详解】因为长方体 ABCD ABQiDi的体积为 VABCD A|B1CiDi 32 , AB 2BC 4 ,所以AAi 4.以D为原点，DA、DC、DDi所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标

19、系，设E 2,y,z ,则点E到直线AA的距离为|y ,点E到直线CD的距离为，4 2 J2z2 8z 24 4 ,故D1E的最小值故 y v4z2 .而 Di 0,0,4 ,故 diE，4 y2z为4.故答案为：4.涉及到空间直角坐标系的应用， 考查计算能力,若函数g x f x m仅有i个零点，则【点睛】本题考查空间中两点间距离最值的计算，属于中等题.eln x,0 x m16 .已知函数f x e2,x m x实数m的取值范围为.【答案】0,em f xf x【解析】令g x 0 ,得出m ，令h x ,将问题转化为直线e ee利用数与函数y h x的图象有且仅有1个交点，然后对m与e的

20、大小进行分类讨论,形结合思想得出关于实数 m的等式或不等式，即可求出实数 m的取值范围.f x令 g x 0,贝 Ufx m,得em 人人一，令 h x eIn x,0 xe,x m x则问题转化为直线 y m与函数y h ex的图象有且仅有1个交点,当m e时，ym 1,此时函数y h x的图象与直线y em只有1个公共点 e符合题意;e则ln m,如下图所示,x的图象与直线m em 一，. 一，一只有1个公共点, ee mm y -显然m e构造函数e 一， ，一成立，下面解不等式mln xF x , x 0,xlnm 广 In mm 一，即e m1 In xe 时，F x 0.1所以，函

21、数y F x在x e处取得最大值，即 F x F emaxe所以，当m 0且m e时，不等式.1恒成立，此时，0 m e.m e当m e时，m 1,若函数y h x的图象与直线y m有1个交点，则有m eeeIn m 1,-/人上、即，由上可知，m e （舍去）m e综上所述，0 m e.故答案为：0,e .【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围,解题的关键就是对m与e的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力, 属于难题.72 sin A,三、解答题17 .已知 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, sin A Buuivuu

22、uvb 5, AC 3MC，ABM 2 CBM .（1）求 ABC的大小;（2）求 ABC的面积.一一 35【答案】（1） 一 ；（2）-.42uuiruuuu 一,一 S bmc CM 1 一 ,【解析】（1）设 CBM ,由AC 3MC可得出；，再由S BMA AM 2sin A B-S BMC CMv2sin A,结合正弦定理得出 AB &BC ,代入 -S BMA AM求出cos的值，进而可求得 ABC的值；（2）在 ABC中，利用余弦定理可求出 a的值，然后利用三角形的面积公式可求出该三角形的面积【详解】(1)因为uuurACuuur3MC ,所以点M在线段AC上，且AM 2

23、CM ,S BMC故S BMACMAM记 CBM1八则 S BMC BC BMBMC211 >sin , S BMA AB BM sin2 . 7DIVI/A2因为sin A B应sinA,即 sinC 夜sin A,即 ABV2bc，结合式，得BMCBC BM sinS BMA 2BC BM2sin cos12、, 2 cos12，可信cos因为 0i,所以 一，所以4ABC(2)在 ABC中，由余弦定理可得.22b a2ac cos ABC ,即25 a2a.5.故 S ABC1.acsin 2ABC,2a sin 4本题考查利用余弦定理解三角形,同时也考查了三角形面积的计算，涉及共

24、线向量的应用，考查计算能力，属于中等题.现将某人三年以来每18 .随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具周开车从家到公司的时间之和统计如图所示(1)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在6.5,7.5 (时)内的频率;(2)求此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和的平均数(每组取该组的中间值作代表)；(3)以频率估计概率，记此人在接下来的四周内每周开车从家到公司的时间之和在4.5,6.5 (时)内的周数为 X ,求X的分布列以及数学期望.【答案】(1) 0.35; (2) 7； (3)分布列见解析；数学期望 6 . 5【解析】(1)用1减去频率直方图中位于区间3.5,

