2017清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版,带解析]_历年自主招生考试数学试题大全

1、WORD格式.资料2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1 .已知函数f (x) =(x2+a)ex有最小值，则函数 g(x) =x2+2x + a的零点个数为()A. 0 B . 1 C . 2 D .取决于a的值 【答案】C【解析】注意f/(x) =exg(x),答案C.2 .已知AABC的三个内角 A, B,C所对的边为a, b,c.下列条件中，能使得 AABC的形状唯一确定的有( )A. a =1,b =2,c Z oB. A =150 ,asin A csin C . 2asin C = bsin BC. cos Asin B cosC cos(B C) cos B sin C =

2、 0,C =600 -0D. a = W3,b =1,A =60【答案】AD【解析】对于选项A,由于|o5|匕口 + 6,于是匕有雎一取值L符合题意j对于选项国由正弦定理，有+，+缶。=/，可得8与3二5=135。，无解j对于选项c,条件即3幺向(3-S = 0,于是(屈&0=(90号/力炉工侬浜0口：60°),不符合题意5 对于选项D,由正弦定理，有典3 = ；,又5 = 60、于是5 = 30、C = 900,符合题意.3 .已知函数f (x) =x2 1,g(x) =ln x ,下列说法中正确的有()A. f(x), g(x)在点(1,0)处有公切线B,存在f(x)的某

3、条切线与g(x)的某条切线平行C. f (x), g(x)有且只有一个交点D. f (x), g (x)有且只有两个交点【答案】BD【解析】 注意到y=x1为函数g(x)在(1,0)处的切线，如图，因此答案 BD.24.过抛物线y =4x的焦点F作直线交抛物线于 A, B两点，M为线段AB的中点.下列说法中正确的有( )A.以线段 AB为直径的圆与直线 x = -3 一定相离2B. |AB|的最小值为4C. |AB|的最小值为2D.以线段BM为直径的圆与y轴一定相切【答案】AB1 1一 .，一.【解析】 对于选项 A,点M到准线x = 1的距离为一(| AF |十| BF |) = 一 | A

4、B | ,于是以线段 AB为直径 223 911的圆与直线 x = -1 一定相切，进而与直线x =-一定相离；对于选项B,C,设A(4a2,4a),则B(2-,-)2 4a2 a一21于是| AB |=4a2 +2 + 2 ,最小值为4.也可将| AB |转化为AB中点到准线的距离的 2倍去得到最小值； 4a21 一.对于选项D,显然BD中点的横坐标与 -|BM |不一定相等，因此命题错误 .2225.已知F1,F2是椭圆C:+4=1(a AbA0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点.下列说法中正确的有 a b( )A. a = &b时，满足NF1PF2 =900的点P有两个B. a &

5、gt; J2b时，满足/F1PF2 =90°的点P有四个C. APFF2的周长小于4a2aD. APFF2的面积小于等于一2【答案】ABCD【解析】对于选项A, B,椭圆中使得/F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C, AF1PF2的周-2.一 一,一 11 八 PFI + 1 PA 门 1。长为 2a +2c < 4a；选项 D, AF1PF2 的面积为一|PF1 |，| PF21sin NF1PF2 M - -一U-| 1 =a2.22 <2）26 .甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖 .比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、

6、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】BD【解析】 乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD.7 .已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC _L AB于C , P为圆O上任意一点，直线 PA与直线OC相交于点M ,直线PB与直线OC相交于点N ,以下说法正确的有（）A. O,M,B, P四点共圆B. A,M,B,N四点共圆C. A,O,P, N四点共圆D.以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A, ZOBM =/OAM =/OPM即得；对于选项

7、B,若命题成立，则 MN为直径，必然有/MAN为直角，不符合题意；对于选项C, /MBN =/MOP=2MAN即得.答案：AC.8 . sin A+sin B+sin C >cosA+ cosB+cosC 是 &ABC 为锐角三角形的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】 必要性：由于 sin B+sin C >sin B+sin('B) = sin B +cosB >1 , 2类似地，有 sin C sin A 1,sinB sin A 1 ,于是 sin A + sin B+sinC > cosA +

8、 cosB + cosC .不充分T当 a =E,b =C =三时，不等式成立，但 AABC不是锐角三角形. 24- ，一，一、 11 11 ,9 .已知x, y, z为正整数，且xEy Ez,那么方程一+=的解的组数为()xy z 2A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】B11113._【解析】由于一=+W,故3WxW6.2 x y z x若 x=3,则(y -6)(z -6) =36,可得(y,z) =(7,42), (8,24), (9,18), (10,15), (12,12);若 x=4,则(y4)(z4)=16,可得(y,z) = (5,20),(6,12),(8,8);_

