有限差分方法

1、椭圆型微分方程的有限差分法主讲：谭林基本思想（步骤）：（1） 将求解区域（无限个点）限制在有限个离散点上，一 般可通过网格剖分获得。（2）在离散点处，将求微分问题（无限计算问题）近似化为求若干（相邻） 离散点上函数值的线性组合问题（有限 计算问题），一般利用 数值微商（分）（不同有限元法）。形 成所谓的差分方程。（3）差分方程的 适定性、收敛性 和稳定性分析。（4）差分方程的解法。下面以两点边值问题为例介绍有限差分法全过程、常见的有限差分方法（1）直接差分法模型问题1:椭圆型方程第一边值问题。fd2uLu 2 qu 二 f, a x b dx丨 u（a） = a , u（b）=卩,其中，q,

2、f C（l）,q（x） 一0,1 珂a,b模型问题2：.J du、du上.Lu (p ) r qu = f, a x b(ddxdxu(a)= 口 , u(b)= P ,其中，1P C I, p Pmin O,r,q,f C(l ),q(x) 一 0,1 = a,b首先对模型问题1讨论其有限差分方法的基本步骤求解区域的离散化做均匀网格剖分：a 二 X。xXn 二 b其中分占丿、 I ) 丿八、x厂 x0ih剖分步长,b a h =n在节点xi处，对微分方程离散化dx2quxf (Xi)u(Xj 上 2u(Xj) u(XiJh2d2u疋此dx2 12 dx4 -O(h3)1 Lu 1 i 严-火

3、1)倔(2X) gJ qu(x)h二f(X) Ri(u)其中Ri(u)h2小 =-o I . 4+0(h )12，x记u在节点Xk,k = 0(1)N数值解为 Uk,k二0N , 则有LhUi 广q 1 - 2uUi“h2fi,(*1)比较知LhU(xJ产 f(xj+ R(u)所以Ri(u)二 LhU(Xi)LU表示用差分算子Lh代替微分算子L产生的误差2称之为(局部)截断误差。 这里关于h的阶为 0(h )。'Lu1/ f(Xi)所以Ri(up LhU(Xj)- f (x)由此知：（局部）截断误差 可视为差分格式（方程）（*1）, 将数值解换成相应真解值后，左端减右端，再做Taylo

4、r展式获得的（可作为计算公式）。方程（*1）的联立形式（中心差分格式）q 厂 f , ' = 1(1) n - 1Un矩阵形式AU = b （其中A是三对角矩阵）接下来对模型问题2进行讨论Lu =虫 qu = f, a在节点关键，的离散dx dx dxxi处，对微分方程离散化d / du、du（p ） r-dx dxdx建立-dx(Pdx)（近似）公式。Xi1quXi二 f(xj做一般网格剖分（非均匀）:a 二 X。xXn 二 b其中分占丿、 I ） 丿八、X厂 Xi_< hi,n 1（1）N第i个剖分单元的剖分步长hi = Xi - Xi_!,n 1（1）N引入对偶剖分a 二

5、X。X1/2XN -1/2其中分占/、 I 丿八、Xi -1/2Xi -|hi,H 1 (1)N建立离散公式的基本思想是一阶中心差商去近似一阶导数dudXFlux Function.第一次用一阶中心差商近似一阶导数-dx dx XidWdx Xi_ 2 W_1_2-W-1/2hi h 1第二次用一阶中心差商近似一阶导数W+1/2二 P(Xi 1/2du)；il dx xx i 1/2Pi 1/2Ui 1 - Uihi+i/、du iq - UmW_i/2 二 P(X1/2)|丨 & PdXx2i_1/2hi最后的格式为LhUi2Ui i - Uip i -h 十 hj+戈hi+iPi

6、i i - 2Ui 一 Ui ihiihihi i(Ui i-Ui_J qqfi,i = 1(1)N - 1(局部)截断误差的推导和模型问题1类似.习题.在一般网格剖分下，对微分方程L(p-dU)dx dxqU 二 f, a x b建立中心差分格式.(2)积分差分法(有限体积法)考虑微分方程节点人处的离散化模型问题3：Lu =TId / du、(p ) qu = f, a x b d dxu(a)二，u(b)八,其中，p - Pmin0, f C(l ),q(x) 一 0,1 二a,bStep 1.将微分方程Lu = d"(p 乎)qu =dx dx在节点K所属的对偶单元 xi_i/

7、2)xi 1/2上积分得：积分方程Xi 初2Xi 41/2W(n_1/2) 一 W(Xj 1/2) qudx 二 fdxXi/2Xi/2Step 2.对含未知函数的三项W(Xi 仃2)?W(Xi_1/2)Xi 1/2J qudx ?xi J/2、/、亠、'C'>A注意：般要求函数 W(x),u(x)连续，但p(x),q(x)允许间断。所以不对 W(x), qu(x)直接离散化以W = pu为例讨论。注意Wu =p得ui 一 ui_1Xi W(x) I p(x)Xidx W(xi _1/2)XiJ1p(x)dx因此W(Xi_i/2)(5 - Uy)hi而1Xi1aidxhi