25、6.5和7.5,10.5的矩形的面积之和可得出结果；(2)将各区间的中点值乘以对应的频率，再将所得的积全部相加即可得出所求平均数；3(3)由题意可知 X : B 4,一，利用二项分布可得出随机变量X的概率分布列，并10利用二项分布的均值可计算出随机变量X的数学期望.【详解】6.5,7.5 （时）内的频率为 1 0.03 0.1 0.2 0.190.09 0.04 0.35;(1)依题意，此人这三年以来每周开车从家到公司的时间之和在(2)所求平均数为x 4 0.03 5 0.16 0.2 7 0.35 8 0.19 9 0.0910 0.04 7 （时）；(3)依题意，X : B4,13）.P7

26、10240110000_ 1P X 1 C43103710皎p 250071013235000 '33 37P X 3C31010189250043811010000故X的分布列为X01234P240110000102925001323500018925008110000故 E X 4 6 .10 5【点睛】本题考查频率分布直方图中频率和平均数的计算，同时也考查了二项分布的概率分布列19 .如图，五面体ABCDEF中，AE J2EF，平面DAE 平面ABFE ,平面CBF平面 ABFE . DAE DEA CFB EAB FBA 45 , AB P EF ,点 P 是线段AB上靠近A的

27、三等分点.DCdpB(I)求证：DP P平面CBF ；(n)求直线 DP与平面ACF所成角的正弦值.【答案】(I )证明见解析 (n ) 3病19【解析】(I )根据题意，分别取AE , BF的中点M, N,连接DM, CN , MP , MN .由题可知AD DE , ADE 90 .设AD DE 1 ,则AM 叵,由平面DAE 2(n)建立如图所示空间直角坐标系，_1 1F 1,1,0 , P 0,0,0 , D 25求得平面AFC的一个法向量，再求得【详解】DC如图，分别取AE , BF的中点M,由题可知AD DE , ADE 90设 AD DE 1,则 A 1,0,0 , C 3,-,

28、 2 2 2J2uuuv _uuuv11 J2,得到 AF 2,1,0 , FC -,-, 222 2PDr的坐标，利用线面角的向量法求解。N,连接 DM, CN , MP , MN .设 AD DE 1,平面ABFE ,得DM 平面ABFE ,同理CN 平面ABFE .,从而DM /CN .,则 DM /平面 CBF ;由 AM APcos45 ,所以 AMP 90 ,所以 AMP 是以 AP 为斜边的等腰直角三角形， 再由 MPA 45, FBA 45 ,得到MP/FB .则MP / / 平面CBF .,再由面面平行的判断定理得到平面 DMP /平面CBF ,从而得证。易知DM AE ,且

29、AM 叵. 2因为平面DAE 平面ABFE ,所以DM 平面ABFE .同理CN 平面ABFE .所以 DM /CN .因为DM 平面CBF , CN 平面CBF ,故DM /平面CBF .因为 AE V2EF ， EAB FBA 45，,1所以 AP 1 - AB. 3因为 AM APcos45 ,所以 AMP 90 ,所以 AMP是以AP为斜边的等腰直角三角形，所以 MPA 45 ,而 FBA 45 ,则 MP/FB.因为MP 平面CBF , FB 平面CBF ,所以MP/平面CBF .因为 MPI DM M ,所以平面DMP/平面CBF.因为DP 平面DMP ,所以DP / /平面CBF

30、 .P且垂如图，连接PE ,以P为原点，AB, PE所在直线分别为x轴，y轴，以过点 直于平面ABFE的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 AD DE 1 ,_ _31 2_ 11,2则 A 1,0,0 , C -,2, , F 1,1,0, P 0,0,0 , D -,2,2 2 22 2 21 二2, 2uuuvuuuv1所以 AF2,1,0 , FC2v设n x, y, z为平面AFC的一个法向量,v uuiv 皿 nv AF 则 v uuivK FC2x y 0,x y 、.2z0,取x 2 ,贝U y 4 , z 3点,即v2,4,3 ,2LUIV 易知PDill!2,2,