9、311220右 x =5 ,则-=+- <, y < 一，y = 5,6 ,进而解得(x, y, z) = (5,5,10)；10 y z y 3若 x=6,则(y 3)(z3) =9 ,可得(y,z) = (6,6) .答案：B.10 .集合 A =a1，a2,，an,任取 1 Mi < j <k <n,ai +aj w A,aj +a A, ak +ai w A 这三个式子中至少有一个成立，则 n的最大值为()A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】B【解析】不妨假设 >生若集合月中的正数的个数大于等于3由于的 +生和6+为均大于% >于是有叼+用

10、=q+ % =外 > 从而用二q ?矛盾！所以集含A中至多有3个正数-同理可知集合A中最多有3个负救.取d = -32lQL23,满足题意，所以理的最大值为7.答案B.11 .已知仪=1°, P =61°，尸=121° ,则下列各式中成立的有()A. tan 上 tan，tan : tantan tan =3B. tan ：tan : tan ： tantan tan : - -3C.tan 二二 tan “1 ； tantan 二 tan : tantan : Tan P - tantan 二 tan : tan【答案】BD【解析】 令 x = tan o

11、t, y = tan P, z = tan ¥ ,则="3 ,所以1 xy 1 yz 1 zxy z = "3(1+xy), z y = J3(1 + yz), x z = J3(1 + zx),以上三式相加，即有 xy + yz+zx = 3.类似地，有-=( +1),- - = v,r3( +1),- =73( +1),以上三式相加，即有 x y xy y z yz z x zx111十十 xyyz zxx y z ,x一匕，=3 .答案 BD.xyz12 .已知实数a,b, c满足a+b+ c =1,则<4a +1 + ,4b+1 + j4c + 1的

12、最大值也最小值乘积属于区间A. (11,12)B . (12,13) C . (13,14)D . (14,15)【解析】设函数的切线y/2f (x) = J4x+1 ,则其导函数 f (x)=4x 11，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x =一 32.211. 21(x - )+,以及函数f (x)733的图象过点(-1,。)和(3, J7)的割线4241, 一 一 一= -j=x ,如图，于是可得,77-i x + -i 三 4 4x +1 W,7.72 211. 21(x) + ，左侧等号当733x或 4x = 3时取得； 右侧等号当x =1时取得.因此原式的最大值为 历,当a

13、= b = c ='时取得；最小值为 233J7,当a =b = 1,c = 3时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为7V3£ (<144,Vi69).答案B.4222213.已知x, y,zwR, x+y+z=1,x +y +z =1,则下列结论正确的有(4A. xyz的取大值为0B. xyz的取大值为 27C. z的最大值为2D. z的最小值为33【答案】ABD【解析】由x+v + z = Ld +/ + / =1可得个+尸+zx = 0.设孙z = 则及>"是关于r的方程/(O)-oO 尸c = 0的三个根.令广二产匕，则利用导数可得2,4 八，

14、所以13274，- - <C = xyz<0 ,等号显然可以取到.故选项A, B都对.因为z>«2(V+/) = 2Q /),所以等号显然可以取到故选项C书需.、 * 一 .，14.数列an满足ai =1,a2 =2, an毛=6an4an(n w N )，对任息正整数n ,以下说法中正确的有 ()一 2A. an书an 毛an 为定值B . an =1(mod9)或 an =2(mod9)C. 4an4an -7为完全平方数d . 8and1an-7为完全平方数【答案】ACD【解析】因为an 2 an3an 1 an2 一(6an2 an1)an 1= an .2

15、 6an -2an 1an122=an 电(anH2 -6an籍+an =an+an书an,选项 A正确；由于 a3=11,故222-2an ； an也an = an书(6an书an) an = an书6an书an + an = -7 ,又对任息正整数恒成立，所以224an由an -7 =(an+ -an) ,8an由an -7 = (an书+an),故选项C、D正确.计算刖几个数可判断选项B错反.2说明：右数列 an满足an七=pan由-an，则an4 - an也an为7E值. .1,一 15 .右复数z满足z+ =1,则z可以取到的值有(，5 -1C.2,51D.2【答案】CD【解析】因为

16、|z|工 Ez+1 =1,故匕5二1E|z怪吏二口，等号分别当ZufHUi和z = Xl二1i时 |z| z2222取得.答案CD.16 .从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（）A. 6552 B . 4536 C . 3528 D . 2016【答案】C【解析】 从2016的约数中去掉1 , 2,其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有 2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去 2016k5 一 2_和1008.考虑到2016=2父3父7,因此所求正多边形的个数为(1 +2