8、山p(x)类似Wg/2)综上得微分方程在节点xi处的离散化格式（差分方xi 1/2hf1 |XA A h 1 “f qudxdi Uixi 4/22而2Xi 1/2dif q(x)dxhhJ2程）为u 一 u i1尹ZdMf(x)dx特别利用数值积分，可得：直接差分方法的结果！积分差分法(有限体积法)的优点(1) 对系数的光滑性要求低(2) 变于推广到任意网格、边界条件(3) 保守恒性(对收敛性重要)(3)变分-差分法类似有限元法，不介绍、差分方程的 适定性、收敛性 和稳定性分析考虑模型问题3：Id / du、rLu (p ) qu 二 f, a x b(d dxu(a) = 口 , u(b)

9、= P ,其中，p - Pmin 0, f C(l),q(x) - 0,1 二a,b差分方程(格式)为LhU广严1 - Uihihi 1hi 1pi 1/2i,i二 1(1)N - 1等价形式LhUi 一 ai,i -1Ui-1U0 八，UN 二ai,i-1Ui-1Uoai,iuiai,iui:,Un 二ai,i 1Ui 1i,iai,i 1ui 1 二Ui 一 Ui 1Pi_1/2(*)fi,iLhur耳讪ai,2U2 二1 一 印,0：LhUN -1aN -1,N -2UN -2aN -1,N -1UN -1N1 一 aN_1,N 其中，ai,i(Pi 1/2Pi 1/2hi 1hi)ai

10、,i -1ai,i 1矩阵形式AUM矩阵,(1) ai,ipi -1/2hi + hi +1hiPi 1/2h hi 1它们满足hi 10, ai,i 10, ai,i 10（2）对角占优性ai,i 一 ai,i_1 一 ai,i+1 = qi 王0极值定理 若 LhUO （-咕0 ）,对 p xJ = 1（1）N-1,则ui不可能在内点取正的极大（负的极小）, 除非u汀常数。证明.LhUO（ LhUO ），对 $xj =1（1）N-1。反证法，设Ui在某内点取正的极大 M,且u广常数，则存在某内点凡,0 i° N，使uj M, Ui。M 或 uj M, Ui。1 M这时Lhui。-

11、 aio,io -iuio -1 aio,iouio aio,io iuio 1（aio,io-1 ' aio,io ' aio,io1）M - O矛盾。推论1.差分方程（*）是适定的（存在唯一性）。证明.注意差分方程（*）的矩阵形式AU 二 F差分方程（*）是存在唯一性，只需证明矩阵A非奇异。或奇次方程AU = O （ *）只有零解。注意，差分方程（*）的奇次情形Lhuai,i_1Ui _iai,iUiai,i 1Ui 10,(*i = 1(1)N - 1Uo = 0 = Un其矩阵形式为(* ),所以只需证明差分方程(*)的解是零解。而由极值定理知ui只能在边界点上取正的极

12、大和负的极小。所以(*)的解为零解。推论 2.若 LhU厂 f严 0，对P Xj,i = 1(1)N-1，且 口0-0,叶-0，则W - 0，对- xj 二 1(1)N -1。即M矩阵的逆矩阵是非负矩阵。(因为U = (Ui,Un J = Lh1F其中，F = (fi, ,fN_i)T。若对任意非负向量 F，U均为非负向量，则M矩阵的逆矩阵Lh1只能为非负矩阵。这点与其相 应的连续算子，即 Laplace算子的性质非常类似，亦为 正算子。)比较定理.设序列(网函数)uiiN0，UiiN0满足LhU兰 LhUj, i = 1(1)N-1，且U0 兰U 0， UN 兰U N 贝Uui 兰Uj, i

13、 = 1(1)N -1推论3 （关于边界值的稳定性）.差分方程LhU广 ai,i_iUi_< aj,M比 M 厂 0,i = 1（1）N - 1uo 二，UN 二的解Ui满足估计式max 5 兰 maxk ,0 1百兰N J差分方程（*）（或（*）的收敛性估计（同时，回答了 差分方程的解关于右值的稳定性）。对特殊模型问题均匀剖分令e = u（xjai,i 1e 厂 R,i(1)N112二 aii 1h2满足差分方程Lhei 一 耳一1$一1ai,ieier 0,弘=o 其中，当UC4（I）时R 卜 Ch22aii = 2 , aii -1h2选取优势函数Ei = C-X：) 2 o, r=maxa,b直接验算LhEi 二 ai,j_1Ei_1ai,i Eiai,i 1Ei 112(- E-i 2Ej - Ei i)hC222(Xi - h) - 2Xi(Xih)2h=C2 |r =|Lhe由比较定理定理.设u C4(I),则max e = O(h)1 Ei MN 7 i习题：推导上述未证明的推论或定理。注.利用嵌入法（对有限元法类似，需用LAX-Milgram Th.