31、2设直线DP与平面ACF所成的角为故sinuuv vPD nuuv vPD n373819即直线DP与平面ACF所成角的正弦值为3、3819【点睛】本题主要考查了空间线面的位置关系、向量法求空间角，还考查了运算能力、空间想象能力以及数形结合的思想，属于中档题。2220.已知点M、N分别是椭圆C: 上 1的上、下顶点，以 MN为直径作圆C ,164直线l与椭圆C交于M、P两点，与圆C交于M、Q两点.(1)若直线l的倾斜角为45°,求 OPQ (O为坐标原点)的面积；(2)若点R xr,0、S xs,0分别在直线NP、NQ上，且|PR PS ,求直线|的斜率.【答案】(1) 6; (2)

32、叵或叵. 51010【解析】(1)将直线|的方程与椭圆的方程联立，求出点P的坐标，计算出点 Q的横坐标，利用三角形的面积公式可计算出OPQ的面积;(2)设直线|的方程为y kx 2 k 0 ,与椭圆的方程联立，求出点 P的坐标，进而可求点S的坐标，由|PR PS可知直线PR、PS的斜率互为相反数，利用斜率公式可得出关于k的方程，解出即可.【详解】(1)依题意，可知M 0,2 , N 0, 2 ,直线l : y x 2.y x 2联立x2 y2，消去y可得5x2 16x 0 ,故xP 1164165将P点横坐标代入直线l的方程可得yP易知xq 2 ,故OPQ的面积s；OQyp(2)设直线l :

33、y kxy2 x16kx 22L 144k2x2 16kx 0,x,y ,依题意x16k1 4k28k2因为MQNQ ,所以kNQL kMIQ2,则点S2k,0 .若PR解得k蓍，即直线1120kps2 8k21 4k2A 2k1 4k28k21 4k216k1 4k2本题考查椭圆中三角形面积的计算,算能力，属于中等题.21.已知函数f x ln x 1(1)若m 1,判断函数f x(2)若(1)可得出结论;，55l的斜率为卫或105510同时也考查了利用距离相等求直线的斜率,mx ,x 1,0 .x m的单调性并说明理由;x m f x2,求证：关x的不等式2 1 e函数y f求出函数y(2

34、)将所证不等式变形为在 1,0考查计上恒成立.xln 11,0上单调递减，理由见解析;(2)证明见解析.的导数，分析导数x m In 1 xln 1 x x 0,于是将不等式转化为证明x 2在区间1,0上的符号，即ln 12x 1x2xe ,通过证明出x 2 ln 1 x2x x 2 ,将不等式转化为土_2exx 2x 2然后构造函数利用单调性证明即可.(1)函数1,0上单调递减，理由如下:依题意fln x 1x，xx 11,0(2)即证所以故当1,0时，f x0,故函数1,0上单调递减;心十 x m f x要证即证lnx 1 mx2xx In故即证In 12x 1lnx,则g1,0时,0,所

35、以1,0上单调递增,0,即Inx 0.2时，xln 1由(1)可知,m Inxlnx 2 lnIn2xe x.InInIn1,0 .所以，当x1,0时,所以，当x1,0时,所以只需证明2ex,所以yx,2x在2 In2 ln即证明2 ln1,0x2 xx e-2x 2上单调递增.2x p 02x x 2x 22xx 20,-e 21.h x在 1,0上单调递增，所以h1 ,所以原不等式成立.0本题考查利用导数研究函数的单调性， 同时也考查了利用导数证明函数不等式， 本题的 难点在于利用分析法， 通过构造函数逐步找到不等式成立的充分条件，对逻辑性思维要求较高，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题x a 3t22 .已知平面直角坐标系 xOy