17、+4 +8 +16 +32)(1 +3+9)(1 +7) -2016 1008=3528 .答案 C.22过椭圆上一点 P作l12的平行线,17 .已知椭圆 与+与=1(a Ab0)与直线l1:y = a2 b21分别交l1,l2于M,N两点.若1 MN|为定值，则）A. 2B. .3C. 2D. . 5【答案】C111111.【解析】设点 P(Xo, y°),可得 M (Xo + y。, + yO), N( % y°,x° + y°),故息242242|MN | = J1x2+4y2为定值，所以=。=16,1巴=2,答案：C.1 4b 1, b4a 1

18、说明：（1）若将两条直线的方程改为y =±kx ,则=-；（2）两条相交直线上各取一点M , N ,使得| MN |为定值，则线段 MN中点Q的轨迹为圆或椭圆18 .关于x, y的不定方程x2 +165 =2y的正整数解的组数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B1解析】方程两边同时模3,可得V = 2"mod3)T因2)不能被3整除，故/不能被3整除，所以V三l(mod3),故2l(mod3),所以,为偶数，可设y = 2用(me V),则有仁一以k+H =615 = 3x5x4,解得产 r = *即,"热答案：B> pM+x = 123, J&

19、#39; = 12.19 .因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序.例如，三个实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c,(ba)c,c(ab), b(ca), 等等不同的次序.记n个实数相乘时不同的次序有In种，则()A. I2=2 B . 13=12C . I4 =96 D , I5 =120专业.整理【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得In =CnAnn =1C21M H = (n 1)!C；ni .答案：ABn关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数一一计数映射方法的伟大胜利20 .甲乙丙丁 4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，

20、两组的胜者争夺冠军人相互比赛的胜率如表所示:甲乙丙T甲U303Q.a乙070.60.4内0,7WL一0.5T0.20.60.5例如甲击败乙的概率是0.3 ,乙击败丁表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率, 的概率是0.4 .那么甲刻冠军的概率是【答案】0.165【解析】 根据概率的乘法公式，所示概率为0.3(0.5m0.3+0.5父0.8)=0.165.21 .在正三棱锥P-ABC中，AABC的边长为1.设点P到平面ABC的距离为x,异面直线AB,CP的距则 ximy 二3【解析】当XT8时，CP趋于与平面 ABC垂直，所求极限为 AABC中AB边上的高，为 .11 22 .如

21、图，正万体 ABCD AB1C1D1的棱长为1,中心为O, BF = BC,A1E =A1A ,则四面体OEBF 24的体积为【解析】根据题意，有?n2ni2n0 (x ti)(1 sin x)dx =x x2n(1+sin2n x)dx = 0.JI1.1.1 1.1【斛析】 如图' VOEBF - VO _EBF = 一 VG 上BF =一 VE_GBFVE_BCC1B1 二222 1696口 102 -2n 12n23 . (x-n)(1+sin x)dx =24 .实数x, y满足(x22 -3213(x,y,z) = (1, 一,0)时，x + y + z取到最大值 一.根据

22、题意，有 2 +y2)3 =4x2y2 ,则x2 + y2的最大值为 .【答案】122、3, 22 , 22、222221【斛析】 根据题思，有(x +y) =4xy <(x +y),于是x +y <1 ,等号当x = y =一时取得,2因此所求最大值为1.1 223 227【解析】 由柯西不等式可知，当且仅当25 . x, y,z均为非负头数，满足 (x+)+(t+1) +(z十一)=，则x + y + z的最大值与最小值分别 22422213 一x +y +z +x+2y+3z =，于4口 13,、2 、.22-3是 一 M(x + y+z) +3(x + y + z)y,解得

23、 x + y + z之4222 - 322 -3x + y + z的最小值当(x,yz)=(0,0,)时取得，为 2226 .若O为MBC内一点，满足S obS倬o cS/o/f4:3:2 ,设 AO = KAB + NAC ,则【答案】2 3【解析】根据奔驰定理，有一，一2 二27 .已知受数z =cos十i sin 3z2 z 2【解析】根据题意，有2_z2z 2,25 二二1 z 二z = cos 3:.5 二i sin -1.3.28 .已知z为非零复数,z 40 , 、，_、，,40的实部与虚部均为不小于10 z1的正数，则在复平面中,z所对应的向量OP的端点P运动所形成的图形的面积为200二一100 .3 - 300340设 z =x+yi(x, y 仁 R),由于 一 zJTJT100 二-100,四边形20 -40z|z|2 '上，义之1,101040x140y22 一 I, 22x y x y如图，弓形面积为-1,ABCD 的面积为 2 -(IOvS-IO) 10 = 10073-100.2 100二200一于是所示求面积为 2(100 -100) (100、3-100) =200- 100, 3 -300. 33sin 4xsin 2xs