(完整word版)2013-2018年上海高考试题汇编-数列.docx

1、数列知识点1、等差数列的性质（2018秋6）记等差数列an的前n项和为Sn，若a3 0 , a6 a7 14 ,则S7 答案：14（2018春5）已知也心是等差数列，若22 3810,则23 35 37 .答案：1知识点2：等差数列的判定（2017秋15）已知数列 xn an2 bn c,n N，使得也。k,x*o k,X3（x> k成等差数列的必要条件是 （）A a 0 B.b 0C. c 0D. a 2b c 0答案：A知识点3：等差数列的递推关系I（2013年文22）已知函数 f（X） 2 |丸无穷数列an满足an 1 f （an ），nN".（1）若 ai 0,求 a2

2、, 3334 ：（2）若al 0,且ai,a2,a3成等比数列，求ai的值;,使得<3）是否存在ai 31,3 2,L ,an,L成等差数列？若存在，求出所有这样的31 ：若不存在，说明理由.（2） 32a a ,所以a2 21114 ai ,所以 ai 4 ai2 a 2 ai , 33 2 1a 2I 22al.当 1 时，a当“2时，a3 2 3120 a 23综合得a1i或a 22 .32231 , 332 | 2 |ai|1（3）假设这样的等差数列存在，那么 ,得2 JU"）.以下分情况讨论：当ai 2时，由（）得ai 0，与ai 2矛盾;时，由（）得 ，从而当0 a

3、i 2a 1 1 J 111 1,2,L ,所以an是i个等差数列；当“0时，则公差d a2 al ai 2 al 2 0 ,因此存在m 2使得aam ai 2 m 1 2 .此时 d mi am 2 am am 0,矛后.时，（2013理23）给定常数c 0 ，定义函数f（x） 2 k c 4数列 ai足 an 1 f Qn) > n N(i)若ai c 2 ,求 a2 及 a3 ；（2）求证：对任意n N”,1 3n C；a（3）是否存在 1,使得ai, ,L T,an ,L在，说明理由.成等差数列？若存在,求出所有这样的a1：若不存解：(1)a 二 2,33 c 10 .x c 8

4、,x c,(2) f x 3x 3c+8, c 4 xc,x c 8, x c 4.当3a C 时，anian C 8 C ；当 c 4 h c 时，ani an 2an 3c 8 2 c 4 3c 8 c ：当a n c 4 时，ani an 2an c 8 2 c 4 c 8 c.所以，对任意n N方法二：要证：2彳c 4| x c| x c2|x c 4| |x c| x c当x c 0时，等式右边为0,不等式显然成立当x c 0时，等式化为2 x c 42 x c显然,即(3)由(2),结合c 0得a1 嗫an为无穷递增数列.又an为等差数列，所以存在正数M,当n M时，如从而，an

5、1 f(an) an c 8.由于a为等差数列，因此其公差d c 8.,则，若 ai 。4 a- f(ai ) ax 。8又，故，即a： ai d ai c 8 ai c 8 a： c ®当n 2时，由于an为递增数列，故an a： 0 ca所以， nl f(an) an c 8,而 a 2 窥 c 8,政二, c 8 B寸，a为无穷等差数列，符合要求：若 c 4 ai c,则 a2 f(ai) 3ai 3c 8,又 a2 - dal c 8,所以，得3 ai 3c 8 ai c 8c ,舍去；a若" c,则由an a得到nl f(an) an c 8, 从而an为无穷等差

6、数列，符合要求.综上，31的取值集合为 C,（2015理17）记方程：x: ai x 1 0,方程：x2 az x 2 0,方程:乂2 a5X 4 0,其中ai,1，a 3是正实数当a，a a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（）A.方程有实根，且 有实根 B.方程有实根，且无实根C.方程无实根，且有实根 D.方程无实根，且无实根 答案：B知识点5：等比数列的判定18）设A（2011理 3是各项为正数的无穷数列，A是边长为a i 一的矩形面积（1 1,2,L），则&为等比数列的充要条件为（）A 根是等比数列或，L是等比数列B ai , 33 X , a 2n 1 a 2

