(完整版)不等式讲义知识点详解+例题+习题(含详细答案)

1、不等式讲义最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及 取等号的条件：(1)|a+bg|a|+|b|(a, bCR). (2)|a-b|< |a-c|+|c-b|(a, b R).2. 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+ b|<c, |ax+ b|>c, |x-c|十|x b|a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证 明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、 反证法、放缩法、数学归纳法.基础知识回顾 犊理识记自测JICHUZHISHI HUIOU翎知识梳理&1 .含有绝

2、对值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)? f(x)>a 或 f(x)< a；(2)|f(x)|<a(a>0)? -a<f(x)<a；(3)对形如|x a|+|x-b|<c, |x -a|+|x- b|c的不等式，可利用绝对值不等 式的几何意义求解.2 .含有绝对值的不等式的性质|a|b| <|a|<|a|+|b|.问题探究：不等式|a|b|& |a寄|& |a|+|b|中，"=”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|b|w|a+bg|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab>0,左

3、侧”=”成立的条件是ab&0且|a|引b|；不等式|a|b|&|ab|&|a|+|b|,右侧”= 成立的条件是ab<0,左侧"=”成立的条件是ab>0且|a|b|.3.基本不等式定理1：设a, bCR,则a2+b2>2ab.当且仅当a=b时.等号成立.a b止理2：如果a、b为正数，则一“学yOb,当且仅当a = b时,等方成立.定理3:如果a、b、c为正数，则a谭士c3/,当且仅当a=b=c时， 3等号成立.定理4：(一般形式的算术一几何平均值不等式)如果ai、a2、an为n个 正数，则史上兰nn> n/aia2 - an, 当且仅当

4、 a=a2= = an时，等号成立.4,柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a, b, c, d为实数，则(a2+b2)d2)>(ac + bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.n nn(2)若 ai,b(i C N*)为实数，则(a2)( b2)>( abi)2,当且仅当 bi= 0(i = 1,2, i = 1 i = 1i =1n)或存在一个数 k,使得 a= kb/i = 1,2,，n)时，等号成立.(3)柯西不等式的向量形式：设 内B为平面上的两个向量，则|W 6|p|a印 当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.国基础自测£二1 .判断正误(在括号内打或

5、"x”)(1)对|a+b|引a|b|当且仅当a>b>0时等号成立.()(2)对|ab|&|a|+|b|当且仅当ab&0时等号成立.()(3)|ax+ b|& c(c>0)的解等价于一c< ax+ b<c.()(4)不等式|x- 11+ X+ 2|<2的解集为？.()(5)若实数 x、y适合不等式 xy>1, x+y>-2,贝U x>0, y>0.()答案(1)X ，(5)V2 .不等式|2x- 1| x<1的解集是()A. x|0<x<2B. x|1<x<2C. x|0&

6、lt;x<1D. x|1<x<3解析解法一：x=1时，满足不等关系，排除C、D、B,故选A.)、1x 1) x4 2)解法二：令f(x)=1则f(x)<1的解集为x|0<x<2.1 -3x, x<2，答案A3.设|a|<1, |b|<1,则|a+b|+|ab|与2的大小关系是()A. |a+b|+|a-b|>2B. |a+b|+|ab|<2C. |a+b|+|ab| = 2D.不能比较大小解析|a+b|+|a-b|<|2a|<2.答案B4.若a, b, cC (0, +00),且a+ b+c= 1,则， +加+真的最

7、大值为()A. 1B. V2C. 13D. 2解析(x/a + Vb+VC)2=(1xF+1xVB+1xVC)20 (12+12+12)(a+b+ c)= 3.，一，1当且仅当 a=b=c=3时，等方成立.3(ya+yjb+VC)2 0 3.故也+，C的最大值为，3.故应选C.答案C5.若存在实数x使X-a|+ |x 1|03成立，则实数a的取值范围是.解析利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3,所以a的取值范围为一2<a<4.答案一20a&4考虑互动探究 剖析互动突破HRlSiANHUD'OIM AHJIU考点一含绝对值的不等式的解法解X a|+

8、Xb|c(或& c)型不等式，其一般步骤是：(1)令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序，它们把定义域分为若干个区间.(3)在所分区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求 出它们的解集.(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号(2015山东卷)不等式X-1|-X- 5|<2的解集是()A. ( 8, 4)B. (oo, 1)C. (1,4)D. (1,5)(2014湖南卷)若关于x的不等式|ax2|<3的解集为x 5<x<1 ,则a 33解题指导切入点：“脱掉”绝