7、 , 34 X , a,L均是等比数列C ai , 33 X , a zn 3 :4, a ：a和，L均是等比数列，且公比相同D ai , a 3 ,L , a 2n 1 ,L a 2 , a4 ,L , a 2n答案：D 知识点6：等差数列与等比数列综合（2016 文 22 ）对于无穷数列an与 bn,记 A x| x an,n N* ,B x| X bn JI N*,若同时满足条件：an，bn均单调递增：AI B 且AUB N* ,则称an与bn是无穷互补数列.（1）若an 211 1, bn 4n 2 ,判断也n与bn是否为无穷互补数列，并说明理由:（2）若an 2n且an与bn湿无穷互

8、补数列，求数列bn 的前16项的和:（3）若猊口与仇是无穷互补数歹ij,也口为等差数列，且316 36,求也口与付口的通项公式.【解】(1)因为4A,4 B,所以4 AUB ,从而心才与bn不是无穷互补数列.(2)因为a4 16.所以16 4 20.数 列 bn 的 前 16 项 的 和 为 ：(1 2 L 20)(2 26且* 9 3x ,解得3 x 6 .所以X的取值范围是x 3,6. 2 一一aqn 1 0,得 an 0 ,所以 % s .又 I a a 3a , 2.2 n)1 20 20 (2 1Jnlala2) 1802(3)设an的公差为 d , d N,则 ai6 ai 15d

9、 36 .由 ai 36 15dl，得 d 1或2.d 1若ai 21 an n 20则 ，an与bn是无穷互补数列,，矛盾:n, n 5若 d 2 ,则 ai 6, an 2n 4 , bn2n 5,n 5综上，an 2n 4 , bn '.2n 5 , n 5 a ，(2014年理23)已知数列 窗口满足.an a i 3an n n* a1139,求X的取值范(i)若a2 2,33 x,a4 围:（2）设aa是公比为q的等比数列，Sai az Ly; 1 a r -若Sn Sn i 3SnN",求q的取值范围:若a ,a J ,a成等差数列，且a1000 ,求正整数k的

10、最大值,以及k取最大值时相应数列ai ,a 2,L , a k的公差.2解：(1)由条件得一3( 2)jtl a 3a ,且 a3 a a £ 所以1 q 3.3时，sn 13n 得成立.Sa 1 3Sn当q 1时，Salq 3 ,则qn(3 q)1_ q 1 ,则 qn(3 q)32 由q2 由qN ，得 q(3N ，得 q(32 ,所以12，所以，3综上，q的取值范围为I"3（3）设一的公差为,L a，且 a 1,得 L1 (n3Dd1 nd31(n l)d 1,2, L ,k 1(2nl)d2,(2n3)d2,11,2,L ,k当n 1时,当 n 2,L ,k1时,2

11、，所以d2n 12n 32n 122k 1k k 1所以 1000 kai d k2kk 12000 k 10001999.2 2k 1j1999所以k的最大值为1999, k 1999时，a，a2,L ak的公差为（2014文23）已知数列a 满足 a-3(i)若ai 2,33 x,a4 9,求x的取值范围:储（2）设标是等比数列，且am _L_ 求正整数in的最小值，以及in取最小值时相应1000的公比:（3）若ai,a2,L,aioo成等差数列，求数列ai,a2 ,L , aioo的公差的取值范围.2x解：（1）由条件得X 6且一 33（2）设 的公比为.由L2口q 3 Jr9 3x,解

12、得 3 x 6.所以x的取值范围是3,6内为1J 3 3 n » 所以-q3,且 3a nn 1an aqi1ml一ai q10001000m 8 时，q,3.所以,m的最小值为8, mynL8时，an的公比为.（3）13n d叫比工 aioo的公差为d由_3n31,2,L,99当d0时,399 a 98 L2.0时,399 a 98 L31 ,符合条件.1(1 398 d ) da 99291 L2(1 98d )'ai2 a 9920 ,所以 d 0 .199综上，a i,a2 ,L a ioo的公差的取值范围为,，2.199知识点7：数列的递推关系式与函数an满足ai1

13、（2012文14）已知f（x） ,各项均为正数的数列1 x若 32010 32012，则 320 ail 的值是答案:3 13c26解：由3一，39513由3nf(an) » 得 an2a2010a所以azo 11(2017 春 21)，3200S13石826已知函数f10g 21321 ， a20103 2012（1）解方程f(2)设 X1,1 ,a 1,2010a201232010，依次类推，得全体偶数项相等,axax 111,1，且f 2010a2010(3)在数列 Xn中，Xi1,1. Xn3xn 1n N ,求Xi的取值范围，使3 Xn得X3 Xn对任意n N成立答案：(1

14、)x1：< 3)1,L ；33解:= 1叫：+ *= 1，1 一.罟=2,计算得出工=；;1 - x3令小="厕=二声")=鼻. ° 一 1、(<i _ /户(e - r 尸。£(L + x)>。,幻在(-LD上是幅，数, o-1a-1又 M-n = I = l mn ="_r =1. fl -r 1<1-1fix 1.-14式0VL即h 、 1、.1 + nt 】+1l 1 + 1l+u. ojr + a-t/(1) /(：) 10K2 ；7 - k长2 r-T- I喀1*o«2-7H k%?-0171-51

15、-r"1 "一工一0工 .ax - 1. . o - r + ar - 1/() = lofi2-c-j?a - z - ar + 1.ax *- 1.、 .1、 ") = Zk)一与1)，a - xn 3)73 =-心（3）.八工）的定义域为（.1.1）,/（-T）= -/（X）,/（）是奇函数.当"为奇数时"（"）=/（智二）=/（“）-*） = fg） -1 , J HjlJ“（%+1）=a"）- i ；当"为偶数时，f（小M）= /（"把F）= -/（燮二2 ） = 1 - f（叫J . J -

16、1rlJ -工rrj3t+1）= i - f（xn）.J3） = /（XI）- 1 , /（Z3）= 1 - f（.n） = 2- f（xi） , /（X|） = f（xsi） -1 = 1- /（T|）,f（工J = 1 一的0 = f（xi） , /（.T6）= /（T5） - 1 = f（g） - 1= /（j'n-f 1） , nCA 匚设叫=冷 则'"尸= 卷> Q，贝在（-L1）上是增函软z3 >即对任意nEN'成立,磔） >恒成立,2-心）/（.口）< 心）2/"2叫 2-/（.口）”.门）-1,1旬?以）2-/

17、（皿）1-/（小）计算得出:/（为）w 1,计算得出一IV叫:知识点S：数列的前n项和（2016理11）无穷数列 an由k个不同的数组成，Sn为an的前n项和.若对任意n NSn 2,3，则k的最大值为答案：4印识点9：数列的单调性和最值一（2018 春 15）记 11ali n限aS为数列 的前 项和.” 是递增数列”是“S为递增数列”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件答案：D（2015 理 22 文 23）已知数列也与bn满足 an+1 - an-2 （ bn+1 - bn） , n£N*.（1）若bn-3n+5,且a 1-1,

18、求数列a n的通项公式：（2）设an的第n项是最大项，即 an an（ neN "）,求证：数列bn的第n项是最大 000项：（3）设al-、V0, bn-Xn （ nN），求人的取值范围，使得an有最大值M与最小值m,且 M2,2m1 答案：（1） 6n 5 ： （ 3）-,02知识点10：数列的周期性I（2016年理23）若无穷数列a 满足：只要a a （p,q N*）,必有api aq则称 P qan具有性质P .（i）若an具有性质 P ,且ai 1,32 2,a4 3,35 2, a6 a7 as 21,求 a3：（2）若无穷数列bn是等差数列，无穷数列Cn是公比为正数的等

19、比数列，bl C5 1.b5 Cl 81, an bn Cn判断an是否具有性质 P ,并说明理由：b（3）设bn是无穷数列，已知an I n Sinan （n N ） .求证：”对任意ai,an都具有性 质P ”的充要条件为“ bn是常数列”.答案：（1） 33 16； （ 2）由于ai a5 ,但a2 a6 ,故an不具有性质P :跚必要性:若对于任意a一 an都具有性质P ,则a2 bl sill ai，设函数f X x bi, g x sin x,由f x , g x 图像可得，对于任意的bi ,二者图像必有一个交点，所以一定能 找到ai ,使得ai bi sinai ,所以虱 bi