9、对值符号；关键点：利用绝对值的性质进 行分类讨论.解析(1)当x<1时，不等式可化为一(x-1)+(x-5)<2,即一4<2,显然成 立，所以此时不等式的解集为(一8,1)；当10x&5时，不等式可化为x-1 + (x- 5)<2,即2x 6<2,解得x<4,又 1<x<5,所以此时不等式的解集为1,4);当x>5时，不等式可化为(x- 1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立，所以此时 不等式无解.综上，不等式的解集为(8, 4).故选A.(2)lax 2|<3,1<ax<5.当a>0时，一1

10、<x<5,与已知条件不符； a a当a=0时，x R,与已知条件不符；当a<0时，5<x<1,又不等式的解集为x 5<x<1 ,故a= 3. a a33答案(1)A (2)-3用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对信号;(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏 区间的端点值.对点训练已知函数 f(x)=|x+ a|+|x 2|.(1)当a= 3时，求不等式f(x户3的解集；(2)若f(x)&k 4|的解集包含1,2,求a的取值范围.2x+ 5,xW2,解(1)当2= 3 时，f(

11、x)= 1, 2Vx<3, 2x 5, x>3.当x02时，由f(x)3得一2x+ 5>3,解得x0 1;当 2Vx<3 时，f(x) > 3 无解；当x>3时，由 心)3得2乂一53,解得x> 4;所以f(x) >3的解集为x|x& 1或x>4.(2)f(x)< |x-4|? x-4|-|x-2|>x + a|.当 xC 1,2时，x-4|-x-2|>|x+ a|? 4 x(2 x)|x+a|? 2a0x&2 a.由条件得一2a01 且 2-a>2,即一30a<0.故满足条件的a的取值范围为3

12、,0.考点二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式对于形如|xa|+ |x- b|>CM£ |x a|+|xb|<c的不等式，利用绝对值的几何意 义或者画出左、右两边函数的图象去解不等式，更为直观、简捷，它体现了数形结合思想方法的优越性.|x-a|+ |x- b|的几何意义是数轴上表示x的点与点a和点b的距离之和，应注意x的系数为1.1(2014重庆卷)若不等式|x 1|+|x+2|>a2+2a + 2对任意实数x包成立, 则实数a的取值范围是.(2)不等式|x+ 1|x 2|>k的解集为R,则实数k的取值范围是解题指导切入点：绝对值的几何意义；关键点：把包成立

13、问题转化为最 值问题.解析(1) = x- 1|+X+2|>|(x-1)-(x- 2)| = 3,11 17117.a2+2a + 2<3,解得< a< 4.即实数a的取值范围是 一1二四 一：.4'4(2)解法一：根据绝对值的几何意义，设数 x, 1,2在数轴上对应的点分别 为P, A, B,则原不等式等价于PAPB>k恒成立.AB = 3,即|x+1|x 2|> 3.故当k< 3时，原不等式包成立.解法二：令 y= |x+1|-|x-2|,- 3, x0 1,贝U y= 2x1, 1<x<2,3, x>2,要使x+ 1|x

14、 2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要 k< 3即可.故k<3才两足题意.解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x即可；不等式的 恒成立问题，可转化为最值问题，即 f(x)<a恒成立？ a>f(x)max, f(x)>a恒成立？ a<f(x)min.C对点训练(2015唐山一模)已知函数 f(x)=|2x a|+a, aC R, g(x)=|2x1.(1)若当g(x)&5时，何有f(x)<6,求a的最大值；(2)若当xC R时，恒有f(x) + g(x)>3,求a的取值范围.解(1)g(x)&5? |2x-1|

15、< 5? -5<2x-1<5? -2<x< 3; f(x)< 6? |2x- a|w 6 a? a 6w 2x aw 6 a? a 3w xw 3.依题总有，a-3< -2, a< 1.故a的最大值为1.(2)f(x) + g(x) = |2x a|+|2x-1| + a>|2x- a- 2x+1|+a= |a- 1|+a,当且仅当(2xa)(2x1)00时等号成立.解不等式|a1|+a13,得a的取值范围是2, + oo).考点三不等式的证明与应用不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题 目标，既不仅要搞清是什么

16、，还要搞清干什么，只有兼顾条件与结论，才能找到 正确的解题途径.应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件.(2015新课标全国卷H )设a, b, c, d均为正数，且a+b=c+ d,证明：若ab>cd,则g+址>加+加；(2) ,-'a+ b> c+ :d是|a b|<|c d|的充要条件.解题指导切入点：不等式的性质；关键点：不等式的包等变形.证明(1)因为函+Vb)2 = a+ b+2>/ab, (Vc+ y/d)2 = c+d + 2y/Cd,由题设 a+b=c+d, ab>cd得(«+加)2>(也+枳)2因此g +蚀&

17、gt;&+5.(2)若 |ab|<|cd|,则(ab)2<(c d)2,即(a+b)2 4ab<(c+d)2 4cd.因为 a+b=c+ d,所以 ab>cd.由(1)得va +证>/+返若,'a+ .'b> ,'c+ 1'd,则(,：a+ :b)2>('-1c+ .d)2,即a + b + 2 ab>c+ d + 2 cd.因为 a+b=c+d,所以 ab>cd.于是(ab)2= (a+b)24ab<(c+d)24cd= (c -d)2.因止匕 |ab|<|c d|.综上，G+加

18、>必+,是|ab|<|c d|的充要条件.的图见思齿分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不 等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时， 可用分析 法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.匚对点训练（2014新课标全国卷H ）设a、b、c均为正数，且a+ b+c= 1.证明:1(1)ab+bc+ ac<«； 3a2 b2 c2.(2)+> 1.b c a证明(1)由 a2+b212ab, b2+ c2>2bc, c2+a2>2ca 得 a2+b2+c2>ab+ bc+ ca.

19、由题设得(a+b+c)2= 1,即 a2+ b2+ c2 + 2ab+ 2bc+ 2ca=1.1所以 3(ab+ bc+ ca) < 1,即 ab+ bc+ ca< 3.a2b2c2、-(2)因为；+ b> 2a, +c> 2b, + a>2c, bca拓 a2 b2 c2故 b" + +1 + (a+ b+ c)>2(a+b+c),日 a2 b2 c2即 b + 1 + 3 n a+ b+ c.a2 b2 c2所以77+十一>1.b c a方法规律总结方法技巧1,绝对值不等式求解的根本方向是去除绝对值符号.2,绝对值不等式在求与绝对值运算有

20、关的最值问题时需灵活运用，同时还 要注意等号成立的条件.3.在证明不等式时，应根据命题提供的信息选择合适的方法与技巧.如在 使用柯西不等式时，要注意右边为常数.易错点睛1 .对含有参数的不等式求解时，分类要完整.2 .应用基本不等式和柯西不等式证明时要注意等号成立的条件.课时跟踪训练(七十)、填空题1 .不等式|2x 1|<3的解集为.解析|2x 1|<3? -3<2x- 1<3? 1<x<2.答案(1,2)2 .若不等式|kx 4|02的解集为x|1&x& 3,则实数k=.解析. |kx 4|<2, - - 2<kx-4<

21、2, . - 2<kx< 6.不等式的解集为x|1<x< 3, . .k= 2.答案23.不等式|2x+ 1|+x1|<2的解集为.一 ，1 ,解析当x02时，原不等式等价为(2x+1)(x1)<2,即3x<2, x>221 ,13,此时一3<x0 2.当一2<x<1 时，原不等式等价为(2x+1) (x1)<2,即 x<0,此时一鼻<0.当x> 1时，原不等式等价为(2x+ 1)+(x-1)<2,即3x<2, x<|,此 23o2一 32时不等式无解，综上，原不等式的解为 3Vx<

22、;0,即原不等式的解集为3-2 -答案3, 04,已知关于 x的不等式|x- 1| + XI<k无解，则实数 k的取值范围是解析X1|十|x|引x1x|=1, .当 k<1 时，不等式 |x 1|+X|0k无解, 故 k<1.答案J00, 1)5. (2015西安统考)若关于实数x的不等式|x 5|+ x+3|<a无解，则实数a 的取值范围是.解析x-5|+x+3|>|(x-5)-(x+ 3)| = 8, 故 a<8.答案(00, 86. (2015重庆卷)若函数f(x)=|x+1|+2|x a|的最小值为5,则实数a=解析当a=1时，f(x)=3|x+10