20、sin ai ai 所以an i，故bn 1 3n 2 S111 3n 1an i sin an bn，故bn是常数列知识点11：数列的极限（2013 理 1）计算：hm11203n 13(2018 秋10）设等比数列a。的通项公式为anqnl （ n N* ）,前n项和为Sn，若Sn lim n an 1答案：3（2017年春8）已知数列a的通项公式为ana3n ,则 lun 1(2015 理18 文 18 )设 PnXn，yn是直线2X Vda n N 与圆 xz 12在第一象限的交点,则极限lun 2 口 XnA、B、C、1 D、2解：当n时，直线2xy 趋近于2xn 1y 1 ,与圆x

21、-1在第象限的交点无限窕近I可看成点nXn 1与连线的斜率，其值会无限接近圆V2 2在点1,1处的切线的斜率,其斜率为1,liin 乎L1n Xn 1（2013文18）记椭圆x2 ny2围成的区域（含边界）为 n （n 1,2.L）,当点（x, y）分别在 J 2,L上时,y的最大值分别是，则UmMn4 4n11A. 0B _C. 2D. 2 3r4答案：D知识点12：无穷等比数列各项丽一（2016理17）已知无穷等比数列an的公比为q.前n项和为Sn，且lull Sn S .下列条件n中，使得2Sn s n N恒成立的是（）（A）a10,0. 6q0. 7（ B） ai0,0. 7 q0 .

22、6C ai0,0.7q0.8（D） ai0,0. 8 q0.7答案：B思考：ai,q需要满足答案：ai 0,qU 0,122（2014理8文10）设无穷等比数列an的公比为q，若ai Inn a3 a4 L an，则qM识点13：数列与函数的性质结合(2009 文 13 )已知函数f（x）sin x tan x .项数为 27的等差列an满足77且公差d 0,若f(a? "a Jf(a ) 027.时 f(ak) 0 .答案：14知识点14：数列与三角函数结合sill X .若存在 X1, X2 ,L , Xm 满足(2015 理 13)已知函数 f X 0Xi X： L xm 6

23、,且 I 11 I I If xi f X2 f X2 f X3 L f Xm 1 f Xm 12 111 2,ill N ,则 m的最小值为.-2-(2012 文 18)若 Sn sin sin答案：841-sui ( n N ),则在 Si , S2，Sioo 中，正数的个数是（A. 16B. 72C. 86D. 100答案；C(2012 理 18) an1 n , sinSnn 25an,在SLS2, sw中,正数的个数是()A. 25B. 50C.75D. 100答案：D如点15:数列与矩合(2013理在数列3口中，an 2111 ,若一个7行12列的矩的第1行第J列的元素Ci,j a

24、】aj ai aj( i 1,2, L j ； j数()1,2,L ,12),矩元素能取到的不同数的个A. 18B. 28C. 48D. 63答案：A知点 16:数列与不等式合(2018秋21)定无数列n,若无数列1足：任意| bn 3口11 ,称bn与 3n(1) 2口是首1,公比“接近”.1_的等比数列，bn21,N'，判断数列bQ是否与aQ接近，并明理由;(2)数列也 的前四：ai 13224,b 是一个与a 接近的数列，隼合Mbi ,i 1,2,3,4,求M中元素的个数已知an是公差d的等差数列，若存在数列bn足：bn 与an 接近，且在b2 bl , b? b2 , b201

25、 b200中至少有100个正数，求d的取范.解析：(l)bn| an| 1鼠I,所以 又 与an“接近”； 2(2) bi 0,2 , b2 1,3, b3 3,5 , tn 7,9 ,M x|x b-i 1,234 元素个数 m 3 或 4; d 2 , bk bk O.k 1,2,L ,200 ,即2，存在biM.L 氏。1使得b? bi 0 ,b: bi , b3 bz ,，bzoi b?oo中没有正数；当 d0 , bzoi b：oo 0 ,即有100个正数，故db： b： 0 , bj b： 0 , b； b0 ,b：oo b”9（2018春21）若Cn是递增数列，数列 也口满足：对任意n N&qu