23、,不满足题意；当av1时，f(x) =3x 1 + 2a, x a,x-1-2a, a<x< -1,f(x)min = f(a)= - 3a-1+2a = 5,解得 a= 6;当 a>3x +1 2a, x> 1,3x 1 + 2a, x 0 - 1,1 时，f(x)= -x+1+2a, - 1<x<a, f(x)min=f(a)= a+1 + 2a = 5,解得 a 3x+ 1 2a, x>a,=4.答案6或47,若关于x的不等式冏?|+1|十卜一2|存在实数解，则实数a的取值范围是解析vf(x)=h<+1|+h<-2| =2x+ 1 x

24、< - 1 ,3- 1<x<2 ,2x 1x>2 ,f(x)> 3.要使 |a|>|x+ 11+ |x2| 有解， |a| 3,即 a 0 - 3 或 a>3.答案(一0% -3U3, +oo)8,已知关于x的不等式|x-a|+1-x>0的解集为R,则实数a的取值范围是解析若x1<0,则a R；若x1)0,则(xa/>(x1)2对任意的x1 , +oo)恒成立，即(a1)(a+1) 2x>0对任意的x 1, + oo)恒成立，所以a1 >0,a1<0,(舍去)或对任意的x 1 , +川恒成立，解得综上,a+ 1>

25、;2x,a+ 1<2x, a<1.+2- b+2- a的最小值为:答案(8, 1)9.设a, b, c是正实数，且a+b+c=9,2 2 2斛析(a+ b+c) -+z+t a b c=(洞2+(刷+(而2淄2+ <12+ 媒2方血。!+衽b+&2=18,222222,一，2+2+212, ；2+2+2的最小值为2.abcabc答案210 . (2014 陕西卷)设 a, b, m, nC R,且 a2+ b2 = 5, ma+ nb=5,贝U m2+ n2 的最小值为.解析由柯西不等式，得(a2+b2)(m2+n2户(am+bn)2,即 5(m2+ n2) >

26、25,m2 + n2>5,当且仅当an=bm时，等号成立. m2+ n2的最小值为 聿.答案乖11 .对任意 x, y R, |x-1|+|x|+y- 1|+|y+1|的最小值为:解析-X-1|+|x| + |y-1|+|y+1|= (|1-x| + X|) + (|1 y|+|1 + y|)|(1x) + x|+|(1 y)+(1 + y)|= 1 + 2 = 3,当且仅当(1 x) x>0, (1 -y) - (1y)>0,即 0<x< 1, -1<y<1 时等号成；|x1|+|x| + |y1|+|y+1|的最小值为 3.答案3一 一，、412

27、.若不等式|x+1|x4|a十二，对任意的xCR恒成立，则实数a的取 a值范围是.解析只要函数f(x)=|x+ 1|x4|的最小值不小于a + 4即可.由于|x+ 1| a4一-一|x 4|< |(x+1)-(x- 4)|=5,所以-5<|x+1|-|x-4|<5,故只要一5>a+(即 a4.可.当a>0时，将不等式5a + ：整理，得a2 + 5a+4<0,无解；当a<0时， a4.将不等式5a + -整理，行a + 5a+ 4>0,则有a 0 4或1 0 a<0.综上可知 a实数a的取值范围是( 8, -4U-1,0).答案(8, 41

28、,0)二、解答题13.已知不等式 2|x3|+|x4|<2a.(1)若a=1,求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求 a的取值范围.解(1)当a= 1时，不等式即为2|x 3|+|x-4|<2,若 x>4,则 3x 10<2, x<4,舍去；若 3Vx<4,贝U x2<2, .3<x<4;若 x< 3,贝U 10- 3x<2, . |<x<3.3(2)设 f(x) = 2|x3|+|x 4|,则3x 10, x>4, f(x)= x-2, 3Vx<4, 103x, x<3.作出函数f(

29、x)的图象，如图所示.由图象可知，f(x) > 1 ,11 .2a>1, a>2即a的取值范围为2, + 00 .14. (2015新课标全国卷 I )已知函数 f(x)=|x+ 1|-2|x-a|, a>0.当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解(1)当 a= 1 时，f(x)>1 化为|x+ 1|-2|x- 1|- 1>0.当x0 1时，不等式化为x-4>0,无解；当1<x<1时，不等式化为3x-2>0,解得2<x<1; 3当x> 1时，不等式化为x+ 2>0,解得10x<2.所以f(x)>1的解集为x 2<x<2 . 3x-1 -2a, x< - 1,(2)由题设可得，f(x)= 3x+1-2a, -1<x< a,所以函数f(x)的图象与xx+ 1 + 2a, x>